卷十

十一石六鬥為正列于上又船一車三俱改為正駝八改為負少二十一石六鬥改為多二十一石六鬥為正列于下【葢八駝比一船三車少二十一石六鬥即一船三車比八駝多二十一石六鬥也】首數皆一故省互乘即以上層為主兩下相較則船各一彼此減盡車一正一負故相加得五仍依本層為負駝一正一負故亦相加得二十仍依本層為正糧兩層皆正相減恰盡即為駝二十與車五相等今車應轉為首色為正故重列之際須俱變其号以車變負為正駝變正為負即為車五與駝二十相等也【葢兩下相較船數相等上層少車二下層多車三上之所少即下之所多是下層多車五上層多駝十二下層少駝八下之所少即上之所多是上層多駝二十今既兩下糧數相等則為車五與駝二十相等矣】爰以兩次所得之餘如和較兼用二色方程算之其車一駝三十七共糧九十八石四鬥列于上【因為和數故不用号】又車五為正駝二十為負列于下【糧兩下相等故無數可列仍作空以存其位】乃以下車五遍乗上車一駝三十七共糧九十八石四鬥得車五駝一百八十五共糧四百九十二石又以上車一遍乗下車五駝二十仍得原數兩下相較則車各五彼此減盡駝一百八十五加駝二十得二百零五糧止一層無數可加減仍得四百九十二石即駝二百零五所載之共數也以駝二百零五除之得二石四鬥為每一駝所載之數以二十乗之得四十八石為駝二十所載之共數車五既與之相等即以車五除之得九石六鬥即為每一車所載之數以三船比七車一駝少三十三石六鬥計之則一駝應二石四鬥七車應六十七石二鬥共六十九石六鬥減三船少三十三石六鬥餘三十六石為三船所載之共數以三除之得十二石為毎一船所載之數也 設如有錢買瓜桃榴梨四色隻雲瓜二桃四共價一百五十六文瓜一梨八共價一百二十六文桃二榴七共價一百六十文榴四梨七共價一百四十八文問瓜桃榴梨各價幾何 法先以【四共價一百五十六文列于上】瓜二桃【因題有四色而此行無榴梨乃各作空位以存其分餘俱照式對位列之】又以瓜一梨八共價一百二十六文列于下【因為和數故不用号】乃以上瓜二遍乗下瓜一梨八共價一百二十六文得瓜二梨十六共價二百五十二文又以下瓜一遍乘上瓜二桃四共價一百五十六文仍得原數于是以下層為主兩下相較則瓜各二彼此減盡桃四無可減仍為四依本層為正榴仍為空位梨十六無可減仍為十六本層無數乃變正為負價二百五十二文内減一百五十六文餘九十六文本層少乃變正為負即為桃四比梨十六價少九十六文也【葢瓜皆為二則其共價必相等然上層有梨十六則共價二百五十二文下層有桃四則共價一百五十六文其相差之九十六文即桃四比梨十六所少之價也】至是瓜既已減盡但餘三色即變四色為三色而以桃為首對位列之是以桃四為正【此行無榴數故仍作空位以存其分餘俱對位列之】梨十六為負少九十六文為負列于上桃二榴七共價一百六十文列于下【因為和數故不用号】乃以上桃四遍乗下桃二榴七共價一百六十文得桃八榴二十八共價六百四十文又以下桃二遍乗上桃四梨十六少九十六文得桃八仍為正梨三十二仍為負少一百九十二文為負于是以上層為主兩下相較則桃各八彼此減盡榴二十八無可減仍為二十八依本層為正梨三十二無可加仍為三十二本層無數乃變負為正六百四十文與少一百九十二文相加得八百三十二文仍依本層為正即榴二十八梨三十二共價八百三十二文也【葢桃彼此減盡上層多榴二十八下層少梨三十二即上層多梨三十二故多與少相差之八百三十二文即榴二十八梨三十二之共價也】至是桃又減盡但餘二色即變三色為二色而以榴為首對位列之是以榴二十八梨三十二共價八百三十二文列于上榴四梨七共價一百四十八文列于下乃以上榴二十八遍乗下榴四梨七共價一百四十八文得榴一百一十二梨一百九十六共價四千一百四十四文又以下榴四遍乗上榴二十八梨三十二共價八百三十二文得榴一百一十二梨一百二十八共價三千三百二十八文兩下相較則榴各一百一十二彼此減盡梨兩下相減餘六十八價兩下相減餘八百一十六文即梨六十八之共價也以梨六十八除之得十二文為梨每個之價以七因之得八十四文為梨七之共價于榴梨共價一百四十八文内減之餘六十四文為榴四之共價以四除之得十六文即榴毎個之價以桃二榴七共價一百六十文計之則榴七應價一百一十二文于桃榴共價一百六十文内減之餘四十八文為桃二之共價以二除之得二十四文為桃每個之價再以瓜二桃四共價一百五十六文計之則桃四應價九十六文于桃瓜共價一百五十六文内減之餘六十文為瓜二之共價以二除之得三十文即瓜毎個之價也 附法 設如有石二塊大小不等不知重數隻有銅條一根重十二兩均分十二分以繩系于第五分之上一頭五分一頭七分将大石挂于銅條一頭離提系五分而以小石作砣稱之離提系得六分始平又将小石挂在銅條一頭離提系五分而以大石作砣稱之離提系得四分始平問大小二石各重幾何 法先以五分加一倍與十二分相較餘二分折半得一分與五分相加為六分乃以五分為一率六分為二率餘二分作二兩為三率得四率二兩四錢即五分之端加二兩四錢始與七分相平也爰将二兩四錢以大石離提系五分因之得十二兩為五大石比六小石所多之數【大石離提系五分小石離提系六分而平是大石重六分小石重五分也若五大石六小石則各得三十分其重始等然五分之一端應加二兩四錢是大石重六分尚多二兩四錢也若五大石則多十二兩矣故為五大石比六小石多十二兩也】又将二兩四錢以小石離提系五分因之亦得十二兩為四大石比五小石所少之數【小石離提系五分大石離提系四分而平是小石重四分大石重五分也若五小石四大石則各得二十分其重始等然五分之一端應加二兩四錢是小石重四分尚多二兩四錢也若五小石則多十二兩矣故為五小石比四大石多十二兩因以大石為首故變為四大石比五小石少十二兩也】因作較數方程法算之以大石五為正小石六為負重多十二兩為正列于上又大石四為正小石五為負重少十二兩為負列于下乃以上大石五遍乗下大石四小石五少十二兩得大石二十小石二十五少六十兩又以下大石四遍乗上大石五小石六多十二兩得大石二十小石二十四多四十八兩兩下相較則大石各二十彼此減盡小石兩層皆負故相減餘一重少六十兩與多四十八兩相加得一百零八兩即為一小石之重數以小石六因之得六百四十八兩為六小石之共重數加五大石所多十二兩得六百六十兩為五大石之共重數以五歸之得一百三十二兩即為一大石之重數也此本疊借互征之法而以方程算之稍為簡易焉 設如有銀一千六百四十兩兄弟二人分之各不知數隻雲兄之四分之一弟之六分之一共三百五十兩問兄弟各分銀幾何 法以一千六百四十兩為兄四分弟六分之共銀數以三百五十兩為兄一分弟一分之共銀數如和數方程法算之以兄四分弟六分共銀一千六百四十兩列于上兄一分弟一分共銀三百五十兩列于下乃以下兄一分遍乗上兄四分弟六分共銀一千六百四十兩仍得原數又以上兄四分遍乗下兄一分弟一分共銀三百五十兩得兄四分弟四分共銀一千四百兩兩下相較則兄各四分彼此減盡弟兩下相減餘二分銀兩下相減餘二百四十兩即弟二分之共銀數以弟二分除之得一百二十兩為弟一分之銀數以弟六分乗之得七百二十兩即弟所分之共銀數于共銀一千六百四十兩内減之餘九百二十兩即兄所分之共銀數也【此法用疊借互征算之亦可】 設如甲乙二人分果不知其數隻雲甲予乙九枚則乙與甲等乙予甲九枚則一甲與二乙等問甲乙分果各幾何 法将甲予乙九枚以二因之得一十八枚為一甲比一乙所多之數【與二乙相等也葢甲予乙九枚則甲與乙等若甲不予乙則甲多九枚乙少九枚是甲比】又将乙予甲九枚以三因之得二十七枚為一甲比二乙所少之數【乙多十八枚也葢乙予甲九枚則一甲與二乙等若乙不予甲則乙多九枚二乙必多十八枚甲少九枚是一甲比二乙】因作較數方程法算之以甲一為正乙一為負多十八枚為正列于上又甲一為正乙二為負少二十七枚為負列于下因甲首色皆為一故不用互乗兩下相較則甲各一彼此減盡乙兩層皆負故相減餘一果一正一負故相加得四十五枚即為乙之果數如甲多十八枚得六十三枚即為甲之果數也若甲與乙九枚則甲餘五十四乙亦得五十四是甲與乙相等若乙與甲九枚則 乙餘三十　　　　　　　　　　　　　　　　　【少二十七枚也】六甲得七十二是一甲【此法用疊借互征算之亦可】 設如有田二千六百五十畝令上中下三等農夫分耕上等四十人中等五十人下等七十人上等比中等毎人多七畝中等比下等毎人多五畝問上中下三等毎人各耕幾何 法以二千六百五十畝為和以多七畝多五畝為較如和較兼用三色方程法算之先以上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十畝列于上【因為和數故不用号】又上等一人為正中等一人為負多七畝為正列于下【無下等則作空以存其位】乃以下上等一人遍乗上上等四十人中等五十人下等七十人共田二千六百五十畝仍得原數又以上上等四十人遍乗下上等一人中等一人多七畝得上等四十人為正中等四十人為負多二百八十畝為正于是以上層為主兩下相較則上等各四十人彼此減盡中等五十人加四十人得九十人下等無可加減仍得七十人田二千六百五十畝減二百八十畝餘二千三百七十畝即中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝也【因依本層故仍為和數】次以中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝列于上【因為和數故不用号】又中等一人為正下等一人為負多五畝為正列于下乃以下中等一人遍乗上中等九十人下等七十人共田二千三百七十畝仍得原數又以上中等九十人遍乗下中等一人下等一人多五畝得中等九十人為正下等九十人為負多四百五十畝為正兩下相較則中等各九十人彼此減盡下等七十人加九十人得一百六十人田二千三百七十畝減四百五十畝餘一千九百二十畝即下等一百六十人之共數也以下等一百六十人除之得十二畝為下等每人所耕之數加五畝得十七畝為中等毎人所耕之數又加七畝得二十四畝為上等每人所耕之數也【此法本和數比例以方程算之亦可】 禦制數理精蘊下編卷十