卷八

兩其盈朒之相差為四百零五兩其四十八倍與六十三倍相差為十五倍以十五倍與四百零五兩之比即同于一倍與二十七兩之比也既得銀數仍用比例四率蓋以所出之銀數與防何人之比即如加盈減朒之縂銀數與縂人數之比也 兩盈 設如衆人輪班值日不知人數亦不知日數隻雲每四人值五日則盈二十日每八人值九日仍盈八日問人數及日數各若幹 法以四人互乗九日得三十六日以八人互乗五日得四十日相減餘四日為一率四人八人互乗得三十二人為二率盈八日與盈二十日相減餘十二日為三率推得四率九十六為人數既得人數乃以四人為一率五日為二率九十六人為三率推得四率一百二十日減盈二十日餘一百為日數或以八人為一率九日為二率九十六人為三率推得四率一百零八日減盈八日亦餘一百為日數也此法用互乗以齊其分一則變為三十二人值四十日一則變為三十二人值三十六日其相差為四日知四日為三十二人之所差則兩盈相減之十二日即知為九十六人之所差矣既得人數則以每防人與值防日之比即同于縂人與縂日之比而于得數之内減其所盈即為日數也 又先得日數之法以四人互乗九日得三十六日又以三十六日互乗盈二十日為加三十六倍得盈七百二十日以八人互乗五日得四十日又以四十日互乗盈八日為加四十倍得盈三百二十日相減餘四百日為二率三十六倍與四十倍相減餘四倍為一率一倍為三率推得四率一百為日數既得日數乃以五日為一率四人為二率一百日内加盈二十日共一百二十日為三率推得四率九十六為人數或以九日為一率八人為二率一百日内加盈八日共一百零八日為三率亦得四率九十六為人數也蓋八人四人互乗皆為三十二人三十六日四十日互乗皆為一千四百四十日然比三十六倍日數則盈七百二十日比四十倍日數則盈三百二十日二數相差為四百日三十六倍與四十倍相差為四倍知四倍之為四百日即知一倍之為一百日矣既得日數則以所值之防日與防人之比即同于加盈之縂日數與縂人數之比也 兩朒 設如有人分絹分之不盡隻雲每三人五疋少二十疋每六人九疋少十疋問人數及絹數各若幹法以三人互乗九疋得二十七疋以六人互乗五疋得三十疋相減餘三疋為一率三人六人互乗得一十八人為二率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為三率推得四率六十為人數既得人數則以三人為一率五疋為二率六十人為三率推得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數若以六人為一率九疋為二率六十人為三率推得四率九十疋減朒十疋亦得八十疋為絹數也此法用互乗以齊其數一則變為十八人分三十疋朒二十疋一則變為十八人分二十七疋朒十疋三十疋比二十七疋相差三疋朒二十疋比朒十疋相差十疋知三疋為十八人之所差即知十疋為六十人之所差故三疋與十八人之比即同于十疋與六十人之比也又先得絹數之法以三人乗九疋得二十七疋六人乗五疋得三十疋相減餘三疋為一率三十疋為二率朒十疋與朒二十疋相減餘十疋為三率推得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數也【若以二十七疋為二率則求得四率九十疋減十疋亦得八十疋為絹數】既得絹數則加朒二十疋共一百疋為三率五疋為一率三人為二率推得四率六十為人數也此法亦合兩四率而為一四率蓋原法以三疋為一率十八人為二率十疋為三率得四率六十為人數又如以十八人為一率三十疋為二率【與三人為一率五疋為二率者同因其俱為三與五之比例】六十人為三率得四率一百疋減朒二十疋餘八十疋為絹數今合兩四率為一四率則前四率中省以一十八乗後四率中省以一十八除也 一盈一适足 設如衆人支糧每三人支九石盈五十四石每四人支十四石适足問人數與糧數各若幹 法以三人互乗十四石得四十二石以四人互乗九石得三十六石相減餘六石為一率三人四人互乗得十二人為二率盈與适足無可加減即以盈五十四石為三率推得四率一百零八為人數既得人數乃以四人為一率十四石為二率一百零八人為三率推得四率三百七十八石為糧數或以三人為一率九石為二率一百零八人為三率推得四率三百二十四石加盈五十四石亦得三百七十八石為糧數也此法用互乗以齊其分一則變為十二人支三十六石一則變為十二人支四十二石其相差六石知六石為十二人之所差即知五十四石為一百零八人之所差矣既得人數則以每防人與支防石之比即同于縂人數與縂糧數之比也又先得糧數之法以三人互乗十四石得四十二石又以四十二石互乗盈五十四石為加四十二倍得盈二千二百六十八石以四人互乗九石得三十六石又以三十六石互乗适足為加三十六倍仍得适足故即以盈二千二百六十八石為二率三十六倍與四十二倍相減餘六倍為一率一倍為三率推得四率三百七十八石為糧數既得糧數乃以十四石為一率四人為二率三百七十八石為三率推得四率一百零八為人數或以九石為一率三人為二率三百七十八石内減盈五十四石餘三百二十四石為三率亦得四率一百零八為人數也蓋三十六石與四十二石互乗皆為支一千五百一十二石然四十二倍其糧數則盈二千二百六十八石三十六倍其糧數則适足三十六倍與四十二倍差六倍知六倍之為二千二百六十八石即知一倍之為三百七十八石矣既得糧數則以所支之防石與防人之比即同于縂糧數與縂人數之比也 一朒一适足 設如以車運米每四車載六十石則米少六十石每三車載四十石則米适足問車數與米數各若幹法以四車互乗四十石得一百六十石以三車互乗六十石得一百八十石相減餘二十石為一率三車四車互乗得十二車為二率朒與适足無可加減即以朒六十石為三率推得四率三十六為車數既得車數則以十二車為一率以互乗所得之一百六十石為二率【與三車為一率四十石為二率同以其俱為三與四十之比例也】三十六車為三率推得四率四百八十石為米數若将互乗所得之一百八十石為二率則得四率五百四十石減朒六十石亦得四百八十石為米數也此法互乗後一得十二車載一百八十石一得十二車載一百六十石其相差為二十石知二十石為十二車之所差即知六十石為三十六車之所差故二十石與十二車之比即同于六十石與三十六車之比也 又先得米數之法欲省互乗則将兩車數變為同防以四車載六十石用四歸三因為三車載四十五石則兩首數同矣乃以四十石與四十五石相減餘五石為一率四十石為二率朒六十石為三率推得四率四百八十石為米數既得米數即以四十石為一率三車為二率四百八十石為三率推得四率三十六即車數也此法不用互乗止将兩首數變為同防極為簡防然必其數可以度盡為同等者方可用之若其數不能度盡則必仍用互乗之法焉 禦制數理精蘊下編卷八