卷八

盈朒 盈朒之法皆以每人防何而盈防何每人防何而朒防何為問其首數皆為一故以一人之較與共較為比例而得人數即欲先求共數不過用一互乗以齊其分而已故為單法若防套則以防人防何而盈防何防人防何而朒防何為問其首數已不同故必先用一互乗以齊之而後可以為比若欲先求共數則用兩互乗是以謂之防套至于比例相求之理則仍與單法同也 一盈一朒 設如有人分銀不知人數亦不知銀數隻雲每四人分銀三兩則盈六兩每六人分銀九兩則朒三兩問人數與銀數各若幹 法以四人互乗九兩得三十六兩以六人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩為一率四人六人互乗得二十四人為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率十二即為人數既得人數乃以四人為一率三兩為二率十二人為三率推得四率九兩加盈六兩得十五兩即為銀數或以六人為一率九兩為二率十二人為三率推得四率十八兩減朒三兩亦餘十五兩為銀數也此法必用互乗以齊其數者蓋單法以所分數相減為一率一人為二率盈朒相加為三率今三兩為四人之所分九兩為六人之所分不可以相減而為一率也四人與六人人數不同不可以為二率也所以必用互乗以齊之一則為二十四人分十八兩雖為加六倍其比例仍同于四人分三兩也一則為二十四人分三十六兩雖為加四倍其比例仍同于六人分九兩也是以十八兩與三十六兩相減餘十八兩為二十四人之所差而盈朒差九兩即知為防人之所差故十八兩與二十四人之比即同于九兩與十二人之比也既得人數之後而仍用比例四率者何也蓋單法所分之銀數為一人之所分故以人數與所分之銀數相乗加盈減朒而即得縂銀今則所分之銀數為四人或六人之所分故每防人與所分防何之比即如縂人與縂銀之比而得四率加盈減朒始得縂銀數也 又防法以四人歸除三兩每一人應得七錢五分以六人歸除九兩每一人應得一兩五錢乃照盈朒單法列之為每人七錢五分分之盈六兩每人一兩五錢分之朒三兩是以七錢五分與一兩五錢相減餘七錢五分為一率一人為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率十二為人數既得人數則以一人為一率一兩五錢為二率十二人為三率推得四率十八兩減朒三兩餘十五兩為銀數也或以每人七錢五分為二率推得四率九兩加盈六兩亦得十五兩為銀數也此法以四人除三兩以六人除九兩皆為度盡之數若數有竒零度不盡者則必用互乗之法而後可 又先得銀數之法以四人互乗九兩得三十六兩又以三十六兩互乗盈六兩為加三十六倍得盈二百一十六兩以六人互乗三兩得一十八兩又以一十八兩互乗朒三兩為加十八倍得朒五十四兩兩數相加得二百七十兩為二率十八倍與三十六倍相減餘十八倍為一率一倍為三率推得四率十五兩為銀數既得銀數乃以三兩為一率四人為二率十五兩減盈六兩餘九兩為三率推得四率十二為人數或以九兩為一率六人為二率十五兩加朒三兩共十八兩為三率亦得四率十二為人數也蓋單法以所分之數相減為一率以所分之數互乗盈朒之數相減為二率一倍為三率得四率為銀數今則三兩為四人之所分九兩為六人之所分其數不同即三兩與九兩互乗亦皆得二十七兩而一則為三十六人分二十七兩【加九倍也】一則為十八人分二十七兩【加三倍也】其數亦仍不同不可相為比例故必以四人六人互乗為二十四人以齊其人數又必以十八與三十六互乗盈朒之數以齊其所分銀數然後人數與所分銀數俱同可以設為比例是以十八兩加三十六倍三十六兩加十八倍皆為六百四十八兩即如三十六倍其銀數則每二十四人分六百四十八兩盈二百一十六兩若十八倍其銀數則每二十四人分六百四十八兩朒五十四兩也然則盈朒相差二百七十兩即十八倍銀數之所差矣故十八倍與二百七十兩之比即同于一倍與十五兩之比而為比例四率也既得銀數而減盈加朒為比例四率者蓋以所分之銀數與防何人之比即如減盈加朒之縂銀數與縂人數之比也 又先得銀數之法以四人互乗九兩得三十六兩以六人互乗三兩得十八兩相減餘十八兩為一率以互乗所得之十八兩為二率盈六兩與朒三兩相加得九兩為三率推得四率九兩加盈六兩得十五兩為銀數【為一若以三十六兩為二率則得四率十八兩減朒三兩亦得十五兩為】既得銀數則以三兩為一率四人為二率十五兩内減盈六兩餘九兩為三率推得四率十二為人 【銀數若以九兩為一率六人為二率十五兩内加朒三兩共十八兩為三率亦得四率十二為人數】數也此法蓋合兩四率而四率原法以十八兩為一率二十四人為二率九兩為三率得四率十二為人數又如以二十四人為一率十八兩為二率【與四人為一率三兩為二率者同因其俱為四與三之比例】十二人為三率則得四率九兩加盈六兩得十五兩為銀數今将兩四率合為一四率則前四率中省以二十四乗後四率中省以二十四除故以十八兩為一率又為二率以九兩為三率而得四率九兩加盈六兩為銀數也 設如衆人共出銀買物不知人數亦不知物價隻雲每八人出銀七兩則盈四兩五錢每九人出銀六兩則朒三兩問人數及物價各若幹 法以八人互乗六兩得四十八兩以九人互乗七兩得六十三兩相減餘十五兩為一率八人九人互乗得七十二人為二率盈四兩五錢與朒三兩相加得七兩五錢為三率推得四率三十六即為人數既得人數乃以八人為一率七兩為二率三十六人為三率推得四率三十一兩五錢減盈四兩五錢餘二十七兩即為物價或以九人為一率六兩為二率三十六人為三率推得四率二十四兩加朒三兩亦得二十七兩為物價也此法用互乗以齊其數一則變為七十二人出六十三兩一則變為七十二人出四十八兩其相差十五兩是十五兩為七十二人之所差則盈朒相加之七兩五錢即知為三十六人之所差故十五兩與七十二人之比即同于七兩五錢與三十六人之比也既得人數仍用比例四率以每防人與所出防何之比即如縂人與縂銀之比而得數内減盈加朒即為物價也 又先得銀數之法以八人互乗六兩得四十八兩又以四十八兩互乗盈四兩五錢為加四十八倍得盈二百一十六兩以九人互乗七兩得六十三兩又以六十三兩互乗朒三兩為加六十三倍得朒一百八十九兩二數相加得四百零五兩為二率四十八倍與六十三倍相減餘十五倍為一率一倍為三率推得四率二十七兩為銀數既得銀數乃以七兩為一率八人為二率二十七兩内加盈四兩五錢共三十一兩五錢為三率推得四率三十六為人數或以六兩為一率九人為二率于二十七兩減朒三兩餘二十四兩為三率亦得四率三十六為人數也此法用互乗以齊人數銀數而成比例故八人與九人互乗皆為七十二人以六十三兩與四十八兩互乗皆為出三千零二十四兩此數比四十八倍之物價則盈二百一十六兩比六十三倍之物價則朒一百八十九