卷六

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷六 線部四 和數比例 較數比例 和數比例 比例之中有合率而複有和數者将幾比例之率合為一比例故謂之合率至于有總數又有分數以分數合而與總數相比則謂之和數其在九章總名差分而其實總不越比例之理故今質名之曰和數比例其立法有以實數與實數比者如合衆人數與總物數之比即若每人數與每物數之比是也有以所立衰數與實數比者如合衆衰數與總物數之比即若每人衰數與每物數之比是也又或以加倍數成率者其得數亦為加倍之數或以兩數相乗而成率者其得數亦為兩數相乗之數要之皆以比例而得故于各條詳加解説以明其故焉 設如南北二商合本貿易南出本銀一百五十兩北出本銀二百五十兩共得利銀一千兩按各人所出本銀之分分之問二人各得利銀幾何 法以南出本銀一百五十兩與北出本銀二百五十兩相并得四百兩為一率利銀一千兩為二率南出本銀一百五十兩為三率推得四率三百七十五兩即南所分利銀數于共利一千兩内減三百七十五兩餘六百二十五兩即北所分利銀數也如以二人本銀共四百兩為一率二人共利一千兩為二率北出本銀二百五十兩為三率推得四率六百二十五兩即北所分利銀數也此法蓋以二人共本比共利即如每人各本比各利而為相當比例四率也又捷法以二人共出本銀四百兩歸除二人共得利銀一千兩得每一兩之利為二兩五錢乃與各人本銀數相乗即得各人所分利銀數此又以每一兩之利與各人所出本銀之利相比而得也 設如趙周馮三人合夥生理趙出本銀一千兩周出本銀八百兩馮出本銀六百兩共得利銀一千二百兩按各人所出本銀之分分之問三人各得利銀幾何 法以三人各出本銀相并得二千四百兩為一率三人共得利銀一千二百兩為二率三人所出本銀數各為三率推得各四率趙五百兩周四百兩馮三百兩即為各人所得利銀數也若用捷法則以三人所并本銀二千四百兩歸除共得利銀一千二百兩得每一兩之利為五錢按各人本銀數乗之即各人所得利銀數也 設如甲乙丙三商共出本銀一千五百二十兩得利銀一百九十兩甲分一百二十兩乙分四十兩丙分三十兩問各人原本銀若幹 法以共利銀一百九十兩為一率共本銀一千五百二十兩為二率每分利銀各為三率推得各四率甲本銀為九百六十兩乙本銀為三百二十兩丙本銀為二百四十兩如用捷法則以共利銀一百九十兩歸除共本銀一千五百二十兩得每一兩利銀之本銀為八兩乃以八兩乗各人利銀分數即得各人本銀之數矣 設如甲丙戊三人合本貿易共得利銀三千二百二十兩甲本銀三千六百兩丙本銀五百一十兩戊本銀不知其數但知該分利銀四百八十兩問其本銀若幹 法以三人共得利銀三千二百二十兩内減戊之利銀四百八十兩餘二千七百四十兩為一率甲丙二人本銀相并得四千一百一十兩為二率戊利銀四百八十兩為三率推得四率七百二十兩即戊之本銀數也此法于總利中減去戊利銀所餘者即甲丙二人之利銀故以甲丙二人之共利銀與甲丙二人之共本銀相比即若戊一人之利銀與戊一人之本銀相比也 設如甲乙丙三商共出本銀一千五百二十兩今得本利共銀一千七百一十兩甲分本利共銀一千零八十兩乙分本利共銀三百六十兩丙分本利共銀二百七十兩問三人所分本利各若幹法以三人所得本利共銀一千七百一十兩為一率共出本銀一千五百二十兩為二率各人所分本利共銀各為三率推得各四率甲本銀九百六十兩乙本銀三百二十兩丙本銀二百四十兩即為各人本銀數以各人本銀減各人共銀甲得利銀一百二十兩乙得利銀四十兩丙得利銀三十兩即各人利銀數也 設如有三人合本貿易第一人出本銀五百兩系七成第二人出本銀一千兩系八成第三人出本銀一千五百兩系九成共得利銀二千兩皆系十成問每人應得利銀若幹 法以各人所出本銀數與各銀成色相乗第一人得三百五十兩第二人得八百兩第三人得一千三百五十兩三數相加共得二千五百兩為一率共得利銀二千兩為二率毎人所得相乗之數【第一人三百五十兩第二人八百兩第三人一千三百五十兩】各為三率推得各四率第一人得二百八十兩第二人得六百四十兩第三人得一千零八十兩即各人應得之利銀數也此法以各銀成色乗各人銀數者是将各銀成色俱變作十成銀也如第一人七成銀五百兩變作十成銀止得三百五十兩第二人八成銀一千兩變作十成銀止得八百兩第三人九成銀一千五百兩變作十成銀止得一千三百五十兩并之得十成銀二千五百兩故以總十成銀二千五百兩與共利銀二千兩之比即若毎人十成本銀與每人應得利銀之比也 設如甲丙戊三商合本貿易其所出本銀多寡不同時日亦不同甲出本銀六百兩系八個月丙出本銀四百五十兩系六個月戊出本銀五百兩系十個月共得利銀一千兩問各人應分利銀幾何法以各人本銀與各人月分相乗甲得四千八百兩丙得二千七百兩戊得五千兩三數相并得一萬二千五百兩為一率共利銀一千兩為二率各人本銀乗各人月分之數為三率推得各四率甲得三百八十四兩丙得二百一十六兩戊得四百兩即為各人應得之利銀數也此法先以各人本銀乗各人月分者葢以各人所出本銀按月分以加倍也三人本銀各有月分則行利亦按月加倍也 設如乙丙丁三人合夥生理乙出本銀二百兩系八個月出本之兩月後又添本銀四十兩丙出本銀三百二十兩系六個月出本之一月後又添本銀八十兩丁出本銀一百六十兩系十個月共得利銀三百六十兩問每人各該利銀幾何 法以乙本銀二百兩與八個月相乗得一千六百兩又以後添四十兩與六個月相乗【因出本之兩月後又添銀故用六月】得二百四十兩此兩數相加得一千八百四十兩為乙之衰數以丙本銀三百二十兩與六個月相乗得一千九百二十兩又以後添八十兩與五個月相乗【因出本之一月後又添銀故用五月】得四百兩此兩數相加得二千三百二十兩為丙之衰數以丁本銀一百六十兩與十個月相乗得一千六百兩即丁之衰數乃以三人衰數相加得五千七百六十兩為一率三百六十兩為二率各人衰數各為三率推得各四率乙得一百一十五兩丙得一百四十五兩丁得一百兩即各人應得之利銀數也此法因出銀前後各不同故以各人出銀節次乗各人月分而得各人衰數既得各人衰數則相加而與總利銀為比即如各人衰數與各人利銀相比也 設如甲乙丙三商合本貿易共得利銀一千兩甲本銀三百兩系十個月乙本銀六百兩丙本銀四百兩俱不知月分其利銀則甲分五百兩乙分三百兩丙分二百兩問乙丙二人出本銀月分各幾何法以甲之利銀五百兩為一率甲之本銀三百兩與十個月相乗得三千兩為二率乙之利銀三百兩為三率推得四率一千八百兩為乙之本銀六百兩與月分相乗