卷五

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷五 線部三 按數加減比例【遞加遞減差　分超位加減差分互□□平　差分首尾互凖】 按數加減比例 差分之内又有按數遞加遞減或互和折半者皆為相當比例其法有四一曰遞加遞減差分蓋所加所減之中遞次數目皆同者也一曰超位加減差分乃加減之中彼此分數不同者也一曰互和折半差分蓋立法以首尾二數之較互和折半以求中數而遞加遞減者也一曰首尾互準差分乃以前幾分之數與後幾分之數互相比較或以前幾分與後幾分定為同數以立準則然後立衰數以求之者也然超位加減即遞加遞減之一類也首尾互凖又為互和折半之變體也 遞加者其數自少而多以漸而加也遞減者其數自多而少以漸而減也加減之數遞次皆同故以遞次名之法中有三色者以總法比總實即得中一數凡單位者俱按此例如五色七色九色之類是也有四色者以總法比總實得中二數相和折半之數凡雙位者皆按此例如六色八色十色之類是也既得中數按定數加減則各色之數可得矣 超位加減者加減之中遞次分數不同即如三人分銀若幹一得三分一得五分一得八分而彼此分數之比例不同又如三人買物第一人比第二人多出二倍第二人比第三人又多出一倍而加倍之比例不同故謂之超位加減然立衰分求之與遞次加減無異故次于遞次加減之後 互和折半者亦如遞次加減之理但用法防異遞次加減知總物數知總人數并知遞加遞減之數以求各數互和折半則亦知總物數總人數但知首一人比末一人之較數而求遞加遞減之數以得各數是以三色者第一數第三數相和折半即第二數四色者第一數第四數相和折半即第二數第三數之中數既得中數按較數之分加減之即得遞加之數五色六色以至多位者止分竒偶立法總以三四為例俱可以相和折半而得故名之曰互和折半也首尾互準者即互和折半之變體蓋互和折半知總物數知總人數又知首一人比末一人之較數因此較數而得各人分數首尾互準則不知總物數但知總人數與首尾二人各分數或但知首尾幾位共分數由此互相準折而得各項分數與總數要之但以互和折半之法逆推之而即得故次于互和折半之後焉 遞加遞減差分 設如有金六十兩令甲乙丙三人依次遞加五兩分之問各得幾何 法以三人為一率金六十兩為二率一人為三率推得四率二十兩即乙應得之數自乙數加五兩得二十五兩即丙應得之數自乙數減五兩得十五兩即甲應得之數也此法因甲丙二人所得較之乙所得加減之數皆同故以總三人與總六十兩之比即若中一人與中一分二十兩之比也 設如有鉛三百五十斤欲作四球依次遞加二十五斤問每球重數若幹 法以四球為一率鉛三百五十斤為二率一球為三率推得四率八十七斤半即第二球第三球相和折半之數乃以遞加二十五斤折半得十二斤半與八十七斤半相加得一百斤即第三球之重與八十七斤半相減餘七十五斤即第二球之重于第三球重數内再加二十五斤得一百二十五斤即第四球之重于第二球重數内再減二十五斤餘五十斤即第一球之重也此法比例所得八十七斤半較之第二球多十二斤半較之第三球則少十二斤半故為二球相和折半之數以遞加二十五斤之數折半加減之即得中二球之重再以二十五斤加減之即得第一與第四球之重也 設如有金七十五斤分與公侯伯子男五等自男以上遞加五斤問各該幾何 法以五人為一率金七十五斤為二率一人爲三率推得四率十五斤即伯所得之數自伯十五斤而上加五斤得二十斤即侯所得之數再加五斤得二十五斤即公所得之數自伯十五斤而下減五斤餘十斤即子所得之數再減五斤餘五斤即男所得之數也 設如有俸糧三百零五石令五等官依品級遞減十三石給之問各得若幹 法以五分為一率【即五等官五分也】糧三百零五石為二率一分為三率推得四率六十一石即三等官俸自六十一石遞加十三石得二等七十四石一等八十七石自六十一石遞減十三石得四等四十八石五等三十五石也 設如有銀九百九十六錠分給八人自末名以上依次遞加十七錠問首末兩人各該幾何 法以八人為一率銀九百九十六錠為二率一人為三率推得四率一百二十四錠半為第四人第五人相和折半之數乃以遞加十七錠折半得八錠半與一百二十四錠半相加得一百三十三錠即第四人應得之數再以十七錠遞加三次得一百八十四錠即第一人應得之數以八錠半與一百二十四錠半相減餘一百一十六錠即第五人應得之數再以十七錠遞減三次餘六十五錠即第八人應得之數也 設如一人有九子不明説出各人歲數但雲共有二百零七歲自長至少皆遞差三嵗問各歲幾何法以九分為一率【即以九子為九分也】二百零七歲為二率一分為三率推得四率二十三歲即第五子之年自二十三嵗遞加三歲得四子二十六嵗三子二十九歳二子三十二歲長子三十五歲自二十三歲遞減三嵗得六子二十歲七子十七嵗八子十四歲九子十一歲也 設如有叙功之二十人其末一人賞銀一百兩以上遞加三十兩問第一人賞銀幾何共賞銀幾何法以一分為一率遞加三十兩為二率十九分為三率推得四率五百七十兩即第一人比末一人共多之數于此數内加入末名之一百兩共六百七十兩即第一人應得之數以第一人所得之數與末一人所得之數并之共七百七十兩複以二十人乘之得一萬五千四百兩折半得七千七百兩即二十人共得之銀數也此法蓋以第一人比第二十人共多十九個三十兩故以一分與遞加之三十兩相比即如十九分與第一人共多于第二十人之五百七十兩相比也既得十九分共多之數再加入末一人之一百兩即得第一人應得之數矣又首末二數相并以人數二十乘之折半得其銀數者蓋以遞加之數彼此均同首一人得數至多末一人得數至少首末二人之數相并折半即為中數以中數乘人數而得共數今首末二人之數相并而末折半即用人數乗之故所得之數為應得共數之加倍數是以半之而始得共銀數也 設如有牛四十區但雲第一區是三十頭餘遞加二十頭問第四十區該幾何總數幾何 法以一分為一率遞加二十頭為二率三十九分為三率推得四率七百八十加入第一區之三十共八百一十頭即第四十區之數以首末二區數相并共八百四十頭用四十區乗之得三萬三千六百頭折半得一萬六千八百頭即四十區之總數也此法第二區比第一區加二十由此遞加則第四十區比第一區共多三十九個二十故以一分與二十頭相比即如三十九分與第四十區共多于第一區之七百八十頭相比也再加入第一區之三十頭即第四十區之數繼而并首末兩數以總區數四十乗之折半即得共數也 設如有人一百名第一人賞銀一百兩以下遞減五錢問共該銀幾何 法以一分為一率遞減五錢為二率九十九分為三