卷五
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率推得四率四十九兩五錢即第一名多于第一百名之數于一百兩内減之餘五十兩零五錢即第一百名應賞之數又與第一名賞銀相并得一百五十兩零五錢以一百名乗之得一萬五千零五十兩折半得七千五百二十五兩即共賞銀數也蓋賞銀遞減五錢則第一名比第一百名多九十九個五錢故以一分與五錢相比即如九十九分與第一名總多于第一百名之數相比也爰以首尾兩數相并以名數一百乗之折半而得總銀數也
設如一人染絹初日染八尺日加一尺加至六十尺止問日與絹各幾何
法以初日之八尺與末日之六十尺相加得六十八尺為首尾兩日共染之絹數又看八尺以前遞減至一尺有幾分今有七分即為七尺乃于末日之六十尺減去七尺餘五十三尺即為共日五十三日乃以二日為一率六十八尺為二率五十三日為三率推得四率一千八百零二尺即五十三日共染之絹數也此法以二日為一率者取其首末相合之共日為準也以初日末日之尺數相并為二率者取其首末尺數相合與首末兩日為比也以八尺遞減至一尺而得日數為三率者蓋以初日之八尺
【十尺内減】上數至一尺得數必為七分【理與一面尖堆法同】即爲七尺而今有之末日六去七尺餘五十三尺即為五十三日故二日與首末相合之尺數相比即如共日五十三日與共絹之尺數相比也
設如一人行路日増六裡共行三百二十裡但知初末兩日所行共一百六十裡問共行幾日及初日末日各行幾裡
法以初末兩日行數一百六十裡折半得八十裡乃共日之中數為一率一日為二率共行三百二十裡為三率推得四率四日即共行日數也又以日増六裡折半得三裡與六裡相并得九裡加于中數八十裡得八十九裡即第四日所行之數減于中數八十裡餘七十一裡即第一日所行之數也此法以第四日第一日行數相并折半者為得四日之中數既得四日之中數與一日之比即如共數與四日之比也又以日増之數折半而與日増之數相并加于中數而得末日所行之數減于中數而得初日所行之數者其所得之中數在第二日第三日之間故此中數内加日増數之半即得第三日所行之數減日増數之半即得第二日所行之數故再加日増數之全而得末日所行之數再減日増數之全而得初日所行之數也
設如一人織布厯十三日共織一千三百五十二寸因日漸長每日加功六寸至末日比初日多織七十二寸問初末二日各織幾何
法以十三日為一率共織數一千三百五十二寸為二率一日為三率推得四率一百零四寸乃初末二日之中數為第七日所織之數以第七日上計初日下計末日俱得六分于是以六分與日加六寸相乗得三十六寸乃以三十六寸于第七日之一百零四寸内減之得六十八寸即初日所織之數于第七日之一百零四寸上加之得一百四十寸即末日所織之數也此法雖求初末兩日之數然以十三日與總織數之比即一日與初末兩日中數之比既得中數按分加之何所不得此又遞次加減法中之又一例也
設如有田七百二十畝令甲乙丙三戸依次遞減分耕問各該幾何
法以三分為甲衰數二分為乙衰數一分為丙衰數相并得六分為一率總田七百二十畝為二率一分為三率推得四率一百二十畝為一分即丙所耕之數以二分因之得二百四十畝即乙所耕之數以三分因之得三百六十畝即甲所耕之數也此法并總衰分為一率總田數為二率者是将總衰分比總田數故六分得七百二十畝而一分得一百二十畝也六分中甲得三分乙得二分丙得一分自甲遞次至乙至丙皆減一百二十畝故為遞減也凡命法中不定所減分數者即以此法為例
設如有銀九十二兩令伯仲叔季四人遞減分之問各得幾何
法以四分為伯衰數三分為仲衰數二分為叔衰數一分為季衰數相并得十分為一率總銀九十二兩為二率一分為三率推得四率九兩二錢即季所得之數以二分因之得一十八兩四錢即叔所得之數以三分因之得二十七兩六錢即仲所得之數以四分因之得三十六兩八錢即伯所得之數也此法以十分比總銀即如總銀分為十分也是以十分中伯得四分仲得三分叔得二分季得一分自伯遞次至季皆減一分故謂之遞減差分也
設如有金一十二兩六錢欲挨次遞減造套杯六個問各重若幹
法以六五四三二一為六杯衰分并之得二十一分為一率共金數一十二兩六錢為二率一分為三率推得四率六錢即第六杯之重以二分因之得一兩二錢即第五杯之重以三分因之得一兩八錢即第四杯之重以四分因之得二兩四錢即第三杯之重以五分因之得三兩即第二杯之重以六分因之得三兩六錢即第一杯之重也此法以總分比總銀即如以一分比末一杯之重也以上遞加一分即各杯之重矣
設如有糧一千一百三十四石令五等戸遞減納之一等二十四戸二等三十三戶三等四十二戸四等五十一戶五等六十戶問各等每戸應納若幹法以五四三二一為五等衰分以五分因一等戶二十四得一百二十分以四分因二等戸三十三得一百三十二分以三分因三等戶四十二得一百二十六分以二分因四等戸五十一得一百零二分以一分因五等戶六十仍得六十分總并之得五百四十分為一率總糧一千一百三十四石為二率一分為三率推得四率二石一鬥即五等每戶所納之數以二分因之得四石二鬥即四等每戶所納之數以三分因之得六石三鬥即三等每戶所納之數以四因之得八石四鬥即二等每戸所納之數以五因之得十石五鬥即一等每戸所納之數也
超位加減差分
設如甲丙丁三人買房一所共價八百一十兩丙比甲出銀加一倍丁比甲丙共出銀又加一倍問每人各出幾何
法以一分為甲衰數加一倍得二分為丙衰數又以甲一分丙二分相并為三分複加一倍得六分為丁衰數相并得九分為一率總銀八百一十兩為二率以甲一分為三率得四率九十兩即甲所出銀數加一倍得一百八十兩即丙所出銀數将甲丙共銀複加一倍得五百四十兩即丁所出銀數也此法以一分為甲數加一倍為丙數者因丙比甲銀多一倍也又共甲丙兩數加一倍為丁數者因丁比甲丙共銀又多一倍也故以所命各人分數相并得共分數以此共分數比共銀數即如各人分數比各人所出銀數也
設如有銀五千兩買馬四匹園一區宅一所其園價比馬價多三倍而宅價比園價又多四倍問各價幾何
法以一分為馬衰數加三倍【為三分】得四分為園衰數又将園四分加四倍【為十六分】得二十分為宅衰數相并得二十五分為一率總價五千兩為二率馬一分為三率推得四率二百兩即馬四匹之價【馬每匹價五十兩】加三分六百兩得八百兩即園一區之價再将園價加四分三千二百兩得四千兩即宅一所之價也此法将馬為一分而加三分為園價者因園價比馬價多三倍也又将園價為一分而加四分為宅價者因宅價比園價又多四倍也是以共分之比共價即如馬四匹之一分比各色每一分之價也
設如有糧七百六十石以船三次運之第一次運十分二次運七分三次運二分問每次運糧幾何法以十分七分
