卷五
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二分相并得十九分為一率共糧七百六十石為二率十分為三率得四率四百石即第一次所運之數如以七分為三率得四率二百八十石即第二次所運之數如以二分為三率得四率八十石即第三次所運之數也此法第一次之十分二次之七分三次之二分即三次之衰數分數已明故即以運分作衰分也
設如有銅一百八十兩依次遞減造三等儀器上等比中等加二倍中等比下等加一倍問三等儀器各得銅幾何
法以一分為下等衰數二分為中等衰數二分加二倍得六分為上等衰數并之得九分為一率共銅一百八十兩為二率下等之一分為三率推得四率二十兩即下等儀器之重加一倍得四十兩即中等儀器之重又加二倍得一百二十兩即上等儀器之重也此法命一分為下等數故加倍為中等數而得二分複以二分加二倍為上等數故上等數又為六分也
設如有銀七十兩買駱駝馬驢各一匹而價之多少不等但知馬比駝價為九分之四驢比駝價為九分之一問各價幾何
法以一分為驢衰數四分為馬衰數九分為駝衰數并之得十四分為一率銀七十兩為二率驢一分為三率推得四率五兩即驢一匹之價以四分因之得二十兩即馬一匹之價以九分因之得四十五兩即駝一匹之價此法因駝價為九分故即以九為衰數且兩分母俱同為九分而馬居九分之四故即以四為馬分驢居九分之一故即以一為驢分也既得驢價取其四分即馬價取其九分即駝價也
設如一人為商三次初次獲利比原銀多二倍二次獲利比初次本利共銀多四倍三次獲利比二次本利共銀又多三倍共計獲利并原銀得九百兩問原銀幾何
法以一分為初商原銀衰數加二倍得三分為初次本利共分又比三分加四倍得十五分為二次本利共分又比十五分加三倍得六十分為三次本利共分即以此六十分為一率三次本利共銀九百兩為二率一分為三率推得四率一十五兩即原銀數也此法初次加二倍是原銀之外加二倍也又加四倍是比初次本利共銀之外又加四倍也又加三倍是比二次本利共銀之外又加三倍也故以總分比總銀即如一分之比原銀也
設如有米二十四石分與四人甲四分乙五分丙七分丁九分問各該幾何
法以甲之四分乙之五分丙之七分丁之九分相并得二十五分為一率共米二十四石為二率一分為三率推得四率九鬥六升乃每一分之數以甲四分因之即得甲之三石八鬥四升以乙五分因之即得乙之四石八鬥以丙七分因之即得丙之六石七鬥二升以丁九分因之即得丁之八石六鬥四升也此法以一分為三率故得每人一分之數如以各人分數各為三率即得各人之全分矣
設如有銀九十二兩賞二十人分上中下三等上等四人中等六人下等十人其中等比下等賞加一倍上等比中等賞加二倍問各等每人得賞幾何法以一分為下等衰數乗下等十人得十分又将一分加一倍得二分為中等衰數乗中等六人得十二分又将二分加二倍得六分為上等衰數乗上等四人得二十四分乃以十分十二分二十四分相并得四十六分為一率總銀九十二兩為二率下等一分為三率推得四率二兩即下等每人應得之數将二兩加一倍得四兩即中等每人應得之數将四兩再加二倍得十二兩即上等每人應得之數複以各等人數乗各等每人應得之數即得上等四人共得四十八兩中等六人共得二十四兩下等十人共得二十兩也此法以下等一分為三率故得下等每人一分之數按分倍加而得中等上等如以各等衆人分數各為三率即得各等之共數矣
設如有米五百三十五石賞與三等人第一等二十名第二等五十名第三等一百一十名一等比二等每名加七鬥二等比三等每名加五鬥問三等每名各得幾何
法以二等比三等每名多五鬥與二等五十名相乗得二百五十鬥又以一等比二等每名多七鬥與二等比三等每名多五鬥相加得十二鬥與一等二十名相乗得二百四十鬥兩數相并得四百九十鬥乃于總米五百三十五石内減之餘四百八十六石乃以一等二十人二等五十人三等一百一十人相并得一百八十人為一率四百八十六石為二率一人為三率推得四率二石七鬥即三等毎一人應得之數加五鬥得三石二鬥即二等毎一人應得之數再加七鬥得三石九鬥即一等每一人應得之數也此法以二等比三等毎名多五鬥與二等五十人相乗者是求二等比三等共多之數又以一等比二等毎名多七鬥并二等比三等毎名多五鬥與一等二十人相乗者是求一等比三等共多之數也既得一等二等共多于三等之數于總數内減之所餘即三等相并共一百八十人均分之數故以一百八十人比總米四百八十六石即第三等每一人之比二石七鬥也由此加五鬥即得第二等每一人所得之數于第二等每一人數内再加七鬥即得第一等每一人所得之數矣
互和折半差分
設如有米一百八十石令甲乙丙三人互和折半分之但知甲多丙三十六石問各該若幹
法以三人為一率總米一百八十石為二率一人為三率推得四率六十石即乙應得之數次以甲多丙三十六石二分之毎分得一十八石于乙數内加之得七十八石即甲應得之數于乙數内減之得四十二石即丙應得之數也此法蓋以三人共得之數比一人所得之數其一人所得之數即中一人應得之數甲多乙幾何即乙多丙幾何而甲多丙之數又為甲多乙之倍數故以甲多丙之數分為二分于中數内一加一減則彼此相較之數自得均平故謂之互和折半也
設如有銀二百四十兩令趙錢孫李四人互和折半分之但知趙多李一十八兩問各該若幹
法以四人為一率總銀二百四十兩為二率一人為三率推得四率六十兩即錢孫中二人相和折半之數次取趙多李十八兩之數以三歸之【以三立法者用二歸以四立法者用三歸蓋以之相比而得較也】得六兩即四人遞加之數折半得三兩乃中二人相和折半數與中二人應得數之較以此三兩加于六十兩得六十三兩即錢銀數減于六十兩餘五十七兩即孫銀數錢銀數内再加六兩得六十九兩即趙銀數孫銀數内再減六兩餘五十一兩即李銀數也此法蓋以四人共得之數比一人應得之數其一人應得之數固非四人平分之數故比例所得六十兩為錢孫二人之中數較之錢數少三兩較之孫數多三兩故于六十兩中加三兩即錢數減三兩即孫數既得錢孫中二人數則首末二人隻按分數加之而已
設如有兵二萬三千八百令甲乙丙丁戊五将互和折半領之隻雲戊少甲三千三百六十問各将所領若幹
法以五分為一率兵數二萬三千八百為二率一分為三率推得四率四千七百六十即丙所領之數又取戊少甲之三千三千六十以四歸之【此有五人而較為四故用四歸也】得八百四十為平分加減之數自丙數而上遞加之得五千六百即乙所領之數得六千四百四十即甲所領之數由丙數而下遞減之得三千九百二十即丁所領之數得三千零八十即戊所領之數也
設如有稻一百九十八畝令甲乙丙丁戊己六人收割但知甲比己多收三十畝問各該收稻幾何法以六人為一率總田一百九十八畝為二率一人為三率
