卷五
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推得四率三十三畝即丙丁中二人相和折半之數次取甲多己三十畝以五歸之得六畝折半得三畝加于三十三畝得三十六畝即丙收數再加六畝得四十二畝即乙收數再加六畝得四十八畝即甲收數又以折半三畝減于三十三畝餘三十畝即丁收數再減六畝餘二十四畝即戊收數再減六畝餘十八畝即己收數此法因三十三畝為丙丁二人之中數較之丙少三畝較之丁多三畝故以丙與丁總差六畝折半加減之即得也
首尾互準差分
設如甲乙丙丁四人遞次分銀但知甲得六十九兩丁得五十一兩問乙丙各得銀幾何
法以三分為甲多于丁之衰數【有四人故用三分如或五人則用四分六人則用五分】為一率甲六十九兩與丁五十一兩相減餘一十八兩為二率一分為三率推得四率六兩即四人所得遞加之數将丁銀五十一兩加六兩得五十七兩即丙應得之數再加六兩得六十三兩即乙應得之數也蓋甲數最多丁數最少相差一十八兩由丁至丙至乙至甲相隔三位則知有三差故用三分比一十八兩即如一分比六兩而為遞加數也若三色者以首尾兩數相加折半即中數其法易求故不設例
設如五人遞次絡絲第一人絡絲四十兩第五人絡絲二十四兩問中三人各絡絲幾何
法以四分為第一人多于第五人之衰數為一率第一第五兩數相減餘一十六兩為二率一分為三率推得四率四兩即五人絡絲遞加之數将第五人絡絲二十四兩加四兩得二十八兩即第四人所絡之數再加四兩得三十二兩即第三人所絡之數再加四兩得三十六兩即第二人所絡之數也此法用四為除法葢第五與第一相隔四位則知有四差故用四為比例也
又捷法以第一第五兩數相加折半得三十二兩即第三人所絡之數又以第一第三兩數相加折半得三十六兩即第二人所絡之數複以第三第五兩數相加折半得二十八兩即第四人所絡之數此法即前互和折半之法凡位數竒者俱可用如三五七九是也
設如七人運糧不言總數但知第一人第二人共運二十三石七鬥第五人第六人第七人共運二十六石一鬥其遞加之數俱相等問第三人第四人與前後五人各運幾何
法以第一第二兩人共運二十三石七鬥折半得十一石八鬥五升為第一第二兩人相和折半之數第五第六第七三人共運二十六石一鬥三歸之得八石七鬥即第六人應運之數乃以第一分第二分之中數一分半與第六分相減餘四分半為一率第一第二兩人相和折半之十一石八鬥五升内減第六人之八石七鬥餘三石一鬥五升為二率一分為三率推得四率七鬥即每人遞加之數由第六人八石七鬥而下減七鬥得八石即第七人應運之數由第六人八石七鬥而上遞加七鬥得九石四鬥即第五人應運之數得十石一鬥即第四人應運之數得十石八鬥即第三人應運之數得十一石五鬥即第二人應運之數得十二石二鬥即第一人應運之數也此法蓋因第一人第二人相和折半之數至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人則差四分半故先以第一第二之中數與第六相減得其四分半之差數而以四分半比前二人相和折半多于第六人之六石三鬥即如一分比每人遞加之七鬥也
設如八人分銀不言總數但知第一第二第三三人共得四十五兩第七第八二人共得八十五兩其遞加之數俱相等問各人應得若幹
法以前三人共得銀數四十五兩用三歸之得十五兩即第二人應得之數後二人共得八十五兩折半得四十二兩五錢即第七第八兩人相和折半之數乃以第二分與第七分第八分之中數七分半相減餘五分半為一率第二人應得之十五兩與後二人相和折半之四十二兩五錢相減餘二十七兩五錢為二率一分為三率推得四率五兩即每人遞加之數于第二人十五兩内減五兩即得第一人十兩于第二人十五兩外遞加五兩即得第三人二十兩第四人二十五兩第五人三十兩第六人三十五兩第七人四十兩第八人四十五兩之數也此法葢因第二人至第三人差一分至第四人差二分至第五人差三分至第六人差四分至第七人差五分至第七第八兩人相和折半之數則差五分半故先以第二與第七第八之中數相減得其五分半之差數而以五分半比後二人相和折半多于第二人之數即如每一分比每人遞加之數也
設如八人分米不言總數但知第一第二兩人共得一十一石九鬥第七第八兩人共得八石三鬥其遞加之數俱相等問每人應得若幹
法以第一第二兩人共數一十一石九鬥折半得五石九鬥五升即第一第二兩人相和折半之數再以第七第八兩人共數八石三鬥折半得四石一鬥五升即第七第八兩人相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第七分第八分之中數七分半相減餘六分為一率第一第二兩人相和折半之五石九鬥五升内減第七第八兩人相和折半之四石一鬥五升餘一石八鬥為二率一分為三率推得四率三鬥即每人遞加之數折半得一鬥五升加于第一第二兩人相和折半之五石九鬥五升得六石一鬥即第一人之數以次遞減三鬥即得第二人五石八鬥第三人五石五鬥第四人五石二鬥第五人四石九鬥第六人四石六鬥第七人四石三鬥第八人四石之數也此法蓋因第一第二兩人相和折半之數至第二人差半分至第三人差一分半至第四人差二分半至第五人差三分半至第六人差四分半至第七人差五分半至第七第八兩人相和折半之數則差六分故先以第一第二之中數與第七第八之中數相減得其六分之差數而以六分比第一第二相和折半多于第七第八相和折半之數即如每一分比每人遞加之數也又以第一第二之中數比第一人差半分故以一分之三鬥折半得一鬥五升加于第一第二兩人相和折半之數即得第一人之數也
設如有竹九節截為九筩盛米遞次長短不均但知根底三節共盛米三升九合梢上四節共盛米三升問九節各盛米數幾何
法以根底第一第二第三三節共盛米三升九合用三歸之得一升三合即第二節盛米之數梢上第六第七第八第九四節共盛米三升用四歸之得七合五勺即第七第八兩節相和折半之數乃以第二分與第七分第八分之中數七分半相減餘五分半為一率第二節盛米一升三合内減第七第八兩節相和折半之七合五勺餘五合五勺為二率一分為三率推得四率一合即每節遞加之數自第二節盛米一升三合而上加一合即得第一節盛米一升四合自第二節盛米一升三合而下遞減一合即得第三節盛一升二合第四節盛一升一合第五節盛一升第六節盛九合第七節盛八合第八節盛七合第九節盛六合也
設如有竹九節截為九筩盛米但知根底二節盛米六升三合梢上二節盛米二升一合問各節所盛米數若幹
法以根底二節共盛米六升三合折半得三升一合五勺為第一第二兩節相和折半之數梢上二節共盛米二升一合折半得一升零五勺為第八第九兩節相和折半之數乃以第一分第二分之中數一分半與第八分第九分之中數八分半相減餘七分為一率第一第二兩節相和折半之三升一合五勺内減第八第九兩節相
