卷三
關燈
小
中
大
<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊
欽定四庫全書
禦制數理精蘊下編卷三
線部一
正比例
轉比例
合率比例
正比例帶分
轉比例帶分
比例
凡物彼此相形并之而用加較之而用減聚之而用乘散之而用除觀之不過兩率然乘除之間四率之理已黙寓其中如因乘命法曰人幾何每人得物幾何求總物幾何則是每一人得物幾何與幾何人共得物幾何相比而成四率乃自小而得大者也如歸除命法曰有物幾何命幾何人分之每人得物幾何則是共人幾何共物幾何與每一人得物幾何相比而成四率乃自大而得小者也葢因命數以一人為法故乘與除各省其率耳是雖名為乘除而實為相比之四率也至于比例正法則所該甚廣大而推歩七政天行測量髙深廣逺小而量功命事度大移小無一非由比例而得葢以兩數為比例用今有之數即可以得未有之數也比例之理雖分相連相當二種而相當比例之中實又兼相連比例相當比例一率比二率如三率比四率而相連比例首率比中率若中率比末率者即是中率為二率而又為三率也盡人皆知線有線之比例面有面之比例體有體之比例殊不知差分盈朒方程借衰疉借之類正皆比例之屬也然此類中有合數之比例分數之比例均數之比例借數之比例非條分縷析各項專論則不備故仍舊各自為類而獨于比例中最切者詳明其理以列法焉其法一名異乘同除【或名為準測或名為順單】以原有之兩件相除故為同除以今有之一件乘之故為異乘【如先乘而後除亦同】而今則質言之曰正比例葢以原有之兩件為一率二率以今有之一件為三率而所求之一件則為四率也一名為同乘異除【或名為變測或名為互視或名為逆單】以原有之兩件相乘故為同乘以今有之一件除之故為異除而今則質言之曰轉比例葢以原有之兩件為二率三率以今有之一件為一率而所求之一件則為四率也然論其乘除之名雖異究其比例之理則一而已今以數明之如原有之兩數為二與四今有之一數為八以原有之二作一率原有之四作二率今有之八作三率即得今所求之四率為十六而一率二與二率四之比即三率八與四率十六之比為相當之比例也如原有之兩數為八與四今有之一數為十六以原有之八作二率原有之四作三率今有之十六作一率即得今所求之四率為二而一率十六與二率八之比即三率四與四率二之比或以一率十六與三率四之比即同于二率八與四率二之比皆為相當之比例也總之乘除之名有異同四率之列有更換而既成比例之後其理無不歸于大同由此引伸觸類推而廣之有合幾四率而為一四率者則名為同乘同除【或名為重測或名為順較逆較】而今則質言之曰合率比例葢其理亦不過合幾乘而為一乘合幾除而為一除各按四率參互錯綜豈能岀于比例之外哉凡此各種比例俱設數例于後以明立法之根加之解說以廣用法之意
正比例
設如有銀買米每米一石銀八錢今買米二百四十石問共該銀若幹
法以米一石為一率銀八錢為二率今買米二百四十石為三率二三率相乘一率除之得四率一百九十二兩即共銀數也葢一石與二百四十石為加二百四十倍而八錢與一百九十二兩亦為加二百四十倍【見幾何原本六卷第十五節】故一石與八錢之比即同于二百四十石與一百九十二兩之比也【此法一率是一止用八錢乘二百四十石亦得但為明正比例之理故首設一二易法使人好推尋也】
設如有銀買米每銀一兩買米一石三鬥今有銀三百二十兩問共買米若幹
法以銀一兩為一率米一石三鬥為二率今銀三百二十兩為三率二三率相乘一率除之得四率四百一十六石即共米數也葢一兩與一石三鬥之比即同于三百二十兩與四百一十六石之比也
設如有銀賞人每三人賞銀一兩八錢今有二百四十人問共該銀若幹
法以三人為一率一兩八錢為二率今有二百四十人為三率二三率相乘一率除之得四率一百四十四兩即共銀數也葢三人與一兩八錢之比即同于二百四十人與一百四十四兩之比也
設如有谷換米每谷一石四鬥換米八鬥四升今有谷三十二石六鬥八升問換米若幹
法以谷一石四鬥為一率米八鬥四升為二率今有谷三十二石六鬥八升為三率二三率相乘一率除之得四率一十九石六鬥零八合即所換共米數也葢谷一石四鬥與米八鬥四升之比即同于谷三十二石六鬥八升與米一十九石六鬥零八合之比也
設如天上二度當地面四百裡今七度該裡數若幹法以原有之二度為一率四百裡為二率今有之七度為三率二三率相乘一率除之得四率一千四百裡即七度之裡數也葢一率二與二率四之比為加一倍而三率七與四率十四之比亦為加一倍故二率得一率中之幾分之幾則四率亦得三率中之幾分之幾而為相當比例四率也
設如一星一日内行一度三十分今問八刻内應行若幹
法以原數一日變作九十六刻為一率一度三十分變作九十分【一度作六十分加入三十分共九十分】為二率今星行八刻為三率二三率相乘一率除之得四率七分半即八刻内所行之數葢九十六刻與九十分之比即同于八刻與七分半之比也然将日變為刻者因每日九十六刻不以十進位又今所有者為八刻故以刻數與刻數相比也度變為分者因每度六十分亦不以十進位而今八刻内所行者必為分故以分數與分數相比也
設如驗時儀算炮聲自煙起至聞聲計七秒得五裡今得十四秒問裡數若幹
法以七秒為一率五裡為二率今得十四秒為三率二三率相乘一率除之得四率十裡即十四秒之裡數也葢七秒與五裡之比即同于十四秒與十裡之比也
設如有羊四百六十隻共賣銀八十二兩八錢問每羊一隻價銀幾何
法以羊四百六十隻為一率銀八十二兩八錢為二率羊一隻為三率推得四率一錢八分即每羊一隻之價也【此法三率是一止用羊四百六十隻歸除八十二兩八錢亦得但列四率法中不得不備其一體也】
設如有羊一羣共二百四十隻又生羔七十二隻問加羊羣内十分之幾
法以羊二百四十隻為一率十分為二率今生羔七十二隻為三率推得四率三分即為加羊羣内十分之三也葢二百四十與十分之比即同于七十二與三分之比若将二百四十作十分每分得二十四将羊羔七十二作三分每分亦得二十四總而約之故為十分之三也
設如有田科糧每三畝科糧八鬥四升今有四千六百三十五畝問得糧若幹
法以三畝為一率八鬥四升為二率今有四千六百三十五畝為三率
