卷二

欽定四庫全書 禦制數理精蘊下編卷二 首部二 命分 約分 通分 命分 凡歸除分至最細而可以恰盡無餘者謂之無竒零數若分至最細而屢除不盡者謂之有竒零數其竒零若畧去之則不能複還原數此命分之所以立也其法命為分母分子分母者即除數也分子者即除不盡之數也凡不盡之數得分母中之幾分者即命為幾分之幾是以命分之一法正所以濟歸除之所不逮也 設如有銀十一兩命三人分之問每人得若幹法以三人分銀十一兩每人得銀三兩仍餘二兩所餘二兩再以三人分之每人得六錢六分六厘六豪如是每得六而仍餘二數不盡故立命分法以三人為分母所餘二兩為分子命為每人得三兩又三分兩之二葢将每兩剖作三分其所餘二兩則共剖作六分三人分之每人得二分故命為三分兩之二也如因三分兩之二求知原銀數則以三人與分子二分相乘得六分葢每人得二分則三人共得六分也以六分用分母三分歸之得二兩葢初分一兩為三分故終收三分為一兩也再加入三人所得整數共九兩【一人三兩三人共得九兩】則得十一兩以合原數也 設如有銀一百八十七兩命十八人分之問每人得若幹 法以十八人分銀一百八十七兩每人得銀十兩仍餘七兩分之不盡則以十八人為分母所餘七兩為分子命為每人得一十兩又十八分兩之七葢将每兩剖作十八分其所餘七兩則共剖作一百二十六分十八人分之每人得七分故命為十八分兩之七也如因十八分兩之七求知原銀數則以十八人與分子七分相乘得一百二十六分葢每人得七分則十八人共得一百二十六分也以一百二十六分用分母十八分歸之得七兩葢初分一兩為十八分故終收十八分為一兩也再加入十八人所得整數共一百八十兩【一人十兩十八人共得一百八十兩】則得一百八十七兩以合原數也 約分 約分者以所命之分約之以就整分也葢命分是随其數之多寡全而紀之而約分則即其多寡之數從而約之以求簡易焉其法以分子分母兩數輾轉相減務期減餘兩數相同是為度盡兩數之一數乃以此數為一分以除分母得幾分者即約分母為幾分又除分子得幾分者即約為分母幾分中之幾凡諸法中有帶分者皆由約法而得故設例于此所以明帶分之根也 設如古厯歳實命為三百六十五日又一百分日之二十五今以法約之求相當最小數 法置日分一百以餘分二十五減之餘七十五分再以二十五減之餘五十分再以二十五減之亦餘二十五分兩數齊等即以相等之數二十五轉除日分一百得四即為四分又以二十五除餘分二十五得一即為一分乃百分日之二十五約為 四分之　　　　　　　　【凡約】　　　　　　　　　　　　　　【分法以分母分】一是歳實共得三百六十五【葢将一日剖作四分而得其四分之一也】日又四分日之一也子相減必得相等之數然後用之葢因此數可以度盡分母又可以度盡分子故也今以相等之數二十五為一分則日分一百有四倍二十五故為四分而餘分二十五又恰足一分之數故為一分一百與二十五之比即同于四與一之比是四與一即一百與二十五之相當最小數也凡分母分子輾轉相減不得相等之數終減至于一是分母分子俱無一數可以度盡之數即不用約分用命分志之可也 設如有銀二百一十兩命一百四十七人分之每人得銀一兩仍餘六十三兩不盡以法約之求相當最小數 法置一百四十七人以餘銀六十三減之餘八十四再以六十三減之餘二十一又置六十三轉以二十一減之【因減數大于原數又不得兩數齊等故以二十一轉減之】餘四十二再以二十一減之亦餘二十一則兩數齊等即以相等之數二十一轉除一百四十七人得七即為七分又以二十一除銀六十三兩得三即為三 分乃一百四十七人分餘銀六十三兩約為　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【也】七分之三是每人得銀一兩又七分兩之三【葢将每兩剖作七分而得其七分之三也】也此法以一百四十七人與六十三兩輾轉相減得相等之數二十一是二十一可以度盡一百四十七人又可以度盡六十三兩故也既以二十一為一分則一百四十七有七倍二十一故為七分六十三有三倍二十一故為三分一百四十七與六十三之比即同于七與三之比是七與三即一百四十七與六十三之相當最小數 通分 凡竒零數目不以十遞析者難以立算則用通分如斤通為兩宮通為度度通為分之類是也又有整數而帶零分者則必通之以從其類如化整為零收零作整之類是也或有零分而分母不同者則必通之以同其母如互乘之類是也通分之法立然後竒零數目得以歸有餘齊不足而帶分之法皆根于此故為另設加減乘除之法以明其義焉 加法 凡竒零數相加兩分母同者即并兩分子為得數若相加之數大于母數則于所得數内減去母數為一整數紀其餘為零數 設如有九分丈之七【一丈分為九分而得其七分也】與九分丈之五【一丈分為九分而得其五分也】相加求總數 法以九分之七與九分之五左右列之将兩分子七與五相加得一十二因子數大于母數乃于一十二内減去母數九為一整數餘三為零數即得整數一丈零九分丈之三為相加之數也此法因兩分母同為九分而兩分子亦同為九分中之零分故徑并兩零分之七與五得一十二又以母數九分收為一丈【葢初以一丈分為九分今滿九分即收為一丈也】其所餘三亦仍為九分中之三分故得一丈零九分丈之三為兩零分之共數此分母相同之加法也【如以真數明之九分丈之七是将一丈分為九分得其九分中之七分一丈分為九分則每一分得一尺一寸一分一厘有餘九分中之七分則為七尺七寸七分七厘有餘也九分中之五分則為五尺五寸五分五厘有餘也兩數相加共得一丈三尺三寸三分三厘有餘即一丈零九分丈之三也葢一尺一寸一分一厘有餘既為九分中之一分則三尺三寸三分三厘有餘即九分中之三分也如以九分除三分即得三尺三寸三分三厘不盡之數是九分與一丈之比即同于三分與三尺三寸三分有餘之比也】 凡竒零數相加兩分母不同者則用互乘法以兩分母相乘為共母數再以前分母乘後分子又以後分母乘前分子以所得兩子數相加為共子數紀于共母數之下為共零數 設如有三分丈之二【例亦等一丈分為三分而得其】與五分丈之三【二分也一丈分為五分而得其】相加求總數 法以兩分母三五相乘得一十五為共母數再以前分母三乘後分子三得九又以後分母五乘前分子二得十将兩得數相加得十九為共子數因子數大于母數乃于十九内減去共母數十五為一整數餘四為零數即得整數一丈零十五分丈之四為相加之數也此法用互乘者本為齊其分母也夫以兩分母相乘得十五者乃以兩分母俱變為十五分也【三分也因分母不同難以相加故變】以前分母三乘後分子三得九者乃以後分子變為十五分中之九也又以後分母五乘前分子二得十者是又以前分子亦變為十五分中之十也葢十五分之十與三分之二其比例等【為同等俱為五】而【倍比例】十五分之九與五分之三其比【俱為三倍比例】兩分母既變為同等則兩分子亦俱為同分母之子矣故相加如第一法此分母不同之加法也【如以真數明之三分丈之二既變為十五分丈之十則每一分為六寸六分六厘有餘今得十分即六尺六寸六分六厘有餘也又五分丈之三既變為十五分丈之九則每一分亦為六寸六分六厘有餘今得九分即六尺也兩數相加共得一丈二尺