卷三
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推得四率一千二百九十七石八鬥即所得共糧數也葢三畝與八鬥四升之比即同于四千六百三十五畝與一千二百九十七石八鬥之比也
設如用古量法豆區釜皆以四進有八十豆當二十區有二十區當釜若幹
法以八十豆為一率二十區為二率又為三率推得四率五釜即二十區所當釜數也此正比例中相連比例法也葢因二十區與二十區相乘得四百區而八十豆與五釜相乘亦得四百區二十區既為二率又為三率故謂相連比例是以八十豆與二十區之比即同于二十區與五釜之比也
設如一商原有本銀三千兩一年得利銀九百兩今複将九百兩為本問一年得利若幹
法以三千兩為一率九百兩為二率又為三率推得四率二百七十兩即九百兩所得之利也此法以九百兩為二率又為三率葢三千兩與九百兩之比為三與九之比例而九百兩與二百七十兩之比亦為三與九之比例也
轉比例
設如有田一畝原闊八歩長三十歩今闊要十二歩問長得幾何
法以今闊十二歩為一率原長三十歩為二率原闊八歩為三率二三率相乘一率除之得四率二十歩即今闊十二歩之長也此法以原有之兩數相乘以今有之一數除之而得今所求之數者因乘出兩數相同故也在正比例原有之兩件為一率二率今有之一件為三率而今所求之一件為四率俱以原有之一件與今有之一件相乘其積相同在轉比例則原有之兩件為二率三率今有之一件為一率而今所求之一件為四率是原有之兩件相乘今有之兩件相乘其積相同此兩法異同之故也
雖今闊比原 【得】闊多 【二百】而今長卻比原長少故原【八歩】有之【三十歩】闊與長相乘四十歩而今有之闊【十二歩】與長【二十歩】相乘亦得二百四十歩其積既同是以轉而比之自成比例葢今闊比原闊多三分之一今長比原長少三分之一其比例相同【見幾何原本七卷第三節】故今闊十二歩與原闊八歩之比即同于原長三十歩與今長二十歩之比也若借正比例論之以原闊八歩為一率原長三十歩為二率今闊十二歩為三率二三率相乘一率除之得四率四十五歩則是今闊比原闊多今長亦比原長多所容積數亦多而與一畝之數不合矣故轉以今闊十二歩為一率原長三十歩為二率原闊八歩為三率而得四率二十歩是為一率與三率之比同于二率與四率之比也
設如有地寛二十丈長一百二十丈今換地寛三十丈問長得幾何
法以今寛三十丈為一率原長一百二十丈為二率原寛二十丈為三率二三率相乘一率除之得八十丈即今寛三十丈之長也此法原有之寛與長相乘得二千四百丈今有之寛與長相乘亦得二千四百丈其積既同故轉而比之自成比例以今寛比原寛以原長比今長俱三與二之比例是以今寛三十丈與原寛二十丈之比即同于原長一百二十丈與今長八十丈之比也
設如傭工開渠八人開之二十日完今加倍用十六人開之問得幾日完
法以今十六人為一率原二十日為二率原八人為三率二三率相乘一率除之得四率十日即十六人完工之日也此法因工少而用日多故加人使工多而用日少葢今十六人與原八人之比即今之工加一倍而原二十日與今十日之比則今所得之日亦必減一倍故一率十六人與三率八人之比即同于二率二十日與四率十日之比也
設如有地四百八十畝八人耕之十二日完今用六人耕之問得幾日完
法以今六人為一率原十二日為二率原八人為三率二三率相乘一率除之得四率十六日即六人耕完之日也此法人數日數不同而所耕之田則同為四百八十畝而所用之工又同為九十六故以八人論一日八工十二日則用九十六工以六人論一日六工十六日亦用九十六工也故轉用四率自成比例以一率六人與三率八人之比即同于二率十二日與四率十六日之比也
設如衆軍支米足用四年則每人每月支米三鬥今欲将四年之米足用十二年問每人每月應支幾何
法以今欲用十二年為一率原支米三鬥為二率足用四年為三率二三率相乘一率除之得四率一鬥即足用十二年每人每月應支之數也此法支米多則足用年數少今支米少則足用年數多葢四年與十二年之比在年為加三分之二而三鬥與一鬥之比在米又為減三分之二其比例固同也
設如木星十二年一周天每年行三十度土星則二十八年一周天問每年行幾度
法以土星所行一周二十八年為一率木星每年所行三十度為二率木星所行一周十二年為三率二三率相乘一率除之得四率十二度五十一分二十五秒有餘即土星每年所行之度數也葢木星周天比土星年數少而行度卻多土星周天比木星年數多而行度卻少多得少而少反得多故轉而比之以二十八年與十二年之比即同于三十度與十二度有餘之比也
設如一人借人之絹寬三尺長二十四丈今還絹寬四尺問長該若幹
法以今絹寬四尺為一率原絹長二十四丈為二率原絹寬三尺為三率二三率相乘一率除之得四率十八丈即為今所還寬四尺絹之長也葢原絹寬三尺長二十四丈相乘得七百二十尺今絹寬四尺長十八丈相乘亦得七百二十尺因其積數相同故今絹寬四尺與原絹寬三尺之比即同于原絹長二十四丈與今絹長十八丈之比也
設如驗時儀墜子其繩長四尺四寸八分一厘二豪八絲四刻内來往共三千次今造一墜欲使來一秒往一秒問繩長若幹
法以四刻化三千六百秒為今墜子往來次數自乘得一千二百九十六萬次為一率原墜繩長四尺四寸八分一厘二豪八絲為二率以原墜往來三千次自乘得九百萬次為三率二三率相乘一率除之得四率三尺一寸一分二厘即今所求墜繩之長也夫以四刻化秒者葢以所求之墜子欲其來一秒往一秒也故秒數即次數四刻所化之秒即今墜子在四刻内往來之次數也其比例以次數自乘者因墜子往來之際已成平面形故以往來之方數相比為面比面而原墜與今墜之長數相比為線比線務使其類相當而後可以相比也是以今墜往來次數自乘與原墜往來次數自乘之比即同于原墜長數與今墜長數之比也然原墜于四刻内往來之次數少而墜卻長今墜于四刻内往來之次數多而墜卻短故以今墜之往來次數與原墜之往來次數為比即同于原墜之長與今墜之長為比所以為轉比例也
設如有正方池一面每邊十二丈今欲作寬八丈之池使其池面積數與方池等問長得幾何
法以今池寬八丈為一率原池長十二丈為二率原池寬十二丈為三率推得四率十八丈即今欲作池之長也此轉比例中相連比例
