卷二

得九分丈之六即所求之數也此法與前法所得之分母分子之數雖不同而理則一前法之三分之二與此法之九分之六其比例實同葢前法以法除實其得數為減分之比例此法以兩數互乘其得數為加分之比例故九分之六即三分之二也但法中不用兩分母相乘之數省去一層耳如欲明晰其故則以兩分母九與三相乘得二十七法分母三與實分子二相乘得六實分母九與法分子一相乘得九是将三分之一變為二十七分之九将九分之二變為二十七分之六其兩分母既等則其兩分子自成比例故九與六之比即同于三與二之【六以三約之非三分之二耶】比九分之【如以真數明之實九分丈之二為面積即二十二尺二十二寸二十二分二十二厘有餘也法三分丈之一為邊線即三尺三寸三分三厘有餘也除之得六尺六寸六分六厘有餘即三分丈之二也如以三分除二分亦得六尺六寸六分六厘不盡之數葢三分為一丈其二分自得六尺六寸六分六厘有餘也】 整數歸除零分者分母通整數以除分子即得所求之數 設如有五分丈之三以八丈除之求得幾何 法以分子三為實以分母五通整數八丈得四十為法除之得七寸五分即所求之數也此法以五分乘八丈者是分母通整數将每丈俱通為五分也八丈既通為四十分則五分之三之每一分即與四十分中之每一分同等然而零數三分以四十分除之而得七寸五分者則又為變分為尺寸之比例矣四十分與一丈之比即同于三分與七寸五分之比此整數除零分之法也 零分歸除整數者分母通整數而以分子除之即得所求之數 設如有六丈以三分丈之二除之求得幾何 法以分母三通整數六丈得一十八為實以分子二為法除之得九丈即所求之數也此法以三分乘六丈者是将每丈俱通為三分也六丈既通為十八分則十八分中之每一分與三分之二之每一分同等故以分子二除十八得九丈此零分除整數之法也 整數帶零分歸除整數者先将法實之兩整數俱通為零分而于法中加入分子除之即得 設如有二十四丈以二丈零三分丈之二除之求得幾何 法以分母三通二十四丈得七十二為實又以分母三通二丈得六加入分子二得八為法除之得九丈即所求之數也此法以分母三通實二十四丈是将實之每丈俱化為三分也又以分母三通法二丈是将法之每丈亦俱化為三分也兩整數俱化為同等則法實一體故法除實而得所求之數也此整數帶零分除整數之法也 整數歸除整數帶零分者先将法實之兩整數俱通為零分而于實中加入分子以法除之即得 設如有二丈零三分丈之二以二十四丈除之求得幾何【即以前法數目作題者取其易明也】 法以分母三通二丈得六加入分子二得八為實又以分母三通二十四丈得七十二為法除之得一尺一寸一分不盡約為九分丈之一即所求之數也此法以分母三通法實之兩整數者是将兩整數之每丈俱通為三分也一得七十二分一得八分以七十二與八之比即同于九與一之比故約為九分之一且以七十二除八得一一一不盡之數定為一尺一寸一分有餘者葢七十二分與一丈之比即同于八分與一尺一寸一分有餘之比也此整數除整數帶零分之法也 整數帶零分歸除零分者先将整數通為零分加入分子除之即得 設如有五分丈之四以三丈零八分丈之一除之求得幾何 法以五分丈之四為實以法之分母八通三丈得二十四加入分子一得二十五共得八分丈之二十五為法用兩分母兩分子各自歸除之法以法分母八除實分母五得六二五為除出之分母以法分子二五除實分子四得一六○為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得二尺五寸六分即所求之數也葢法之三丈又八分丈之一乃三丈一尺二寸五分也實之五分丈之四乃八尺也以三丈一尺二寸五分歸除八尺每丈得二尺五寸六分是三丈一尺二寸五分與一丈之比即同于八尺與二尺五寸六分之比也今以分母六二五除分子一六○亦得二尺五寸六分是六二五與一丈之比即同于一六○與二尺五寸六分之比也然六二五與三丈一尺二寸五分之比又即同于一六○與八尺之比而皆為加倍之比例也此整數帶零分除零分之法也又或整數通為零分加入分子之後以法除實而數有竒零不盡者則用互乘代除之法如前數已将整數通為八分丈之二十五為法乃以實分母五乘法分子二十五得一百二十五為除出之分母又以法分母八乘實分子四得三十二為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子亦得二尺五寸六分葢一百二十五分與一丈之比即同于三十二分與二尺五寸六分之比也後法之有竒零數而用互乘代除者皆同此例 零分歸除整數帶零分者先将整數通為零分加入分子以法除之即得 設如有四丈又三分丈之二以七分丈之四除之求得幾何 法以實之分母三通四丈得十二加入分子二得十四共得三分丈之十四為實以七分丈之四為法用互乘代除之法以實分母三乘法分子四得十二為除出之分母以法分母七乘實分子一十四得九十八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八尺仍餘二不盡命為十二分尺之二以法約之為六分尺之一共得八尺零六分尺之一即所求之數也葢十二與一尺之比即同于九十八與八尺有餘之比也此零分除整數帶零分之法也 整數帶零分歸除整數帶零分者先各以整數通為零分加入分子而以法除實即得 設如有田五畝又三分畝之二共租銀五兩又二十七分兩之一求每畝得租銀幾何 法以銀分母二十七通五兩得一百三十五加入分子一得一百三十六共得二十七分兩之一百三十六為實又以田分母三通五畝得十五加入分子二得十七共得三分畝之十七為法用互乘代除之法以銀分母二十七乘田分子一十七得四百五十九為除出之分母以田分母三乘銀分子一百三十六得四百零八為除出之分子乃以所得之分母除所得之分子得八錢八分八厘零四百五十九分厘之四百零八即每畝所租之銀數也葢四五九與一兩之比即同于四○八與八錢八分八厘有餘之比也此整數帶零分除整數帶零分之法也 大零分下又帶小零分相除者其例有四【有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者】今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之子母數用互乘代除之法歸之即得【如用子母各自對除亦得但恐數有竒零故用此法】 設如有甲八分丈之七又帶此一分之五分之三以乙五分丈之二又帶此一分之四分之一除之求 法以甲小分母五通大分母八得四十仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子三得三十八共得四十分丈之三十八為甲大小分所變之數以之為實又以乙小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子二得八再加入小分子一得九共得二十分丈之九為乙大小分所變之數以之為法然後用互乘代除之法以甲所變之分母四十乘乙所變之分子九得三百六十為除出之分母又以乙所變之分母二十乘甲所變之分子三十八得七百六十為除出之分子乃以所得之分母三百六十除所得之分子七百六十得二尺一寸一分一厘零三百六十分厘之四十約為九分厘之一即所求之數也葢三六○與一尺之比即同于七六○與二尺一寸一分一厘有餘之比也此大零分下帶小零分相除之法也【其分母分子俱同及分母同而分子不同分母不同而分子同者皆用此例故不重設】 禦制數理精蘊下編卷二