卷二

八約為三分尺之一為所得之數也此整數帶零分與整數帶零分相乘之法也【如以真數明之其闊二丈又四分丈之三即二丈七尺五寸也其長三丈又三分丈之二即三丈六尺六寸六分六厘有餘也以二丈七尺五寸與三丈六尺六寸六分六厘有餘相乘即得一十丈零八尺有餘也】 大分下又帶小分相乘者其例有四【所謂大分下帶小分者是将大分之一分又分為幾分如大分五分之三又帶小分四分之一是将大分五分之三之一分又分為四分而得其一分也】有大小分母俱同者有大小分母俱不同者有大分母同而小分母不同者有大分母不同而小分母同者今以一法馭之總以小分母通大分母為母數又以小分母通大分子加入小分子為子數然後以所變之兩母數兩子數對乘即得【總以小分母通之者葢小分母又為大分母之每一分之幾分小分不能使大大分可以變小使大分母大分子俱變為小分母一體然後可以相乘乘之即所以通之也設法中以度數明之其理自顯】 設如有甲數五分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數五分丈之四又帶此一分之四分之二相乘問得幾何【此大小分母俱同者也】 法以甲數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得二十分之十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母四通大分母五得二十仍以小分母四通大分子四得一十六再加入小分子二得一十八共得二十分之十八為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十與乙所變之分母二十相乘得四百分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子十八相乘得二百三十四分為乘出之分子即定為四百分丈之二百三十四為所得之數也【此法甲乙之小分母俱為四故将其大分母之每分亦俱化為四分又将大分子之每分亦俱化為四分使大分與小分之子母一體然後乘之今以度數明之甲之五分丈之三乃一丈内之六尺其所帶小分之四分之一乃二尺内之五寸是甲數共為六尺五寸乙之五分丈之四乃一丈内之八尺其所帶小分之四分之二乃二尺内之一尺是乙數共為九尺六尺五寸與九尺相乘得五十八尺五十寸是一丈正方為一百尺而得其五十八尺又小餘五十寸也若以分母四乘一百尺得四百分又乘得數五十八尺五十寸得二百三十四分故為四百分之二百三十四也若以尺随寸命之則五十八尺五十寸又為五千八百五十寸以大分每一分通為小分四分則每一千寸分為四分每分得二百五十寸以二百五十寸歸五千八百五十寸得二十三寸四十分乃四十分中之二十三又小零分之四分進而命為丈則為四百分丈之二百三十四也】 設如有甲數四分丈之三又帶此一分之七分之二與乙數九分丈之五又帶此一分之三分之一相乘問得幾何【為所得之數也此大小分】 法以甲數小分母七通大分母四得二十八仍以小分母七通大分子三得二十一再加入小分子二得二十三共得二十八分之二十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母三通大分母九得二十七仍以小分母三通大分子五得一十五再加入小分子一得一十六共得二十七分之一十六為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母二十八與乙所變之分母二十七相乘得七百五十六分為乘出之分母又以甲所變之分子二十三與乙所變之分子一十六相乘得三百六十八分為乘出之分子即定為七百五十【母俱不同者也】六分丈之三百六十八【如以真數明之甲四分丈之三即一丈内之七尺五寸又帶小分七分之二即二尺五寸内之七寸一分四厘二豪有餘是甲數共為八尺二寸一分四厘二豪有餘也乙九分丈之五即一丈内之五尺五寸五分五厘五豪有餘又帶小分三分之一即一尺一寸一分一厘一豪有餘内之三寸七分零三豪有餘是乙共為五尺九寸二分五厘九豪有餘也兩數相乘得四十八尺六十七寸六十五分有餘即七百五十六分丈之三百六十八也如以七百五十六分除三百六十八分亦得四十八尺六十七寸六十五分不盡之數葢七百五十六分為一百尺則三百六十八分自得四十八尺六十七寸六十五分有餘也】 設如有甲數八分丈之三又帶此一分之四分之一與乙數八分丈之四又帶此一分之六分之五相乘問得幾何【此大分母同而小分母不同者也】 法以甲數小分母四通大分母八得三十二仍以小分母四通大分子三得一十二再加入小分子一得一十三共得三十二分之一十三為甲大小分所變之數又以乙數小分母六通大分母八得四十八仍以小分母六通大分子四得二十四再加入小分子五得二十九共得四十八分之二十九為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十二與乙所變之分母四十八相乘得一千五百三十六分為乘出之分母又以甲所變之分子十三與乙所變之分子二十九相乘得三百七十七分為乘出之分子即定為一千五百三十六分丈之三百七十七為所得之數也【二相乘問得幾何如以真數明之甲八分丈之三即三尺七寸五分又帶此一分之四分之一即三寸一分二厘五豪是甲數共為四尺零六分二厘五豪也乙八分丈之四即五尺又帶此一分之六分之五即一尺零四分一厘六豪有餘是乙數共為六尺零四分一厘六豪有餘也兩數相乘得二十四尺五十四寸四十二分有餘即一千五百三十六分丈之三百七十七也如以一千五百三十六分除三百七十七分亦得二十四尺五十四寸四十二分不盡之數葢一千五百三十六分為一百尺則三百七十七分自得二十四尺五十四寸】 設如有甲數六分丈之四又帶此一分之五分之一 與乙數九分　　　　　　　　　　　　　　　【四十二分有餘也】丈之七又帶此一分之五分之【此大分母不同而小分母同者也】 法以甲數小分母五通大分母六得三十仍以小分母五通大分子四得二十再加入小分子一得二十一共得三十分丈之二十一為甲大小分所變之數又以乙數小分母五通大分母九得四十五仍以小分母五通大分子七得三十五再加入小分子二得三十七共得四十五分之三十七為乙大小分所變之數然後以甲所變之分母三十與乙所變之分母四十五相乘得一千三百五十分為乘出之分母又以甲所變之分子二十一與乙所變之分子三十七相乘得七百七十七分為乘出之分子即定為一千三百五十分之七百七十七為所得之數也【如以真數明之甲六分丈之四即六尺六寸六分六厘六豪有餘又帶此一分之五分之一即三寸三分三厘三豪有餘是甲數共為六尺九寸九分九厘九豪有餘也乙九分丈之七即七尺七寸七分七厘七豪有餘又帶此一分之五分之二即四寸四分四厘四豪有餘是乙數共為八尺二寸二分二厘二豪有餘也兩數相乘得五十七尺五十五寸五十五分有餘即一千三百五十分丈之七百七十七也如以一千三百五十分除七百七十七分亦得五十七尺五十五寸五十五分不盡之數葢一千三百五十分為一百尺則七百七十七分自得五十七尺五十五寸五十五分有餘也】 除法 零分歸除零分者兩分母兩分子各自除之所得之數即除出之分也如有竒零不盡者用互乘法齊之即得分數其比例與除出之法同 設如有九分丈之二以三分丈之一除之求得幾何法以九分丈之二為實三分丈之一為法以法分母三除實分母九得三為除出之分母又以法分子一除實分子二仍得二為除出之分子即定為三分丈之二為所得之數也此法即乘法内兩分母兩分子各相乘為所得之數者轉用之耳此零分除零分之法也 又法以互乘代除以實分母九乘法分子一得九為除出之分母又以法分母三乘實分子二得六為除出之分子共