卷二

使其相同者減之亦如加法中例故不重設【如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有餘也其五分丈之三即六尺也相減餘六寸六分六厘有餘即十五分丈之一也葢一丈分為十五分每一分得六寸六分六厘不盡也】 凡零數與整數相減者即以分子與分母相減為餘數 設如有米一石内減七分石之五求餘數 法以整數一石變為七分為分母與分子五相減餘二即得七分石之二為餘數也葢将一石分為七分而于此七分内減去五分則所餘即七分石之二【五】此整數中減零數法【如以真數明之将一石分為七分則每一分得一鬥四升二合八勺五撮七抄有餘其五分即七鬥一升四合二勺八撮五抄有餘也與一石相減餘二鬥八升五合七勺一撮四抄有餘即七分石之二也葢一鬥四升二合八勺五撮七抄有餘為一分則二鬥八升五合七勺一撮四抄有餘自為二分也】 也凡整數帶零分相減者将兩零分用互乘法變為同母然後減 之設如有銀八兩零五分兩之四内減五兩零七分兩之三求餘 數法以八兩之零數五分之四與五兩之零數七分之三用互乘法兩分母七相乘得三十五為共母數再以五兩之分母七乘八兩之分子四得二十八為八兩所變之子數又以八兩之分母五乘五兩之分子三得十五為五兩所變之子數乃以八兩五兩二整數相減餘三兩以兩子數二十八與十五相減餘十三即得三兩又三十五分兩之十三為餘數也葢既将兩子數變為同母則八兩者為八兩零三十五分兩之二十八五兩者為五兩零三十五分兩之十五分母既同故以子數相減而得餘數此整數帶零分相減之法也【如以真數明之其八兩零五分兩之四即八兩八錢也其五兩零七分兩之三即五兩四錢二分八厘五豪七絲有餘也相減餘三兩三錢七分一厘四豪二絲有餘其三兩為整數其三錢七分一厘四豪二絲有餘即三十五分中之十三分也葢将一兩分為三十五分則每一分得二分八厘五豪七絲有餘其十三分即三錢七分一厘四豪二絲有餘也】 凡子母數三四種相減者其分母分子俱不同則用互乘以齊其分母按前法減之如兩分母相同者即将其兩分子相減而與所餘之分母不同者用互乘以減之又或有兩分母相乘後所得之數與所餘之分母相同者則直以所得之分子與所餘之分子相減即得餘數其理與加法同 設如有銅九斤零八分斤之七内減二斤零四分斤之一又減八分斤之三求餘數 法以九斤内減去二斤餘七斤為整數乃以八分斤之七與四分斤之一用互乘法将八分斤之七變為三十二分斤之二十八将四分斤之一變為三十二分斤之八兩數相減餘三十二分斤之二十又以三十二分斤之二十與第三零數八分斤之三用互乘法将三十二分斤之二十變為二百五十六分斤之一百六十将八分斤之三變為二百五十六分斤之九十六兩數相減餘二百五十六分斤之六十四合前整數共得七斤又二百五十六分斤之六十四為餘數也如用約法則為七斤零四分斤之一葢二百五十六為四倍六十四今以六十四為一分則二百五十六自得四分也其餘幾種零分内有兩分母相同或兩分母乘出之數與餘一分母相同俱照同分母之例減之故不再設或零分有四種五種者亦俱仿此此幾種零分相減之法也【如以真數明之其九斤零八分斤之七即九斤十四兩也内減二斤零四分斤之一是減去二斤四兩又減去八分斤之三是又減去六兩也餘七斤零四兩即七斤零四分斤之一也葢一斤分為四分則每一分得四兩今七斤零四兩故謂七斤零四分斤之一也】 乘法 零分與零分相乘者兩分母兩分子各相乘所得之數即乘出之分也 設如有三分丈之二與五分丈之四相乘問得幾何法以兩分母三五相乘得十五分為乘出之分母又以兩分子二四相乘得八分為乘出之分子即定為十五分丈之八為所得之數也今以圖明之如甲乙為一丈而甲丁亦為一丈作一甲乙丙丁正方形将甲丁分為三分甲乙分為五分内共容十五分即共母數乃兩分母三與五乘出之數也其甲丁之三分之二為甲戊甲乙之五分之四為甲己二數相乘得甲已庚戊長方形内容八分即共子數乃兩分子二與四乘出之數也甲乙丙丁正方與甲己庚戊長方相較即知甲己庚戊長方為甲乙丙丁正方中之十五分之八矣此零分乘零分之法也【如以真數明之其三分丈之二即六尺六寸六分六厘有餘也其五分丈之四即八尺也相乘得五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有餘即十五分丈之八也葢一丈正方内容百尺分為十五分則每一分得六尺六十六寸六十六分六十六厘有餘今得其八分即五十三尺三十三寸三十三分三十三厘有餘也】 零分與整數相乘者分子乘整數而以分母歸之即所得之數也 設如有七人每人賞銀五分兩之二問共得若幹法以分子二與七人相乘得十四以分母五歸之得二兩八錢即七人共得之數也葢五分兩之二是一兩分為五分而得其二分也一人得二分則七人必共得十四分既以一兩分為五分今滿五分收為一兩故以五歸十四得二兩八錢為共數此零分與整數相乘之法也 整數帶零分與整數乘者先将整數俱通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得 設如有整數二丈又四分丈之一與八丈相乘問得幾何 法以整數二丈用分母四通為八分加入分子一共得九分又以整數八丈用分母四通為三十二分乃與九分相乘得二百八十八分以分母四自乘之一十六除之得一十八即定為一丈正方一十八為所得之數也此法葢以一丈通為四分是四四自乘之數始合一丈自乘之數故一十六者即分母四自乘之數未乘之先既以四通之故相乘之後必以四四自乘之數收之乃得真數此整數帶零分與整數相乘之法也【如以真數明之其二丈又四分丈之一即二丈二尺五寸與八丈相乘即得一十八丈也】 整數帶零分與零分乘者先将整數通為零分相乘得數以分母自乘之數除之即得 設如有整數二丈又五分丈之四與零分五分丈之三相乘問得幾何 法以整數二丈用分母五通為十分加入分子四得十四分乃與零分分子三相乘得四十二以分母五自乘之二十五除之得一六八即定為一丈正方一又一尺正方六十八為所得之數也此法葢以一丈通為五分是五五自乘之數始合一丈自乘之數故以二十五除之又二丈之零分五分之四與所乘之零分五分之三為同母故用此法如兩零分分母不同則先将兩零分用互乘法變為同母然後用所變之分母化整為零再與彼一零分相乘得數以所變之分母自乘之數除之即得乘出之數【法見下節】此整數帶零分與零分相乘之法也【如以真數明之其二丈又五分丈之四即二丈八尺也其五分丈之三即六尺也以六尺與二丈八尺相乘即得一丈六十八尺也】 整數帶零分與整數帶零分相乘而零分之分母不同者則以兩零分之分母用互乘法齊其數然後各以相同之分母化整為零兩數相乘再以同母自乘之數除之即得【如所帶零分本為同母者可省互乘】 設如有長方田闊二丈又四分丈之三長三丈又三分丈之二求積 法以兩分母四三相乘得一十二為共母數以前分母四乘後分子二得八以後分母三乘前分子三得九為兩分子數乃以共母數十二化闊二丈為二十四分加入分子九得三十三分為闊邊所變之分數又以共母數十二化長三丈為三十六分加入分子八得四十四分為長邊所變之分數爰以闊三十三分與長四十四分相乘得一千四百五十二乃以共母數十二自乘之一百四十四除之得一○○八餘四八不盡即定為一丈正方十一尺正方八零一百四十四分尺之四十