卷五

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊上編卷五 算法原本一 算法原本二 算法原本一 第一 一者數之原也衆一相合而數繁焉不能無大小多寡之不齊而欲知其所以分合之故必有一定之法始可以得其準若夫累積小數與大數等者此小數即度盡大數之準也【如大數有八小數有二四倍其二與八必等則二即為度盡八之準】苟累積小數不能與大數等者此小數即非度盡大數之準也【如大數有八小數有三二倍其三為六小于八矣二倍其三為九又大于八矣若此者即為非度盡大數之準】要之小數為大數之平分者即能度盡大數而小數非大數之平分者即不能度盡大數是故以小度大以寡禦多求其恰符而毫無舛者惟在得其平分之法而已 第二 數之目雖廣總不出奇偶二端何謂偶兩整平分數是也何謂奇不能兩整平分數是也如二四六八十之類平分之俱為整數斯謂之偶數矣若三五七九十一之類平分之俱不能為整數斯謂之奇數矣又如小偶數分大偶數得偶分則謂之偶分之偶數【如小偶數四分大偶數三十二得八平分是為偶分其三十二即為偶分之偶數】小偶數分大偶數得奇分則謂之奇分之偶數【如小偶數六分大偶數三十得五平分是為奇分其三十即為奇分之偶數】又如小奇數分大奇數得奇分則謂之奇分之奇數矣【如小奇數五分大奇數十五得三平分是為奇分其十五即為奇分之奇數】 第三 乘者兩數相因而成也葢有兩數視此一數有幾何彼一數有幾何将此一數照彼一數加幾倍則兩數積而複成一數故謂之相因而成然不用加而用乘者何也葢加湏層累而得乘則一因即得此立法之精而理則實相通也如有六與十兩數以十為主而加六次得六十以六為主而加十次亦得六十今以十為主而以六乘之或以六為主而以十乘之皆得六十其數無異而比加捷矣 第四 凡兩數相乘為平方數如四與六相乘得二十四是也試将四六兩數作防排之縱立四防為甲乙橫列六防為甲丁将此六防累四次即成甲乙丙丁平方數矣又若相等兩數相乘得數則為正方數如五與五乘得二十五是也苟将五數縱橫各列五防或依縱數或依橫數累五次即成戊已庚辛正方數矣第五 凡數之相乘可用線以表之然線雖無廣分如依一線之長分廣為小方面看此線所有方面若幹将彼線所有方面加作幾倍或看彼線所有方面若幹将此線所有方面加作幾倍則二線相積而成面矣設如有甲乙二線甲線之分為三乙線之分為四将此二線相乘則依甲線三分之一分作廣分為甲丙依乙線四分之一分作廣分為乙丁其甲丙有三小方形乙丁有四小方形若依甲丙所有之數将乙丁加為三倍或依乙丁所有之數将甲丙加為四倍俱成函十二小方形之乙丙甲丁之二直角形矣葢面為線之積以一線為橫一線為縱縱橫相因而成故測面者必于線知線即可以知面也 第六 凡二線彼此各分不均而有零分者其相乘所成方面亦有零分也設有甲乙二線甲線為三分今将甲線依三分之一分作廣分為三小方形并無餘積而乙線照甲線分則為四分有零亦将乙線依甲線一分作廣分則為四小方形而餘戊一小形以所作甲丙為橫乙丁為縱則成一丁甲四方形而此形之内必有十二小方形仍有三小戊形附于十二方形乃為二線相乘之總積也又如此類一線有零分者其餘分在一邊若二線俱有零分者則其餘分亦在二邊矣 第七 凡三數遞乘為立方數如二與三相乘得六又以四乘之得二十四是也試将二三四之三數作防排之縱列二防為甲丁橫列三防為甲乙将此三防累二次成丁乙平方數又直立四防為丙丁依丙丁數将丁乙平方數累四次即成丙乙立方數矣又若相等三數遞乘得數則為正立方數如三與三乘得九再以三乘得二十七是也試将三數縱橫各排三防平列三次成庚已平方數又直立三防将庚己平方數累三次即成戊已正立方數矣 第八 凡數之遞乘為體可用面以表之葢面雖無厚分如依一面之積分廣爲小方體看面所有積分得線之長分若幹将面所有小方體加作幾倍則線面因之而成體矣設如有甲乙面之分為四丙丁線之分為三将此面線相乘則依甲乙面四分之一作厚分為四小方體乃依丙丁線分數将甲乙加為三倍即成函十二小方體之丙乙直角立方體矣葢體為面之積而面為線之積故線可以測面并可以測體也 第九 除者兩數相較而分也葢視大數内有小數之幾倍将大數照小數減幾次則大數分而複為一小數故謂之相較而分然不用減而用除者何也葢減必遞消其分除則一歸而即得除之與減即猶乘之與加正相對待者也如有大數十二小數四若用十二以四減之三次而盡即知十二為四之三倍若用除法則三倍其四與十二較其數适等即知十二為四之三倍矣此除之與減理相通而用較捷也 第十 凡兩數相乗之平方數以一數除之必得其又一數也設如甲乙五乙丙六兩數相乘之甲乙丙丁平方數三十若以甲乙五除之即得乙丙六或以乙丙六除之即得甲乙五葢此三十中有五之六倍六之五倍如作防排之五防為橫則縱排六次六防為橫則縱排五次皆成方數故兩數不等平方面知其一數或知兩數相差之較始能得其兩邊線也又若正方數則其縱橫皆同如戊己庚辛之正方數二十五其縱橫皆五是巳故凡正方面有積數即可得其每邊者葢因其縱橫兩邊皆等故也 第十一 凡以線乘線即成面而以線除面亦複得線故數之乘者可用線以表之而除者亦可用線以表之也設如有甲乙丙丁一方面積一十二以甲乙線四分除之得乙丙線之三分或以乙丙線三分除之亦得甲乙線之四分試将甲乙乙丙二線作廣分則甲乙線成四小方形乙丙線成三小方形若依甲乙線所有數以分甲乙丙丁面即每分得三小方形如乙丙線依乙丙線所有數以分甲乙丙丁面即每分得四小方形如甲乙線葢除之與乘猶分合之相對以線合者仍以線而分返本還原之義有不爽矣 第十二 凡有零分不均二線相乘之方面以整分線除之必得零分線以零分線除之必得整分線也設如甲線三分乙線四分有零相乘成丁甲面若以甲線三分除之即得乙線四分有零或以乙線四分有零除之亦得甲線三分試将甲線作廣分成三小方形為甲丙乙線作廣分則成四小方形為乙丁餘戊一小形若依甲丙線所有數以分丁甲面即每分得四小方形一戊小形如乙丁線或依乙丁線所有數以分丁甲面即每分得三小方形如甲丙線矣此為二線一整一零相乘之總積故以整線除之得零以零線除之得整若二線俱有零分者彼此除之必俱得零分也 第十三 凡三數遞乘之立方數以兩數遞除之始得其又一數也設如甲乙四乙丙二丙丁三遞乘得甲丁立方數二十四若以甲乙四除之得乙丁平方數六再以乙丙二除之始得丙丁三葢乙丁平方中有三之二倍而甲丁立方中有六之四倍如作防排之二防為縱橫排三次直累四次即成方體故三數不等立方體知其兩數或知其三數相差之較始能得各邊也又若正立方體其縱橫厚度皆為一數即以一數遞除二次則其原數自得如戊己正立方數二十七其縱橫厚皆三是巳故凡正立方體有積數即可得其每邊者正為其縱橫厚度皆等故也 第十四 凡以線除體即得面而以面除體亦複得線故線可以除面而面亦可以除體也設如有丙乙體積一十二以丙丁線三分除之得甲乙面之四分或以甲乙面四分除之亦得丙丁線之三分試将甲乙面作厚分則成四小方體若依丙丁線所有數以分丙乙體即每分得四小方體如甲乙面依甲乙面所有數以分丙乙體即每分得三分如丙丁線葢體本以線面相乗而得故可以線面相除也 第十五 凡大數用小數可以度盡者此大數必為此小數之所積也然所謂小數可以度盡大數者複有幾種有大數惟一數可以度盡者如四九二十五四十九之類惟用二可以度四三可以度九五可以度二十五七可以度四十九是也有大數用兩數三數俱可以度盡者如八與十二之兩數用二用四俱可以度盡八用二用三用四俱可以度盡十二是也有兩大數或三大數用一小數俱可以度盡者如十二十六之兩數或一十十五二十之三數用四可以度盡十二十六之兩數用五可以度盡一十十五二十之三數是也又有一小數可以度盡幾大數将此幾大數相加為一總數此小數亦可以度盡此總數如四可以度盡十二十六兩數若将十二十六相加為二十八則此四亦可以度盡此二十八也又或一小數可以度盡幾大數将此大數不拘幾分分之此小數可以度盡一分亦必可以度盡其餘幾分也如三可以度盡十五将十五分為六九兩數此三可以度盡六亦必可以度盡九也又如六與九兩數用三俱可以度盡若将六與九相乘得五十四此小數三仍可以度盡此五十四也凡此類者皆為彼此有度盡之數也 第十六 凡大數用小數不可以度盡者此大數必非此小數之所積也然用一以度之無不可以度盡者葢一為數之根諸數皆自一而積之故也所謂度不盡者亦複有幾種有大數無小數可以度盡者如五七十一十三之類任用二用三用四俱不能度盡也有兩大數或三大數用小數彼此不可以度盡者如十五與八之兩數用二用四可以度盡八而不能度盡十五用三用五可以度盡十五而不能度盡八又如四六九之三數用二可以度盡四六而不能度盡九用三可以度盡六九而不能度盡四也又有彼此不能度盡之數或将一數自乘或将兩數俱自乘彼此仍俱不可以度盡也如五與六之兩數彼此不能度盡亦無一小數可以度盡此兩數即将五自乘為二十五或将六自乘為三十六則六仍不能度盡二十五而五仍不能度盡三十六即二十五亦不能度盡三十六也又如三七兩數與二五兩數俱為彼此不能度盡之數或将三與七相乘得二十一将二與五相乘得一十此一十與二十一之兩數仍為彼此不能度盡之數也凡此類者皆為彼此無度盡之數也 第十七 凡兩數互轉相減未至于一而即可以減盡者此減盡之最小數即可以度盡此兩數也設如有甲乙十六丙丁六之兩數将丙丁六與甲乙十六減二次餘戊乙四将此戊乙四轉與丙丁六相減餘己丁二又将此已丁二轉與戊乙四相減二次即無餘則此已丁二即可以度盡甲乙十六及丙丁六矣葢八倍其二與十六等三倍其二與六等