卷五

也又如十六與十二與八此三數亦為彼此有度盡之數何也葢十六與十二相減餘四以四轉與十二相減三次而盡則四可以度盡十六與十二矣又二倍其四即與八等則四又可以度盡八然則十六十二與八之三數為彼此有度盡之數可知矣 第十八 凡兩數互轉相減至于一始可以減盡者一之外别無他小數可以度盡此兩數也設如有甲乙十二丙丁七之兩數将丙丁七與甲乙十二相減餘戊乙五将此戊乙五轉與丙丁七相減餘已丁二将此已丁二又轉與戊乙五相減餘庚乙三又将庚乙三轉與己丁二相減餘辛乙一既至于一始可以度盡甲乙丙丁兩數而一之外如二三四雖可以度盡十二而不能度盡七也又如九與十三及二十之三數亦為彼此無度盡之數何也葢将九與十三互轉相減必至于一即用十三與二十轉減或用九與二十轉減亦皆至于一則除此一之外皆無可以彼此度盡此三數之小數矣 第十九 凡有大數約為相當比例之最小數以從簡易則為約分法也然數有可約不可約之分可約者度盡之數不可約者度不盡之數也設如有九與十二之兩數欲約為相當比例之最小數乃用求小數度盡大數法以九與十二互轉相減得減盡之數為三則三為度盡九與十二之數矣以三除九得三以三除十二得四此三四兩數即為九與十二相當比例之最小數也又如有六四八之三數欲約為相當比例之最小數乃以六與四互轉相減得減盡之數為二又以二與八相減四次而盡則二為度盡六四八之小數矣以二除六得三以二除四得二以二除八得四此三二四三數即六四八相當比例之最小數也此皆數之可約者也若夫數之不可約者互轉相減必至于一而不可以度盡也如有五七兩數以五減七餘二複以二減五二次餘一既餘一則自一之外必無可以度盡之數而不可約矣 第二十 凡有大分以分母乘之通為小分則為通分法也然不曰乘而曰通者何也葢乘則積少成多其得數溢于原數之外通則變大為小其得數仍函于原數之中也如有大分十二其分母為四欲得其小分則以分母四乘大分十二得小分四十八是已試作甲乙方形以明之其中所函方形十二即大分也若将中函之方形每分俱分為四小方則十二方形共分為四十八小方形矣其數雖比原大數加四倍然其每分之分隻得原數之四分之一故仍函于甲乙方形之内而未嘗溢出原數之外也又如有大分九其分母為九欲得其小分則以分母九乘大分九得小分八十一是已試作丙丁方形以明之其中所函方形九即大分也若将其中函之方形每分俱分為九小方則九方形共分為八十一小方形矣其數雖比原大數加九倍而仍函于丙丁方形之内者以其每分之分隻得原數之九分之一也由此推之其每分之母或為八或為十二或為數十亦皆仿此通之其所通之數雖至千萬而要皆未有溢于所通原分之外者矣 第二十一 凡有幾小數欲求俱可以度盡之大數則以此幾小數連乘之得數始為此幾小數度盡之一大數也設如有四五兩小數欲求用四用五俱可以度盡之一數則以四與五相乘得二十即為四五兩數俱可度盡之一大數矣又如有三四五之三小數欲求用三用四用五俱可以度盡之一數則以三與四相乘得十二又以五乘十二得六十即為三四五俱可度盡之一大數矣葢小數為大數之根始能度盡大數如四五可以度盡二十者二十乃四之五倍亦即五之四倍也三四五可以度盡六十者六十乃十二之五倍而十二乃三之四倍也第二十二 凡有兩數彼此互乘所得之數與原數比例必同也葢數有多寡而分又有大小則紛纭難禦故必依此數之分将彼數加為幾倍又依彼數之分将此數加為幾倍則兩分數既同而比例亦同矣如甲乙二數甲為三分之二乙為四分之三欲辨其孰大則依甲數将乙數加三倍為十二分之九依乙數将甲數加四倍為十二分之八如是則所加之兩大分同為十二而所生之兩小分相比即同于原甲數與乙數之相比矣何也甲數本三分之二而為十二分之八者乃加四倍之比例【十二為三之四倍八為二之四倍】而十二分之八之比例仍同于三分之二之比例也乙數本四分之三而為十二分之九者乃加三倍之比例【十二為四之三倍九為三之三倍】而十二分之九之比例仍同于四分之三之比例也【此即互乘同母之法如甲為三分之二者三即母數二即子數也乙為四分之三者四即母數三即子數也因兩母數不同故用互乘以同之】 第二十三 凡子母分有幾數而子數同為一者先以各母求俱能度盡之一數次以各母除之則爲各子數也如甲乙丙三數甲為二分之一乙為三分之一丙為四分之一則先以三母數連乘得二十四為甲乙丙之共母數又以二除共母數得十二為甲之子數以三除共母數得八為乙之子數以四除共母數得六為丙之子數葢甲本二分之一子母各加十二倍即為二十四分之十二而二十四與十二之比例仍同于二與一之比例也乙本三分之一子母各加八倍即為二十四分之八而二十四與八之比例仍同于三與一之比例也丙本四分之一子母各加六倍即為二十四分之六而二十四與六之比例仍同于四與一之比例也 第二十四 凡子母分有幾數而子母數俱不等者亦先以各母求俱能度盡之一數次以各母除之得數複以各子數乘之即為各子數也如有甲乙丙三數甲為三分之二乙為四分之三丙為五分之四則先以三母數連乘得六十為甲乙丙之共母數次以三除共母數得二十以乘子數二得四十為甲之子數又以四除共母數得十五以乘子數三得四十五為乙之子數又以五除共母數得十二以乘子數四得四十八為丙之子數葢甲本三分之二子母各加二十倍即為六十分之四十而六十與四十之比例仍同于三與二之比例也乙本四分之三子母各加十五倍即為六十分之四十五而六十與四十五之比例仍同于四與三之比例也丙本五分之四子母各加十二倍即為六十分之四十八而六十與四十八之比例仍同于五與四之比例也 算法原本二 第一 凡有幾小數與幾大數相比其比例若同則小數相加所得之總數與大數相加所得之總數相比仍同于原數之比例也設如有一小數六一小數四一大數十八一大數十二其小數六為大數十八之三分之一而小數四亦為大數十二之三分之一将兩小數六四相加得一十将兩大數十八十二相加得三十此一十與三十之比即如六與十八四與十二之比皆為三分之一之比例也又如三小數二三四與三大數六九十二相比皆為三分之一将二三四相加得九将六九十二相加得二十七其比例亦為三分之一也又或四小數四大數相加其總數之比例亦皆同如三與十二四與十六五與二十六與二十四俱為四分之一将三四五六四小數相加得十八将十二十六二十二十四四大數相加得七十二其比例仍為四分之一矣 第二 凡有幾小數與幾大數之比例若同則小數相減所得之餘數與大數相減所得之餘數相比仍同于原數之比例也設如有一小數十一小數六一大數三十一大數十八其小數十為大數三十之三分之一而小數六亦為大數十八之三分之一将兩小數十與六相減餘四将兩大數三十與十八相減餘十二此四與十二之比即如十與三十六與十八之比皆為三分之一之比例也又如三小數八四三與三大數二十四十二九相比皆為三分之一将四三與八遞相減餘一将十二九與二十四遞相減餘三其比例亦為三分之一也又或四小數四大數相減其餘數之比例亦皆同如十八與七十二為四分之一而三與十二四與十六五與二十俱為四分之一将小數三四五與十八遞相減餘六将大數十二十六二十與七十二遞相減餘二十四其比例仍為四分之一矣 第三 凡有一數乘兩數其所得兩數相比仍同于原兩數之相比也設如一數六與八與一十兩數相乘以六乘八得四十八以六乘一十得六十此四十八與六十相比即同于原數八與一十之相比矣夫八與四十八一十與六十皆為六分之一故一與六之比同于八與四十八之比而一與六之比亦同于十與六十之比也然則八與四十八之比例必同于十與六十之比例而四十八與六十之比例亦必同于八與一十之比例可知矣 第四 凡有一數除兩數其所得兩數相比仍同于原兩數之相比也設如一數三除十二與十五之兩數以三除十二得四以三除十五得五則此四與五相比即同于原數十二與十五之相比矣夫十二與四十五與五皆為三分之一故一與三之比同于四與十二之比而一與三之比亦同于五與十五之比也然則四與十二之比例必同于五與十五之比例而四與五之比例亦必同于十二與十五之比例可知矣 第五 凡相當比例四數其第一數與第四數相乘第二數與第三數相乘所得之數等者何也葢兩方面以其縱橫界互相為比之比例若等則兩方積必等【見幾何原本七卷第三節】今以第一數與第四數相乘即如以第一數為縱第四數為橫成一方數而第二數與第二數相乘即如以第二數為縱第三數為橫成一方數其積必相等也設如有二與六三與九相當比例四數将第一數二為縱第四數九為橫相乘得十八為甲丙一方數将第二數六為縱第三數三為橫相乘亦得十八為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁橫界比戊庚方之戊辛橫界大三分之二而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三分之二其比例相等故兩方數亦等此兩方數既等則相當比例四數其第一數與第四數相乘第二數與第三數相乘所得之數相等無疑矣 第六 凡相連比例三數其首數與末數相乘與中一數自乘所得之數等者何也葢兩方面相等者其縱橫界之互相比例必等【見幾何原本七卷第三節】今将首數與末數相乘即如以首數為縱末數為橫成一方數而中數自乘即是以中數為縱複以中數為橫成一方數其積必相等也設如有四六九相連比例三數将首數四為縱末數九為橫相乘得三十六為甲丙一方數将中數六為縱仍複為橫相乘即是自乘亦得三十六為戊庚一方數夫甲丙方之甲丁橫界比戊庚方之戊辛橫界大三分之一而戊庚方之戊己縱界比甲丙方之甲乙縱界亦大三分之一其比例相等故兩方數亦等此兩方數既等則相連比例三數其首末兩數相乘與中數自乘所得之數相等無疑矣 第七 凡有兩數除一數其所得兩數之比例即同于原兩數之轉相比例也設如有一數十八以二三兩數除之二除十八得九三除十八得六以此九