卷四

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊上編卷四 幾何原本十一 幾何原本十二 幾何原本十一 第一 作三界度等之三角形及兩界度等之三角形法如欲作三界度等之三角形則作一甲乙線取甲乙之度為準以甲為心自甲至丙作弧一段又以乙為心自乙至丙作弧一段兩弧相交處至甲乙作二線即成三界度等之甲丙乙三角形矣葢甲乙丙三角形之甲乙甲丙丙乙三界原系一圜之輻線其度必等度既等而線未有不等者也若欲作兩度等之三角形仍作一甲乙線比甲乙線之度或大或小取一度以甲乙二處為圜心皆至丙作弧兩段仍于兩弧相交處作二線即成兩界度等之甲丙乙三角形矣葢甲丙丙乙二線雖比甲乙線或大或小然二線俱同為一圜之輻線其度自等兩度既等則兩界線亦必等也 第二 平分直線角為兩分法如甲乙丙角欲平分為兩分乃以一角為心任意作弧線一段則乙甲乙丙二線截于丁戊即成乙丁乙戊等度二線自弧兩端複作一丁戊線照丁戊線度依前節法作一三界度等之丁己戊三角形則己角與乙角正相對乃自乙角至己角作一乙己直線即分甲乙丙角為兩平分矣何也其乙丁己乙戊己兩三角形之乙丁乙戊二界是一圜之輻線其度等而丁己戊己二界是三界度等三角形之兩傍界其度亦等而乙己線既為兩形之共界其等無疑此兩三角形之各界度既各相等則與丁己戊己界相對之丁乙己戊乙己二角亦必相等可見矣【見二卷第七節】 第三 平分一直線為兩分法如有甲乙一直線欲平分為兩叚乃如第一節法于甲乙線上作乙甲丙乙三界度等之三角形又如第二節法平分甲丙乙角為二分自丙角作垂線至甲乙線即平分甲乙線于丁而甲丁丁乙兩叚必等也葢甲丙乙原為三界度等之三角形今作丙丁垂線平分為兩三角形則兩三角形之相當各角各界必俱等而甲丁丁乙為兩形相當之底界其度安得不等乎 第四 橫線上立縱線法如有甲乙一橫線欲于丙處立一縱線則于丙之兩傍任意取等度二分為戊丙己丙以戊為心于橫線上作弧一叚又以己為心于橫線上作弧一叚兩弧相交于丁此丁處正與丙相對自丁至丙作一直線即甲乙線上正立之縱線也試自戊己至丁作二線成一戊丁己三角形此形之丁戊丁己兩線俱同一圜之輻線其度必等而丁丙線既将戊己底線為兩平分則丁丙線必為甲乙線之垂線矣【見二卷第十節】第五 有一橫線自此線上不拘何處立縱線法如有甲乙一橫線自此線上丙處至甲乙線欲作一縱線則以丙為心作弧線一叚截甲乙線于戊己乃自戊己至丙作二線成一戊丙己三角形又照第二節分角法平分丙角為二分自丙至甲乙線上作丙丁線則此丙丁線即為自丙至甲乙線之縱線也葢戊丙己三角形之丙戊丙己兩界度等故戊角與己角必等而丙丁線又平分丙角為二則所分之戊丙丁己丙丁兩角度亦等而丙丁戊丙丁己兩并角亦必等此兩并角既等則成兩直角既成兩直角則丙丁線必為甲乙橫線之垂線矣【見一卷第十節】 第六 在橫線一邊立縱線法如有甲乙橫線在乙邊欲立一縱線則于甲乙線上不拘何處立為圜心如以丙為圜心自丙至乙為圜界旋轉作一圜則于甲乙線丁處相交即自丁處過丙心至相對界作一直線交圜界于戊乃自戊至乙作一戊乙直線即是乙邊所立之縱線也葢丁乙戊角因在半圜必為直角【見四卷第十四節】既為直角則戊乙線必為甲乙線之垂線既為垂線故為橫線一邊所立之縱線也若甲乙線一邊之上有一戊防欲自戊至甲乙線一邊作一垂線則自戊至甲乙線任意作一戊丁斜線遂将戊丁斜線平分于丙于是以丙為心自戊旋轉作一圜則截甲乙線于己自戊至己作一直線即是欲作之垂線也葢戊己丁角既在半圜必為直角既為直角則戊己必為垂線矣 第七 一圜分為三百六十度法如甲乙丙丁一圜界欲分為三百六十度則取圜之輻線度縁圜界比之即分圜界為六叚将六叚各平分為二則為十二叚十二叚各平分為三則為三十六叚三十六叚各平分為十即成三百六十度矣第八 一直線上作角度法如甲乙線上欲作三十度之角則用有度之圜依圜之丙丁輻線度截甲乙線于戊于是以甲為心自戊作弧一叚複依圜界之丙庚三十度之分自戊截弧于己乃自己至甲作一直線即成己甲戊三十度之角矣第九 各種多界形仿己有之形或大或小叧作一同式形法如有甲乙丙一三角形欲仿此式叧作一形則考甲乙界度有防分如甲乙界度為三分今取其二分作一丁戊線又以甲丙界度亦作三分而取其二分以丁為圜心作弧一叚又以乙丙界度亦作三分而取其二分以戊為圜心作弧一段兩弧相交于己乃自己至丁戊作二線即成丁戊己一小三角形與原有甲乙丙大三角形為同式也葢丁戊己三角形之三界雖與甲乙丙三角形之三界不等而其相當各角之度俱等因其相當各角之度俱等故其相當各界之比例皆同相當各界之比例既同則其二形之式不得不同也若有一甲乙丙丁戊己六界形欲仿此式叧作一形則在此六界形作分角線分為四三角形照前法仿作四三角形即成一庚辛壬癸子醜小六界形其式與原有之甲乙丙丁戊己大六界形同也 第十 有一直線或上或下一防作與此線平行一線法如甲乙線上有一丙防欲自丙防作與甲乙線平行一線則以丙為圜心任意取甲乙線之近甲邊一處作弧一叚如丁又取甲乙線之近乙邊一處為心如戊乃照丙丁原度于丙防相對處作弧一叚如己複照丁戊度以丙為心于丙防相對處作弧一叚則二弧相交于己乃自丙至己交處作一丙己直線即為甲乙線之平行線也何則試自丁戊二處至丙己二處作二線即成丙丁戊己一四界形此四界形之丙丁己戊相對之兩縱線丙己丁戊相對之兩橫線因依各度所取必兩兩相等既兩兩相等則必為平行線之四邊形然則丙己甲乙為平行線四邊形之二線豈有不平行之理哉 第十一 有一直線上作一正方形法如甲乙一直線欲作一正方形則以甲為心取甲乙度自乙至丙作乙弧線又以乙為心依甲乙度自甲至丁作一弧線又于甲乙線之兩端照本卷第六節立甲丙乙丁二縱線則乙丙弧截于丙甲丁弧截于丁乃自丙至丁作一直線即成甲乙丁丙一正方形也何則丙甲甲乙乙丁三線俱同為一圜之輻線其度必等而丁丙丙甲二線又俱切一圜界為兩尖相合其度亦必等【見四卷第七節】則四界俱等矣且甲乙二角又為垂線所立之角必成直角則丙丁二角亦必為直角而四角又等矣四角皆等故甲乙丁丙形為甲乙線上所立之正方形也 第十二 平分一弧為兩叚法如有甲乙弧欲平分為兩叚則自甲至乙作一甲乙?線将此?線照本卷第三節平分直線為兩分法作一戊丁縱線複自戊引至弧界截甲乙弧于丙即平分甲乙弧為甲丙丙乙兩叚矣葢丙丁縱線既平分甲乙?線則亦必平分甲乙弧之全圜既平分甲乙弧之全圜則必平分甲乙弧為兩叚可知矣【見四卷第六節】 第十三 有一叚弧欲繼此弧作一全圜法如有甲乙一叚弧繼此弧欲作一全圜則在此弧界任意指三處如甲丙乙自甲乙二處至丙作甲丙丙乙二線照前節作平分甲丙丙乙兩?之丁己戊己二線引長則相交于己乃以己為心繼甲乙弧界作一全圜即成甲乙弧之全圜也葢丁己戊己二線既平分甲丙丙乙二?則必平分甲丙丙乙二弧【見四卷第六節】既平分甲丙丙乙二弧則其相交之處必為圜心故己為繼甲丙乙弧界所作全圜之圜心也 第十四 不拘何處有三防求縁此三防作一圜法如甲乙丙三防不在一直線上欲縁此三防作一圜則依前節作甲丙丙乙二線又平分此二線正中作丁己戊己二垂線引長至己處相交遂以己為心以甲乙丙為界作一圜則甲乙丙三防俱在一圜之界矣【此節之理與前節同】 第十五 有圜不知中心求知中心之法如有一甲乙丙丁圜不知其中心欲求知之則于此圜界随便取甲乙丁三處從甲至乙至丁作二?線将此二線平分正中為戊己二處自戊己作戊庚己庚兩垂線則相交于庚此庚即是甲乙丙丁圜之中心也【此節之理亦與前同】 第十六 有圜外一防将此防至圜界作切線法如一圜之外有一甲防欲将此甲防與圜界相切作一切線則以此甲防至圜心作一甲乙直線又以乙為心以甲為界作一甲丙圜界又自甲乙線所截圜之丁處作一丁己垂線則此垂線即截甲丙圜界于丙乃自丙至乙心作一丙乙直線複自丙乙所截圜界戊處作一戊甲線即是自甲防至圜界所作之切線也何則此乙丁乙戊既同為一圜之輻線其乙甲乙丙亦同為一圜之輻線則甲乙戊與丙乙丁兩三角形之各兩邊線必等而兩三角形又同一乙角然則兩三角形之每相當各角必俱等矣【見二卷第六節】夫丁丙線原為甲乙輻線之垂線則丁角必為直角而相當之戊角亦必為直角矣戊角既為直角則甲戊線亦必為乙丙輻線之垂線故甲戊與丙丁皆為圜界之切線也【見四卷第九節】 第十七 有圜内?線欲與此?線平行作圜外切線法如有一甲乙丙丁圜之乙