卷三

<子部,天文算法類,算書之屬,禦制數理精蘊 欽定四庫全書 禦制數理精蘊上編卷三 幾何原本六 幾何原本七 幾何原本八 幾何原本九 幾何原本十 幾何原本六 第一 大凡欲論諸物之不齊必借同類之物以比之始可以得其不齊之度數如一線與他線相比其度之或長或短其數之或多或少自能見之如一面與他面相比其面度之或大或小其積數之或多或少自能見之又如一體與他體相比其體度之或厚或薄其積數之或多或少亦自能見之若将一線與一面相比或一面與一體相比既不同類又不同形則線之長短面之大小體之厚薄俱不可辯矣故曰欲論諸物之不齊必借同類之物以比之也 第二 将兩數相比其度互為大小則謂【率】之比例其比者與所比者俱謂之【率者法也矩也以數互相準之之謂也】其比之數為前率其所比之數為後率如甲乙二數互相為比其相較之分甲數之度為長其分為多乙數之度為短其分為少如是以比之故謂之二率甲為比之之數故謂之前率乙為所比之數故謂之後率焉 第三 有四率兩兩相比其一率與二率之比同于三率與四率之比則謂之同理比例也如甲乙丙丁四數甲與乙比丙與丁比苟乙為甲六分之五丁為丙六分之五則甲與乙之比例丙與丁之比例此兩比例相同而乙有甲防分之數即可知丁有丙防分之數矣故凡四率内将一率與三率分數定為相等二率與四率分數亦定為相等其度之長短雖有不同苟分數定準則一率與二率之比即如三率與四率之比也夫甲乙丙丁四線内甲第一線與丙第三線俱各定為六分乙第二線與丁第四線俱各定為五分則甲度之長雖大于丙度之長其分數則俱為六而乙度之長雖大于丁度之長其分數亦俱為五故知乙第二線度與甲第一線度之六分之五分相等丁第四線度亦與丙第三線度之六分之五分相等所以甲線之比乙線即如丙線之比丁線而謂之同理比例也 第四 凡四率兩兩相比其一率與二率相比之分若大于三率與四率相比之分則為不同理之比例而比例不得行也如有甲乙丙丁四數甲與乙丙與丁各互相為比苟甲第一數與乙第二數相比之分為六與四其丙第三數與丁第四數相比之分為五與四則此甲與乙之比大于彼丙與丁之比矣故凡如此例者以一率二率相比之分為凖則三率四率相比之分為小若依三率四率相比之分為準則一率二率相比之分又大故謂之不同理之比例而比例四率不能行也 第五 凡有四率一率之度與二率之度相比分數若同于三率之度與四率之度相比分數則此四率又謂之相當比例四率焉如甲乙丙丁四線苟甲線與乙線相比之度與丙線與丁線相比之度其分數同則此四線謂之各相當線而毎兩率相比其毎度之分數同故又謂之相當比例四率也 第六 凡三率互相為比其一率與二率之比同于二率與三率之比則謂之相連比例率也如甲乙丙三數互相為比苟甲數與乙數之比同扵乙數與丙數之比則此甲乙丙三數謂之相連比例率矣若相連比例率内将一率與三率比之則為隔一位加一倍之比例或有相連比例四率将一率與四率比之則為隔二位加二倍之比例大凡有幾率隔幾位以比者皆以隔幾位而為加幾倍之比例也如甲乙丙相連比例率内其甲與丙之比為隔一位加一倍之比例又或甲乙丙丁戊五數俱為相連比例率其甲與丁之比即為隔二位加二倍之比例而甲與戊之比則又為隔三位加三倍之比例矣 第七 相當比例四率為數學之要因其理之所該最廣故設為雙圜圖以申明之立甲防為心作乙丙一大圜丁戊一小圜此二圜界各具三百六十度故皆可以為三百六十分【首卷第十七節雲凡圜無論大小俱定為三百六十度】于是自圜之甲心過小圜界之辛壬二處至大圜己庚二處作二線則大圜之己甲庚小圜之辛甲壬俱同一甲角此甲角相對之己庚弧界設為六十度則為乙丙大圜三百六十分中之六十分矣乙丙大圜之己庚弧界度既為六十分則丁戊小圜之辛壬弧界度亦為六十分矣大凡角度俱定于相對之圜界【見首卷第九節】今此大圜之己庚弧界小圜之辛壬弧界俱與一甲角相對其度雖依圜之大小不同而分數則等分數既等則大圜小圜大弧小弧兩兩互相為比即如四率之兩兩相比為同理比例矣是以大圜之三百六十分為一率自大圜所分之己庚弧之六十分為二率小圜之三百六十分為三率自小圜所分之辛壬弧之六十分為四率其乙丙大全圜與本圜己庚分之比即同于丁戊小全圜與本圜辛壬分之比也故凡各率各度雖異相當之分數若同則一率與二率之比必同于三率與四率之比而俱謂之順推比例矣要之分合加減各率之法總不越此圖之互轉相較之理也 第八 一種反推比例将一率與二率之比同于三率與四率之比者反推之以二率與一率為比四率與三率為比其所比之例仍同故亦謂之相當比例率也如甲乙丙丁四數将甲與乙之比同于丙與丁之比反推之以乙與甲為比丁與丙為比則所比之例仍同于相當比例率焉以前雙圜圖解之葢甲數與乙數之比例即乙丙大圜全界與所分己庚弧界之比例丙數與丁數之比例即丁戊小圜全界與所分辛壬弧界之比例也今反以乙與甲為比丁與丙為比即如以乙丙大圜所分之己庚弧界與乙丙大圜全界為比丁戊小圜所分之辛壬弧界與丁戊小圜全界為比也因其以二率為一率以三率為四率前後互移故謂之反推比例然名雖為反推比例而相當比例之率仍與順推比例相同也 第九 一種遞轉比例将一率與二率之比同于三率與四率之比者轉較之以一率與三率為比二率與四率為比其所比之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁四數将甲與乙之比同于丙與丁之比轉較之以甲與丙為比乙與丁為比則所比之例仍同于相當比例率也如前雙圜圖　　乙丙大圜全界一率與所分巳庚弧界二率之比同于丁戊小圜全界三率與所分辛壬弧界四率之比若轉較之以乙丙大圜之一率與丁戊小圜之三率為比大圜所分之巳庚弧界二率與小圜所分之辛壬弧界四率為比其度雖依圜之大小有異而分數則同其比例仍同于原比例故甲乙丙丁之四數亦如大小二圜為互相比例之率而甲一率與丙三率之比即大圜與小圜之比乙二率與丁四率之比即大圜所分弧界與小圜所分弧界之比也葢以三率為二率以二率為三率遞轉相較故謂之遞轉比例其相當比例之四率雖遞轉以較之亦仍為相當比例之四率也 第十 一種分數比例彼四率之中以一率與二率之比同于三率與四率之比矣若将此相比之率所較之分截開以一率與二率之較為一率與二率為比以三率與四率之較為三率與四率為比則其所比之例仍為相當比例率也如甲乙丙丁四數于甲數内減去乙數之分為戊巳丙數内減去丁數之分為庚辛乃以戊己易甲與乙線為比以庚辛易丙與丁線為比則所比之例仍同于相當比例率也如前雙圜圖　　于乙丙大圜全界内減去所分己庚弧界一段仍與己庚弧界為比丁戊小圜全界内減去所分辛壬弧界一段仍與辛壬弧界為比亦與大圜全界與大圜所分弧界小圜全界與小圜所分弧界相比之理同故此甲線内截去乙所成戊己仍與乙相比即如乙丙大圜全分截去己庚弧界一段仍與己庚弧界相比而丙線内截去丁所成庚辛仍與丁相比即如丁戊小圜全分截去辛壬弧界一段仍與辛壬弧界相比也其比例仍同于相當比例四率但因其各分内有分開相減之故所以謂之分數比例也第十一 一種合數比例有四率以一率與二率之比同于三率與四率之比矣若将此相比之率并之以一率與二率相加為一率仍與二率為比以三率與四率相加為三率仍與四率為比其所比之例亦仍同于相當比例之四率也如甲乙丙丁四數以甲數與乙數相加共為一率與乙數為比丙數與丁數相加共為三率與丁數為比則所比之例仍同于相當比例四率也此合數比例與分數比例之理互相對待彼分數比例以雙圜圖　　二圜全界内減去所分弧界一段仍與所分弧界一段為比今此合數比例即如二圜全界内所分大段加入所分弧界一小段即是全界而與所分弧界一段為比也其所比之理仍同于相當比例四率但因有相加之加故謂之合數比例焉 第十二 一種更數比例以一率與二率之比同于三率與四率之比者更之将一率與二率相減用其餘分為二率仍與一率為比又将三率與四率相減用其餘分為四率仍與三率為比則其比例之理仍同于相當比例四率也如甲乙丙丁四數于甲第一率内減去乙第二率所餘為戊己乃以戊己立乙第二率之位而以甲與戊己為比複于丙第三率内減去丁第四率所餘為庚辛乃以庚辛立丁第四率之位而以丙與庚辛為比其所比之理仍同于四率之比例故亦為相當比例之四率也今以雙圜圖解之　　乙丙大圜三百六十度之全界 仍為一率全界内減去所所分之巳 庚弧界六十度一段餘己丙庚三百度一大段　　為二率丁戊小圜三百六十度之全界　　仍為三率全界内減去所分之辛壬弧界六十度一段餘辛戊壬三百度一大段　　為四率則乙丙大圜三百六十度之全界如甲所更之巳丙庚三百度如戊巳而丁戊小圜三百六十度之全界如丙所更之辛戊壬三百度如庚辛故其四率之兩相比例亦同為相當比例率也凡四率之内前後之相差雖更入比之仍與相當比例之理同但以其數有更入之故所以謂之更數比例也 第十三 一種隔位比例有兩相比例四率将此一邉四率内一率與末率為比彼一邊四率内一率與末率為比則其所比之例仍同于相當比例四率也如此一邊有甲乙丙丁四數彼一邊有戊己庚辛四數此甲與乙之比同于彼戊與己之比此乙與丙之比同于彼已與庚之比此丙與丁之比同于彼庚與辛之比若将此四率隔位比之使此一邊之甲與丁為比以彼一邊之戊與辛為比則其比例仍同于相當比例四率也試以雙圜圖之大小圜所分各弧界之兩線引長　　自庚壬過甲至癸醜作一全徑線複自己辛過甲至子寅作一全徑線則分大圜為庚巳己醜醜寅寅庚四段分小圜為壬辛辛癸癸子子壬四段其大圜之庚己己醜醜寅寅庚四段為相當四率而小圜之壬辛辛癸癸子子壬四?亦為相當四率此二圜之所分四段既俱為相當四率則其各相比例度之大小雖異而分數相同故大圜之庚己一?與已醜一?之比同于小圜之壬辛一段與辛癸一?之比大圜之已醜一?與醜寅一段之比同于小圜之辛癸一?與癸子一?之比大圜之醜寅一段與寅庚一段之比同于小圜之癸子一段與子壬一?之比也若以此各相當四率隔位以比之其大圜之庚已一?與寅庚一段為比而小圜之壬辛一?與子壬一?為比其比例仍同于相當比例四率但以其兩邊各相比例四率内各取兩率隔位以比之故謂之隔位比例耳 第十四 一種錯綜比例有兩連比例三率此一邊三率内中率與末率之比同于彼一邊三率内中率與末率之比則為相當比例之四率苟錯綜其位分以此一邊首率與末率隔位為比複取另一數與彼一邊中率為比而成同理之四率則此另一數必與彼邊三率為連比例四率矣如此一邊有甲乙丙連比例三數彼一邊有丁戊已連比例三數将此一邉中率乙數與末率丙數之比同于彼一邊中率戊數與彼一邉末率己數之比則其比例為同理比例矣今錯綜其位分使此一邊所有之首率甲數與所有之末率丙數隔位為比複另取一庚數與彼一邊所有之中率戊數為比則其比例亦同于相當比例四率而此庚數與彼邊丁戊己三率為連比例之數矣何也試以庚數置于彼一邊丁首率之上則庚為首率而丁移而為中率戊又易而為末率是故此一邊甲首率與丙末率之比同于彼一邊所取庚首率與所易戊末率之比但以兩連比例率互相易位増入比之之不同故名之為錯綜比例耳 第十五 一種加分比例凡有二率依本度各加幾倍所加之分數若等則所成之二率互相為比仍同于原二率之互相為比謂之等倍相加之比例也如甲乙二數于甲數依本度加三倍為丙于乙數依本度加三倍為丁則此丙丁二數互相為比仍同于甲乙二數之互相為比也假若甲度為一大分乙度為一小分則甲加三倍成四大分之丙乙加三倍成四小分之丁以四大分之丙比四小分之丁以一大分之甲比一小分之乙其相當之分數既等固為同理比例可知矣【見本卷第三節】故凡二率依本度各加幾倍其所加之分數若等其加分之率互相為比必同于原率之互相為比因于原數有相加之分故謂之加分比例也第十六 一種減分比例凡有二率依度度各減幾倍所減之分數若俱等則所成之二率互相為比仍同于原二率之互相為比謂之等分相減之比例也如有甲乙丙丁二數其甲乙之三分内減去甲戊一分丙丁之三分内減去丙己一分則戊乙己丁互相為比仍同于原甲乙丙丁全數之互相為比也何也夫甲乙度為三尺丙丁度為三寸自甲乙度内減去一尺則為戊乙自丙丁度内減去一寸則為己丁以所餘之戊乙二尺與所餘之已丁二寸為比以甲乙之全三尺與丙丁之全三寸為比其相當之分數必等故亦為同理比例矣凡二率之内無論減幾分其所減之分數若等則相比之理必同于原數之比例因于原數内減之