卷三

故又謂之減分比例也 幾何原本七 第一 前卷所論比例之法凡一十有二【相當比例一種相連比例一種正比例一種反比例一種遞轉比例一種分數比例一種合數比例一種更數比例一種隔位比例一種錯綜比例一種加分比例一種減分比例一種】雖種種變化不窮其每相當分數所成之率依然一理故其相比之例俱同而皆為相當比例四率也是故線與線為比面與面為比體與體為比依前各種比例之法線之比例若同則為相當比例線面之比例若同則為相當比例面體之比例若同則為相當比例體矣夫線面體為類不同雖不能互相為比假使線面體之每相當分數若等則按其各類相當分數比之亦為同理比例率也如甲之六分線與乙之三分線相比丙之六分面與丁之三分面相比戌之六分體與已之三分體相比此三種每相當分數既俱相等故其比例亦俱相等而六率互為同理比例可知矣 第二 大凡直角平方面積皆生于二線之度故欲知方面所生比例之分将其二形之縱橫線分考之即可得而知矣如甲乙丙丁直角平方之二面欲知其所生比例之分則視甲乙大形之甲戊橫線長度得彼丙丁小形之丙己橫線長度為三倍而甲乙大形之甲庚縱線寛度得彼丙丁小形之丙辛縱線寛度為二倍假若将甲乙大形自中線平分為甲癸壬乙二形其甲癸形之甲壬寛度丙丁形之丙辛寛度必俱相等其甲戊橫線長度既仍與丙己橫線長度為三倍其所分之甲癸形必與丙丁三形相等再彼壬乙形亦與丙丁三形相等則此二形相合之甲乙一全形比之丙丁小形為六分可知矣又或甲乙大形之甲戊橫線長度得丙丁小形之丙己橫線長度為四倍甲乙大形之甲庚縱線寛度得丙丁小形之丙辛縱線寛度為三倍則大形與小形四倍者有三而大形比小形為十二分可知矣再或甲乙大形之甲戊橫線比丙丁小形之丙己橫線為十二倍丙丁小形之丙辛縱線反比甲乙大形之甲庚縱線為三倍則甲乙大形之甲戊橫線之長雖比丙丁小形之丙己橫線之長多十一倍而甲乙大形之甲庚縱線之寛又比丙丁小形之丙辛縱線之寛少二倍矣将此縱橫二線之多少較之甲乙大形比丙丁小形為四倍而丙丁小形為甲乙大形之四分之一于是以二形之縱橫多少互相較對以比例之始得知此形與彼形之比例焉故凡直角平方面形與他一形相比其比例有二以此形之長與他形之長比之為一比例以此形之寛與他形之寛比之為一比例兩形相比之間而兼兩比例者正以平面之積自二線之度生之之故也 第三 有兩直角方面形若将此方面橫界與他方面橫界為比又将他方面縱界與此方面縱界為比其比例若同則此兩方面必相等也如甲乙丙丁兩方面形甲乙形之甲戊橫界比丙丁形之丙己橫界大一倍而丙丁形之丙庚縱界比甲乙形之甲辛縱界亦大一倍則甲乙丙丁兩形之分必相等是知兩方面形縱橫之分互相較對則兩方面之積可知矣 第四 凡有相比例四率其二率與三率相乘一率與四率相乘則所得之分數俱相等也如甲乙丁戊戊己乙丙相比例四率甲乙一率為二分丁戊二率為四分戊己三率為三分乙丙四率為六分将丁戊二率為縱線戊已三率為橫線以之相乗又将甲乙一率為縱線乙丙四率為橫線以之相乗其所得之丁己一方面形甲丙一方面形其分數俱是十二互相等矣然則丁已形之丁戊縱度雖比甲丙形之甲乙縱度大一半而丁已形之戊己橫度複比甲丙形之乙丙橫度少一半故其縱橫互較之分相等而其積亦等也是故四率中凡有三率欲求其不知之一率将兩率之分相乘所得之數以一率之分除之即得其一率矣設如甲乙三分為一率丁戊六分為二率戊己五分為三率乙丙十分為四率今隻知一率二率三率之分欲推四率則以丁戊六分二率與戊巳五分三率相乘為丁己三十分乃以甲乙三分一率除之即得乙丙十分四率矣此以小分為首率者也或知乙丙戊己丁戊之三率而推甲乙之一率則以乙丙十分為一率戊巳五分為二率丁戊六分為三率二率與三率相乘一率除之即得甲乙之四率矣此以大分為首率者也又或知甲乙丁戊乙丙之三率而推戊己之一率則以丁戊為一率甲乙為二率乙丙為三率二率與三率相乘一率除之即得戊己之四率矣此即反推比例之理也又或知戊己乙丙甲乙之三率而推丁戊之一率則以戊己為一率甲乙為二率乙丙為三率二率與三率相乘一率除之即得丁戊之四率矣此即遞轉比例之理也 第五 凡有兩直角方面形此一方面之橫界與他一方面橫界為比此一方面之縱界與他一方面縱界為比其比例若等則此兩方面之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁同式二方面形其甲乙形之甲戊橫界為丙丁形丙己橫界之二倍而甲乙形之甲庚縱界亦為丙丁形丙辛縱界之二倍則甲乙形面積與丙丁形面積之比比之甲乙形之一界與丙丁形之一界之比者即如連比例三率隔一位相加之比例矣葢甲乙方面之縱橫界既為丙丁方面縱橫界之二倍則甲乙方面内如丙丁方面之二倍者有二二其二為四故甲乙方面積比丙丁方面積為四倍今甲乙方面積為一十六分與丙丁方面積之四分相比較之甲乙方界之四分與丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙十六之四分之一而辛丁二得庚乙四之二分之一以四分比一分較之二分比一分不為二倍乎故欲求其比例相連之率則于甲乙形之界二倍之得八分與丙丁方界二分為比即如甲乙方面積十六與丙丁方面積四分之比矣夫八與十六四與八二與四皆二分之一之比例而十六隔八與四比八隔四與二比則皆成四分之一之比例故十六與四較之四與二為兩界上連比例隔一位相加之比例也又如甲乙方面之縱橫界為丙丁方面縱橫界之三倍則甲乙方面内如丙丁方面之三倍者有三三其三為九故甲乙之面積比丙丁面積為九倍今甲乙之積為三十六分與丙丁方面積四分相比較之甲乙方界之六分與丙丁方界之二分相比者不同葢丙丁四得甲乙三十六之九分之一而辛丁二得庚乙六之三分之一以九分比一分較之三分比一分不為三倍乎故欲求其比例相連之率則于甲乙形之界三倍之得十八與丙丁方界二分為比即如甲乙方面積三十六與丙丁方面積四之比例矣葢十八與六六與二皆三分之一之比例而三十六隔十二與四比十八隔六與二比則皆為九分之一之比例故三十六與四較之六與二亦為兩界上連比例隔一位相加之比例也 第六 凡直角方面形有二種一為長方一為正方因其縱橫界之比例各異故其所生之形不同而積不得互相為比也如欲比之必以長方與長方為比正方與正方為比其比例始行如甲乙丙丁兩長方面形其甲乙形之甲戊橫界與丙丁形之丙己橫界為大一倍甲乙形之甲庚縱界與丙丁形之丙辛縱界亦為大一倍其比例相同若以甲乙形之甲戊橫界與丙丁形之丙辛縱界為比則大三倍而甲乙形之甲庚縱界與丙丁形之丙己橫界為比止大一分猶不得大一倍其比例則異故甲乙形所生之積為二十四而丙丁形所生之積為六俱為長方形焉又如子醜寅夘兩正方形其子醜形之子辰橫界與寅卯形之寅已橫界之比子醜形之子午縱界與寅卯形之寅未縱界之比俱為大三倍而比例相同複以子醜形之子辰橫界與寅卯形之寅未縱界為比子醜形之子午縱界與寅卯形之寅已橫界為比亦各大三倍而比例相同故子醜形所生之積為三十六而寅夘形所生之積為四俱為正方形焉以此四形兩兩相比則甲乙長方形與丙丁長方形為比而子醜正方形與寅卯正方形為比各為相當比例之四方面也 第七 有兩同式長方面于兩形相當之二界各作兩正方面互相為比即同原兩長方面之互相為比也如甲乙丙丁兩直角長方面在甲戊丙己相當二橫界各作甲庚丙辛兩正方面則所作甲庚丙辛兩正方面互相為比即同于原有之甲乙丙丁相同之兩長方面之互相為比也夫甲乙丙丁同式之兩長方面積既為隔一位相加之比例則所作甲庚丙辛同式之正方面積亦必為隔一位相加之比例然則甲乙丙丁原有之兩面互相為比與所作甲庚丙辛之正方面之互相為比其為同理之比例無疑矣 第八 大凡二平行線内所有直角方面互相為比同于其底之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有甲已庚丁兩直角方面其甲已面與庚丁面之比即同于甲已面之丙己底線與庚丁面之辛丁底線之比也葢甲巳面之丙巳底線與庚丁面之辛丁底線為三倍而甲巳面之甲丙縱線與庚丁面之庚辛縱線因同在二平行線内其度固同今以二面縱線俱依庚丁面之庚辛分數分之皆為四倍則甲巳面為一十二分而庚丁面為四分矣以甲己面之十二分與庚丁面之四分為比即如甲己面之丙己底三分與庚丁面之辛丁底一分之比故其比例相同也 第九 凡二平行線内所有二界平行斜方面互相為比同于其底界度之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有甲戊乙丁兩斜方面積互相為比即同于丙戊巳丁兩底界之互相為比也試将甲戊乙丁兩斜方面之丙戊己丁兩底界上立庚戊辛丁兩直角面則此兩直角面因與兩斜方面同底同髙其積必等【見三卷第八節】前節言凡二平行線内所有直角方面互相為比同于其底之互相為比此甲戊乙丁兩斜方面既與同底所立庚戊辛丁兩直角面相等則甲戊乙丁兩斜方面互相為比必同于丙戊己丁兩底界之互相為比可知矣故凡二平行線内所有面積相比之分數必與底界相比之分數同也 第十 凡二平行線内所有三角形面積互相為比亦同于其底界度之互相為比也如甲乙丙丁二平行線内有戊己庚辛壬癸兩三角形其内所函面積互相為比即同于巳庚壬癸兩底界之互相為比也何也凡二平行線内所有三角形得其同底所立四邊形之一半今以甲乙丙丁二平行線内之戊己庚三角形同底立一戊巳庚子四邊形辛壬癸三角形同底立一辛壬癸醜四邊形則戊巳庚三角形為戊巳庚子四邊形之一半而辛壬癸三角形為辛壬癸醜四邊形之一半如以兩三角形面積互相為比即同于兩四邊形面積之互相為比而為相當比例四率矣其面積既互相為比則其兩三角形面積相比同于兩三角形底之相比者亦如兩四邊形相比同于兩四邊形底之相比矣然則戊巳庚辛壬癸兩三角形面積互相為比必同于巳庚壬癸兩底界互相為比者可知也今壬癸底界既比己庚底界大一倍故辛壬癸三角形面積必比戊巳庚三角形面積亦大一倍也 防何原本八 第一 凡三角形内與其底線平行作一直線則所截三角形之兩邊線互相為比例線其兩邊線所分各二叚互相為比為相當比例四率而每邊所截之一叚與本全線比之亦為相當比例四率也如甲乙丙三角形内與乙丙底線平行作一丁戊線則分甲乙一邊為甲丁丁乙二叚分甲丙一邊為甲戊戊丙二叚其甲乙一邊之甲丁丁乙二叚互相為比甲丙一邊之甲戊戊丙二叚互相為比其比例俱同為相當比例四率矣又如甲乙一邊之甲丁一叚與本邊甲乙全線為比甲丙一邊之甲戊一叚與本邊甲丙全線為比其比例亦俱同為相當比例四率矣今以三角形按所截分分為各式以各式面積互相比者考之自丁戊線之丁戊二端作丁丙戊乙二線則甲乙丙一三角形分為四三角形此四三角形内所有之乙戊丁丙丁戊兩三角形既在乙丙丁戊二平行線之間又共立于一丁戊之底其二形之積必等【見三卷第十節】于此二形各加一所截甲丁戊小三角形即成甲戊乙甲丁丙兩三角形其積亦必相等又如甲丁戊乙丁戊兩三角形之底俱在甲乙一直線上而兩三角形之戊角又共在一戊處其兩形必在二平行線之間而甲丁戊丙丁戊兩三角形之底俱在甲丙一直線上而兩三角形之丁角又共在一丁處其兩形亦在二平行線之間【見三卷第十二節】因各三角形兩兩俱為二平行線所限故其面積互相為比必同于其底界之互相為比也【見七卷第十節】此所以甲丁戊丙丁戊兩三角形積互相為比與其甲戊戊丙兩底線之互相為比同其甲丁戊乙丁戊兩三角形積互相為比與其甲丁丁乙兩底線之互相為比亦同也甲乙戊三角形之積既與甲丙丁三角形之積相等則以甲乙丙之全形與所分之甲乙戊三角形或與所分之甲丙丁三角形相比其比例必俱相同而甲丙丁三角形之甲丁底與甲丙乙全形之甲乙底互相為比甲乙戊三角形之甲戊底與甲乙丙全形之甲丙底互相為比亦必俱相同矣因其各三角形得互相為比例故其所截兩邊線兩兩為相當比例率也 第二 凡三角形内與底平行作一直線其所截兩邊線之每一叚與各邊全線之比即同于所作線與底線之比也如甲乙丙三角形内與乙丙底平行作一丁戊線此丁戊線所截甲丁一叚與甲乙全線之比甲戊一叚與甲丙全線之比皆如丁戊線與乙丙底線之相比也假若将甲乙丙三角形之甲乙邊線為底而與甲乙底線平行作一戊己線即成戊巳乙丁四邊長方形其兩兩平行線之度俱各相等然三角形之兩邊與所截之每叚既互相為比【如前節所雲】則此乙丙邊之乙己一叚與乙丙邊全線之比即同于彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊全線之比而丁戊之平行線既與乙已平行線度相等則此丁戊平行線與原底乙丙線之比亦必同于彼甲丙邊之甲戊一叚與甲丙邊全線之比矣故甲戊叚為一率甲丙邊全線為二率丁戊平行線為三率乙丙