卷三

底線為四率為相當比例四率也又如甲乙邊之甲丁一叚與甲乙邊全線之比既同于丁戊平行線與乙丙底線之比則甲丁叚為一率甲乙邊全線為二率丁戊平行線為三率乙丙底線為四率亦為相當比例四率也苟甲乙邊全線為六分則甲丁叚得其六分之二分乙丙邊全線為六分則丁戊叚亦得其六分之二分所以成兩兩相當比例之率也 第三 凡大小兩三角形其相當之二角度若兩兩相等則其餘一角亦必相等如此類兩三角形謂之同式三角形也雖其内容積分不同而其相當各界互相為比俱為相當比例之率焉如甲乙丙丁戊己大小兩三角形其甲角與丁角等乙角與戊角等則所餘丙角必與己角等而為同式三角形也【二卷第三節言凡三角形之三角相并與二直角等則此大小兩三角形之各三角相并亦俱為二直角于二直角中減去大形之甲角乙角餘為丙角減去小形之丁角戊角餘為己角其所減之數既等則所餘之數亦必等矣】若于大形内與乙丙平行作庚辛線與甲乙平行作辛壬線則成甲庚辛辛壬丙兩小三角形此兩小形之相當角度與大形之相當角度亦必俱等故皆謂之同式形也凡同式之形其容積雖不一而其各界互相為比皆為相當比例之四率是故以大三角形之甲乙全線與所截甲庚一叚之比即如大三角形之甲乙一邊與小三角形之相當丁戊一邊之比也大三角形之甲丙全線與所截甲辛一叚之比即如大三角形之甲丙一邊與小三角形之相當丁巳一邊之比也大三角形之乙丙底線與所截庚辛底線之比即如大三角形之乙丙底線與小三角形之戊已底線之比也至于甲乙丙大三角形與所截辛壬丙小三角形相當各界之比亦如甲乙丙大三角形與丁戊已小三角形相當各界之比也由此推之凡同式之形其相當各界互相為比皆為相當比例之率可知矣 第四 同式直角三角形面積互相為比同于三角形各相當界所作方形之互相為比而同式三角形面積互相為比者比之各相當界互相為比則為連比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊巳兩同式直角三角形其面積互相為比即同于此兩三角形之乙丙戊巳相當二界所作庚乙辛戊兩方形互相為比之比例而此兩三角形之面積互相為比比之乙丙戊已相當二界互相為比之比例則為連比例内隔一位相加之比例矣葢兩三角形之乙戊二角俱為直角若與乙丙戊巳二線平行作甲壬丁癸二線又與甲乙丁戊二線平行作壬丙癸己二線即成壬乙癸戊兩直角長方形此甲乙丙丁戊己兩三角形因與所作壬乙癸戊兩直角長方形在二平行線内同為一底其積為一半将半與半相比者即同于全與全之相比故甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比必同于壬乙癸戊兩直角長方形互相為比之比例矣夫依乙丙戊己甲乙丁戊各相當二界所作壬乙癸戊兩長方形互相為比之比例既與甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比之比例同則依乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩正方形互相為比之比例亦與壬乙癸戊兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形互相為比之比例同矣又凡直角兩方形其兩界互相為比之比例若俱同則兩形面積互相為比之比例較之兩界互相為比之比例為隔一位相加之比例【見七卷第五節】今甲乙丙丁戊己兩三角形之各依底線所作正方形互相為比較之二底線互相為比之比例即為隔一位相加之比例夫甲乙丙丁戊己兩三角形之面積互相為比者既與所作庚乙辛戊兩正方形面積互相為比之比例同則此所作兩正方形面積相比較之兩底相比為隔一位相加之比例而甲乙丙丁戊己兩三角形面積互相為比較之乙丙戊己相當二界互相為比之比例亦為隔一位相加之比例可知矣 第五 同式無直角三角形面積互相為比同于三角形各相當界所作方形之互相為比而三角形面積互相為比者比之各相當界互相為比則為連比例内隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己兩同式三角形雖無直角然其相當各角俱等則此兩形面積互相為比同于在此兩形之甲乙丁戊相當二界所作方形互相為比之比例而兩形之面積互相為比者比之甲乙丁戊相當二界互相為比之比例則為連比例内隔一位相加之比例矣試自兩形之丙己二角與甲乙丁戊二界平行作丙庚己辛各一線又自甲丁二角至庚辛二線之末作甲庚丁辛二線又與此二線平行自乙戊二角至壬癸二處作乙壬戊癸二線成庚乙辛戊兩直角長方形此兩長方形與甲乙丙丁戊己兩三角形俱在兩平行線内又同為一底則此兩三角形面積為彼庚乙辛戊兩長方形之一半将半與半相比者同于全與全之相比故甲乙丙丁戊己兩三角形面積之比例必同于庚乙辛戊兩長方形之比例矣夫同式兩長方形之比例同于相當界所立正方形之比例而同式正方形之比例比之各相當界之比例為連比例隔一位相加之比例今此兩三角形面積之比例既同于庚乙辛戊兩長方之比例亦必同于兩正方之比例則兩三角形面積之比例比之兩界之比例為連比例隔一位相加之比例可知矣 第六 有衆多邊形其邊數同相當各角俱等而相當界之比例又同則謂之同式形也如有甲乙丙丁戊己庚辛壬癸大小兩多邊形其邊數俱為五其相當甲己二角乙庚二角丙辛二角丁壬二角戊癸二角各度俱等而甲乙邊與己庚邊之比即同于乙丙邊與庚辛邊之比其相當邊互相比之俱同者即謂之同式多邊形也又如衆曲線形于其内外作各種直界形其式若同則謂之同式曲線形也假如有甲乙大小兩曲線形在甲大形内作一丙丁戊己庚五邊形在乙小形内作一辛壬癸子醜五邊形此所作兩五邊形之式若同則曲線形之式必同又如甲乙大小兩曲線形在甲大形外作一丙丁戊己四邊形在乙小形外作一庚辛壬癸四邊形此所作兩四邊形之式若同其曲線形之式亦必同故皆謂之同式曲線形也或如甲乙丙丁大小兩圜分于大圜分内作一戊甲乙三角形于小圜分内作一己丙丁三角形此所作兩三角形之式若同則圜分之式亦必同故謂之同式圜分也第七 大小各圜分之式若同則其相對之圜心角度必俱等也如甲乙丙丁大小兩圜之戊甲己庚丙辛兩分之式相同其弧雖随圜之大小各殊而自圜所分之度必同其各叚所對二圜之壬癸心角度亦等矣夫戊甲己與庚丙辛兩叚式既同則此内所函甲戊己丙庚辛兩三角形之甲丙相當兩界角之度必等若自甲丙二角過二圜心壬癸至對界乙丁作甲壬乙丙癸丁二線則成兩界角與兩心角葢心角大于界角一倍故甲乙大圜之戊壬乙心角比戊甲乙界角大一倍乙壬己心角比乙甲己界角大一倍今将戊壬乙乙壬己兩心角并之戊甲乙乙甲己兩界角并之則所并之心角亦必比所并之界角大一倍矣而丙丁小圜之庚癸丁丁癸辛兩心角并之亦必比庚丙丁丁丙辛所并之兩界角大一倍夫兩圜之兩界角度既等而兩圜之所并之心角度又等則兩界角相對之戊乙己庚丁辛兩弧叚之分數亦必相等界角所對之弧分既等則心角所對之弧分亦必相等心角所對之弧分即為甲丙二界角相對之壬癸二心角之度也 第八 凡大小同式多邊形分為衆三角形其相當三角形之式俱相同也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形自大形甲角至丙丁二角自小形己角至辛壬二角各作二線則大形分為甲乙丙甲丙丁甲丁戊三三角形小形分為己庚辛己辛壬己壬癸三三角形而甲乙丙之形與相當己庚辛之形同式甲丙丁之形與相當己辛壬之形同式甲丁戊之形與相當己壬癸之形同式因其所分各三角形俱為同式故相當各角度必等相當各角度既等則其相當各界之比例亦必俱同自五邊形所分之各三角形之相當界互相為比之比例既同則五邊形之相當各界互相為比之比例亦必同相當各界之比例相同則兩形之式相同可知矣 第九 凡大小同式多邊形互相為比同于各形相當界所作方形之互相為比而比之各面相當界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩同式五邊形于大形之丙丁界小形之辛壬界各作子丙醜辛大小兩方形其大小五邊形互相為比必同于所作子丙醜辛大小二方形之互相為比大小五邊形既同于大小兩方形之互相為比則比之丙丁辛壬相當二界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例矣若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸兩形分為衆三角形則相當各三角形之式必同相當各三角形之式既同則相當各三角形互相為比即同于在三角形各相當界所作方形之互相為比而各三角形面積之互相為比較之各相當界互相為比之比例亦為連比例隔一位相加之比例夫所分衆三角形互相為比既同于所作方形之互相為比則衆三角形所合甲乙丙丁戊己庚辛壬癸之大小五邊形互相為比亦必同于丙丁辛壬相當界所作子丙醜辛大小兩方形之互相為比而比之丙丁辛壬相當界互相為比之比例為連比例隔一位相加之比例可知矣 第十 凡大小同式直界形互相為比同于在所比各形内外所有同式形之各相當界所作正方形之互相為比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子醜大小兩直界形于此二形内所函之甲丙丁己庚壬癸醜二同式四邊形之甲丙庚壬相當二界作寅丙卯壬正方形則兩直界形互相為比即同于兩正方形之互相為比也若将甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子醜兩六邊形俱分為三角形則其相當各三角形之式俱相同而相當各三角形互相為比必同于甲丙庚壬相當二界所作寅丙卯壬正方形之互相為比矣此所分三角形之比例既同于所作正方形之比例則大小兩形内各三角形之甲丙庚壬界又為兩四邊形之共界而甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子醜兩同式形互相為比亦必同于其所函之甲丙丁己庚壬癸醜兩四邊形之甲丙庚壬兩相當界所作寅丙卯壬兩正方形之互相為比可知矣 第十一 凡大小同式曲界形互相為比同于在所比各形内外所有同式形之各相當界所作正方形之互相為比也如甲乙丙丁戊己庚辛壬癸子醜大小二圜此二圜之中雖各函一同式六邊形各函一同式四邊形又各函衆同式三角形此大小二圜之積互相為比必同于在圜内所函同式形之甲丙庚壬相當二界所作寅丙卯壬正方形之互相為比也大凡衆界形或函圜或函于圜其界數愈多愈與圜界相近而圜界分為千萬叚即成千萬直界形【見四卷第十九二十等節】則大小兩圜之比例固與内函相當直界形之比例等矣夫相當直界形之比例原同于兩形之相當界所作方形之比例而圜界形之比例又同于相當直界形之比例則此大小二圜互相為比之比例同于此二圜之輻線或徑線所作正方形互相為比之比例可知矣第十二 凡圓面徑與撱圓面【一名鴨蛋形】髙度等者其面積互相為比之比例即同于函兩形各作切方形互相為比之比例而圓形面積與撱圓形面積互相為比之比例又同于圓形徑與撱圓形小徑互相為比之比例也如子壬寅癸之圓面子醜寅卯之撱圓面其子寅髙度俱同【圓徑即撱圓大徑】其面積互相為比之比例必同于圓面外所作切圓戊己庚辛正方形與撱圓面外所作切圓甲乙丙丁長方形互相為比之比例而子壬寅癸圓面與子醜寅卯撱圓面互相為比之比例又同于圓面之壬癸徑與撱圓面之醜卯小徑互相為比之比例也葢平行線内兩面形互相為比之比例同于其底界互相為比之比例【見七卷第八節】今戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形皆在戊辛己庚平行線内故戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形互相為比之比例同于己庚底與乙丙底互相為比之比例而子壬寅癸圓面與子醜寅卯撱圓面亦在戊辛己庚平行線内則子壬寅癸圓面與子醜寅卯撱圓面互相為比之比例必同于戊己庚辛正方形與甲乙丙丁長方形互相為比之比例矣然戊己庚辛正方形之己庚底即圓面壬癸徑度而甲乙丙丁長方形之乙丙底又即撱圓面之醜卯徑度也夫平圓與撱圓之比例既同于正方形與長方形之比例而正方形與長方形之比例又同于己庚底與乙丙底之比例則圓面與撱圓面之比例同于圓面之壬癸徑 與撱圓面之醜卯徑之比例可知矣 防何原本九 第一 凡直角三角形自直角至相對界作一垂線則一形分為兩形與原形共為三同式直角三角形而其比例俱相同也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線則甲乙丙一形分為甲丁乙甲丁丙兩形此所分兩形與原有甲乙丙形之式俱相同而皆為直角三角形其三形毎相當各界之比例亦俱相同也葢甲丁線既為垂線則兩傍所分甲丁乙甲丁丙二角必俱為直角【見首卷第十節】是故甲乙丙三角形之甲角甲丁乙三角形之丁角其度相等而兩三角形又共一乙角其相當二角度既等則所餘各一角度自等【見八卷第三節】故甲乙丙之丙角與甲丁乙之甲角其度相等也而甲乙丙之甲角亦與甲丁丙之丁角相等此兩三角形又共一丙角故所餘之甲乙丙之乙角與甲丁丙之甲角其度亦等三三角形之毎相當各角之度既等則三三角形之式必同三三角形之式既同則其毎相當各界之比例亦俱相同可知矣 第八 凡直角三角形自直角至相對界作一垂線則所截之兩叚一為一率一為三率而所作之垂線為中率此三率即為相連比例率也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線則截乙丙界為兩叚其所截之乙丁叚為一率則丁丙叚為三率若丁丙叚為一率則乙丁叚為三