卷三

率而所作甲丁垂線總為中率故此乙丁甲丁丁丙三線互為相連比例三率也葢甲乙丁甲丁丙兩三角形為同式故其相當之乙丁甲丁二界互相為比即同于甲丁丁丙二界之互相為比也今以乙丁線為四分丁丙線為一分則甲丁線必得二分因四分與二分之比必同于二分與一分之比故為相連比例三率也第三 直角三角形自直角至相對界所作垂線與所分二叚固為相連比例三率如依垂線度作一方形則與所分二叚一為寛度一為長度所作長方形之積相等也如甲乙丙直角三角形自甲直角至相對乙丙界作一甲丁垂線截乙丙界為兩叚遂成乙丁甲丁丁丙之連比例三率今依甲丁垂線度作一戊丁正方形【即為中率自乗之數】以甲丁垂線所截丁丙一叚為寛度乙丁一叚為長度作一己丁長方形【即為首率末率相乗之數】其戊丁正方形之積必與己丁長方形之積相等也何也葢同式兩三角之相當界互相為比之比例同故此乙丁界與甲丁界之比即同于甲丁界與丙丁界之比乙丁線既為一率則甲丁線為二率甲丁線複為三率則丙丁線為四率然則此相連比例三率又為相當比例四率矣因其可為相當比例四率故二率與三率相乗一率與四率相乗所得之分數相同【見七卷第四節】今既以甲丁為二率又為三率則甲丁自乗之數即是二率三率相乗之數而乙丁一率與丙丁三率相乗所得己丁長方形即與甲丁二率三率自乗之正方相等可知矣此乃首率末率求中率之法也要之首率末率相乗中率相乗【中率相乗者中率自乗或二率三率相乗俱在首率末率之中故雲】其所乗之二式雖異因俱自相連比例四率而生故其積相等而得以為準也 第四 凡有直角三角形其直角相對界所作方形之積必與兩傍界所作兩方形之積相等也如甲乙丙直角三角形其甲直角相對乙丙界作一乙丁方形其積必與甲乙甲丙之兩傍線所作戊乙己丙兩方形之積相等也試自甲直角過相對乙丙界至方形辛丁界作一甲庚壬垂線則甲乙丙三角形分為甲乙庚甲庚丙兩三角形而乙丁正方形分為乙壬庚丁兩長方形此所分甲乙庚甲庚丙兩三角形與甲乙丙原三角形為同式則其毎相當界之互相比例必同矣是以甲庚丙小三角形之庚丙小界與丙甲大界之比即同于甲乙丙大三角形之甲丙小界與乙丙大界之比而為相當比例四率也然丙甲甲丙之二率三率原為一線則庚丙丙甲乙丙又為相連比例三率矣故丙甲中率所作己丙方形之積與庚丙一率為寛乙丙三率為長所作庚丁長方形之積相等也乙丁既為正方形則庚壬度必與方界乙丙各度等故庚丁長方即同庚丙為寛乙丙為長所作之長方也又如甲乙庚甲乙丙兩三角之乙庚甲乙乙甲乙丙四界為相當比例四率又為相連比例三率故甲乙中率所作戊乙方形之積亦與乙庚一率為寛乙丙三率為長所作乙壬長方形之積相等也今庚丁乙壬之兩長方形既與己丙戊乙兩正方形等則兩形相合之乙丁正方形亦必與己丙戊乙兩正方形相等可知矣 第五 凡直角三角形之三界所作同式三形其一大界所作一形之積必與二小界所作二形之積等也如在甲乙丙直角三角形之乙丙甲乙甲丙三界作乙丁戊乙己丙三同式長方形則乙丙大界所作乙丁一形之積必與甲乙甲丙二小界所作戊乙己丙二形之積等也又或如甲乙丙直角三角形于乙丙大界作乙戊丁丙一半圜于甲乙甲丙二小界作甲庚乙甲已丙二半圜則乙丙大界所作乙戊丁丙一半圜之積必與甲乙甲丙二小界所作甲庚乙甲已丙二半圜之積等也葢依三界所作三形之式既同故同式衆形互相為比即同于相當界所作正方形之互相為比也要之一大界所作一大形内減一小界所作一小形即餘一小界所作一小形而一小界所作一小形内再加入一小界所作一小形則為一大界所作一大形矣 第六 一圜之内二弦線相交所截之叚遞轉比之其比例俱同而為相當比例四率也如甲圜内乙丙丁戊二?線相交于已其所截之戊已一叚與已丙一叚之比例即同于乙己一叚與己丁一叚之比例故戊己己丙乙己己丁四叚為相當比例之四率也何以見之若自乙至戊自丁至丙複作二弦線即成乙己戊丁己丙兩三角形此兩三角形之乙角丁角俱切于甲圜之戊丙弧叚其度相等【見四卷第十二節】再乙己戊之己角丁己丙之己角又為兩尖相對之角其度亦相等今乙丁二角之度既等而兩己角之度又等則所餘戊丙二角亦自等兩三角形之相當各角既等則其式必同其式既同則毎相當各二線互相為比之比例俱同而戊己己丙乙己己丁四叚互相為比例四率可知矣 第七 圜之徑線不拘何處作一垂線則所截之兩叚一為一率一為三率而垂線為中率即為相連比例三率也如甲圜自丁界至乙丙徑線戊處作一丁戊垂線将乙丙徑線截為兩叚其所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂線為中率此乙戊丁戊戊丙三線為相連比例三率也試自圜界丁至乙丙二處作丁乙丁丙二線則成一乙丙丁三角形其丁角既立于圜之乙己丙半界故為直角【見四卷第十四節】而丁戊垂線乃自直角至相對乙丙底界所作之垂線故所截乙戊一叚為一率戊丙一叚為三率而丁戊垂線為中率為相連比例三率也 第八 自圜外一防過圜界二處至相對界作二線以此兩全線互相為比即同于圜界外所截之二叚遞轉為比之比例而為相當比例四率也如己圜自圜外甲防過圜界乙丁二處至相對界丙戊二處作二線則甲丙甲戊兩全線互相為比必同于圜界外所截甲乙甲丁二叚之遞轉相比而為相當比例四率也試自圜界乙丁二處至相對界丙戊二處作乙戊丁丙二線則成甲丙丁甲戊乙兩三角形此兩三角形之丙戊二角既切于一圜之乙丁弧界其二角之度必等【見四卷第十二節】再甲丙丁之甲角甲戊乙之甲角既共為一角其度自等兩三角形各二角度俱等則兩三角形必為同式矣故甲丙甲戊相當二界互相為比之比例即同于甲丁甲乙相當二界互相為比之比例是以甲丙與甲戊之比同于甲丁與甲乙之比将甲丙全線為一率甲戊全線為二率甲乙甲丁遞轉移之而以甲丁一叚為三率甲乙一叚為四率為相當比例之四率也 第九 凡函于圜内之三角形以其一角平分為二過相對底界至相對界作一直線則所分角之小邊線與所作線之在三角形内一叚之比即同于所作線之全分與所分角之大邊線之比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為二分過所對乙丙底界至相對界作一直線即成甲丁戊一全線以三角形之甲乙小邊與所作甲丁戊線之甲丁一叚之比即同于所作甲丁戊全線與三角形之甲丙大邊之比也何以言之若自圜界乙至戊作乙戊?線即成甲乙戊甲丁丙兩三角形此兩三角形之戊丙二角俱切于圜界甲乙弧之一叚其度必等而甲乙戊三角形之甲角甲丁丙三角形之甲角又為一角所平分之兩角其度亦必等因此兩三角形各二角之度等故兩形為同式兩三角形之式既同則兩形之相當二界互相為比之比例俱同是以甲乙小分與甲丁小分之比即同于甲戊大分與甲丙大分之比也 第十 凡函于圜内之三角形以其一角為兩平分自角至底作一線則所分底線兩叚互相為比即同于所分角之兩傍兩邊線之互相為比也如函于圜内有甲乙丙三角形以甲角平分為二分至乙丙底作甲丁一線則分一丙底線為乙丁丁丙兩叚以乙丁與丁丙之比即同于以甲乙小邊線與甲丙大邊線之比也試自所分底線之丁至甲丙線與甲乙平行作丁戊一線即成戊丁丙一小三角形葢甲乙丙大三角形之乙角戊丁丙小三角形之丁角既為乙甲丁戊平行線一邊之内外角其度必等【見首卷第二十三節】而甲乙丙戊丁丙兩三角形又共一丙角故此兩三角形之各二角度等為同式兩三角形也再甲丁戊之丁角乙甲丁之甲角因為平行線内二尖交錯之角其度亦等然則乙甲丁之甲角既為甲乙丙之甲角之兩平分則甲丁戊之丁角亦與甲丁戊之甲角度等矣甲丁戊三角形之丁角甲角既等則二角所對之丁戊甲戊二線亦必等矣甲乙丙戊丁丙兩三角形既為同式而三角之度又俱等則其甲乙丙大三角形之甲乙甲丙二線互相為比即同于戊丁丙小三角形之戊丁戊丙二線互相為比之比例也今戊丁甲戊二線其度既等則甲乙線與甲丙線之比又同于以甲戊線與戊丙線之比至于丁戊平行線所截乙丁一叚與丁丙一叚之比則又同于甲戊一叚與戊丙一叚之比矣是故甲乙線與甲丙線之比為同于乙丁線與丁丙線之比也 防何原本十 第一 大凡直角立方體積皆生于面線互乗之度故欲知方體所生比例之分将所比形之長寛與厚詳較之即可得而知矣如甲乙丙丁直角立方二體其甲乙大形之戊己長比丙丁小形之庚辛長甲乙大形之戊壬寛比丙丁小形之庚癸寛甲乙大形之甲戊厚比丙丁小形之丙庚厚俱為大一倍其甲乙大形之戊乙底平面積與丙丁　形之庚丁底平面積之比例将縱橫二線之長寛度分考之即得【見七卷第二節】既得二體底積之比例乃以二形之厚度複與底積比之即可知甲乙丙丁二體之比例矣葢甲乙大體之戊己戊壬長寛之度既比丙丁小體之庚辛庚癸長寛之度大一倍則戊乙平面底形之内如庚丁平面底形二倍者有二矣然則甲乙大形甲戊之厚度既比丙丁小形丙庚之厚度大一倍則甲乙體形之内如丙丁體形四倍者有二可知矣是故欲知直角方體之比例以本體之長寛與厚互相比例以較之即得直角方體互相為比之比例也 第二 有兩直角長方體若将此一體之底度與他一體之底度又将他一體之厚度與此一體之厚度為比其比例若同則此二體之積必等也如甲乙丙丁兩直角長方體甲乙體之戊乙底度比丙丁體之庚丁底度大一倍而丙丁體之丙庚厚度比甲乙體之甲戊厚度亦大一倍則甲乙丙丁二體之積必相等是故兩體之底積與厚度相較則兩體之積可知矣葢體積之比例視其面線今兩體之底面厚度交互相等如此其體積不得不等也 第三 有兩直角方體其底面積之縱橫二界相比之比例與厚度面積之縱橫二界相比之比例若俱同則此兩體為直角正方同式體也如甲乙丙丁兩直角方體其甲乙體之戊乙底面之戊己橫界比丙丁體之庚丁底面之庚辛橫界大一倍甲乙體之戊乙底面之戊壬縱界比丙丁體之庚丁底面之庚癸縱界大一倍甲乙體之甲己厚面之甲戊直界比丙丁體之丙辛厚面之丙庚直界亦大一倍則甲乙丙丁之兩體俱為直角正方同式體也至于兩體所有之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界俱為相當之界而可互相為比例矣第四 凡同式直角正方體其體積之比例比之兩界線之比例為連比例隔二位相加之比例也如甲乙丙丁兩同式直角正方體其相當之戊己庚辛二界戊壬庚癸二界甲戊丙庚二界互相為比之比例俱各大一倍則此甲乙體積與丙丁體積之比比之甲乙體之界線與丙丁體之界線之比者即如連比例四率内隔二位相加之比例矣蓋甲乙體之各界既為丙丁體之各界之二倍則甲乙體内如丙丁體之二倍者有四二其四為八故甲乙體積比丙丁體積大八倍夫以甲乙體積八與丙丁體積一相比為八分之一甲乙體界二與丙丁體界一相比為二分之一其比例不同蓋以八分比一分較之二分比一分為四倍也如欲求其相連比例之率則于甲乙體之界四倍之得八分與丙丁體界一分為比即如甲乙體積與丙丁體積之比例矣夫八與四四與二二與一皆為連比例二分之一之比例今以八與一為比其間隔四與二之兩位故曰同式兩體積之比例為兩界上連比例隔二位相加之比例也【若邊為三倍則面為九倍體為二十七倍亦為隔二位相加之比例也】 第五 有兩同式直角長方體于兩體相當之二界各作兩正方體互相為比即同于原兩長方體之互相為比也如甲乙丙丁兩直角長方體在戊乙己丁相當二橫界各作甲庚丙辛二正方體則所作之甲庚丙辛兩正方體互相為比之比例仍同于原有之甲乙丙丁兩長方體互相為比之比例也夫甲乙丙丁同式之兩長方體既為隔二位相加之比例則所作甲庚丙辛同式之兩正方體亦必為隔二位相加之比例矣然則原有之甲乙長方體為原有之丙丁長方體之八分之一其所作甲庚正方體亦為所作丙辛正方體之八分之一可知矣第六 凡有大小平面體其相當角度俱等而相當界之比例又同則謂之同式體也如甲乙大小兩平面體其相當各界之度俱等而相當各界之比例又同則甲乙二體謂之同式平面正方體也如丙丁大小兩四瓣體其相當各角之度俱等而相當各界之比例又同則丙丁二體謂之同式四瓣體也又如大小圓面體于其内外作各種平面體其平面體之式若同則圓面體亦謂之同式體如戊己大小兩圓體所函之庚辛尖瓣等體是也 第七 同式各種體之比例同于在各體相當界所作正方體之比例也如甲乙丙丁戊己大小兩三角尖瓣體互相為比即同于乙丙戊己相當二界所作庚乙辛戊兩正方體之互相為比又如壬癸兩圓球體其互相為比之比例亦同于圓球徑相當之乙丙戊己二界所作庚乙辛戊兩正方體互相為比之比例也蓋同式平面形互相為比之比例同于各相當二界所作正方面形互相為比之比例矣今各種體之式既同故其相當面互相為比之比例必同相當面互相為比之比例同者縁相當面之各相當界互相