卷二

欽定四庫全書 禦制數理精蘊上編卷二 幾何原本一 幾何原本二 幾何原本三 幾何原本四 幾何原本五 幾何原本一 第一 凡論數度必始于一點自點引之而為線自線廣之而為面自而積之而為體是名三大綱是以有長而無闊者謂之線有長與闊而無厚者謂之面長與闊厚俱全者謂之體惟點無長闊厚薄其間不能容分不可以數度然線之兩端即點而線面體皆由此生點雖不入于數實為衆數之本 第二 線有直曲兩種其二線之一端相合一端漸離必成一角二線若俱直者謂之直線角一線直一線曲者謂之不等線角二線俱曲者謂之曲線角 第三 凡角之大小皆在于角空之寛狹出角之二線即如規之兩股漸漸張去自然開寛是以命角不論線之長短止看角之大小如丙角兩線雖長其開股之空狹遂為小角若丁角兩線雖短其開股之空寛遂成大角矣 第四 凡命角必用三字為記如甲乙丙三角形指甲角則雲乙甲丙角指乙角則雲甲乙丙角指丙角則雲甲丙乙角是也亦有單舉一字者則其所舉之一字即是所指之角也【如單言甲角乙角丙角之類】 第五 凡有一線以此線之一端為樞複以此線之一端為界旋轉一周即成一圜如甲乙一線以甲端為樞乙端為界旋轉複至乙處即成乙丙丁戊之圜此圜線謂之圜界圜界内所積之面度謂之圜面 第六 凡圜界不拘長短其分界之所即為弧線如乙丙丁戊之圜丙至丁丁至戊俱為弧線因其形似弧故名之 第七 凡圜自一界過圜心至相對之界畫一直線将一圜為兩平分則為圜徑如乙丙丁戊之圜以甲為心自圜界乙處過甲心至丁或自圜界丙處過甲心至戊畫乙甲丁及丙甲戊線皆為圜徑也第八 凡自圜心至圜界作幾何線皆謂之輻線其度俱相等因平分全徑之半故又謂之半徑線 第九 凡圜界皆以所對之角而命其弧而角又以所對之弧而命其度葢角度俱在圜界而圜界為角度之規也如乙角為心甲丙為界則乙角相對之界即甲丙弧而甲丙弧即乙角之度也 第十 凡角相對之弧得圜界四分之一者此角必直故謂之直角如甲丁丙戊之圜甲乙丙之徑自中心乙至圜界丁畫一半徑将半圜界又分為兩平分則成甲乙丁丙乙丁之二角此二角各得圜界四分之一則此二角為直角也若自丁界過乙心至圜界戊處畫一直線又成丁乙戊之徑複得甲乙戊丙乙戊兩相等之直角矣故凡畫一直線交于别線其所成之角若直此線謂之垂線葢因平分圜界為四其四弧相對之四角必相等而皆為直角則其二徑相交必互為垂線可知矣 第十一 凡角相對之弧不足圜界四分之一者謂之鋭角若過四分之一者謂之鈍角故自圜徑中心複畫一輻線而不平分半圜之界則成一鋭角一鈍角如甲己丙庚之圜于甲乙丙之徑自乙心至甲己丙之半圜界不兩平分于丁處畫一輻線遂成丙乙丁一鋭角甲乙丁一鈍角再将丁乙線引于相對圜界戊處畫一丁乙戊徑線複成甲乙戊一鋭角丙乙戊一鈍角合前二角總為四角矣故凡二角兩尖相對謂之對角二角兩尖相并謂之并角如甲乙戊丙乙丁二角之兩尖相對即謂之對角丙乙戊甲乙丁二角之兩尖亦相對故亦謂之對角也如丙乙戊甲乙戊之二角兩尖相并而同出一線則謂之并角矣 第十二 凡一圜内設兩角此一角相對之弧與彼一角相對之弧其限若等則此二角之度亦必相等如甲丁丙戊之圜丙乙丁角相對之丙丁弧甲乙戊角相對之甲戊弧其限相等故丙乙丁角甲乙戊角其度亦相等也 第十三 凡有一圜其徑線之中心作相并之二角此二角之度必與二直角等如甲丙丁之圜自丁乙丙徑線之中心作甲乙丙甲乙丁之相并二角此二角之度必與二直角相等也 第十四 凡一直線交于他直線其所成之二角或為二直角或與二直角等如丙乙丁直線上畫一甲乙直線至于乙處即成甲乙丙甲乙丁之二直角也又或于丙乙丁直線上畫一戊乙直線亦至乙處複成丙乙戊一鋭角丁乙戊一鈍角此二角必與二直角相等也再申明之以乙為心丙為界旋轉畫一圜則丙乙丁線為圜之徑線必将圜界平分為兩平分矣此丙乙丁徑線之中心所畫之甲乙線又将半圜界平分為兩平分則此二角各相對之弧皆為一圜界四分之一而各為一直角可知矣又如戊乙線将半圜界雖不兩平分而成一鋭角一鈍角然所成二角仍在丙乙丁徑線所限半圜界度為全圜界四分之二故與二直角相等也 第十五 凡自一心畫為衆線其所成之角雖多止與四直角相等如自甲心至乙至丙至丁至戊至已畫衆輻線雖成衆角其各角所函之度必與四直角等葢因甲防為心衆輻線皆立一圜之界故衆角所對之弧總不越一圜之全度前言一圜之界僅有四直角之弧線茲角雖多亦未嘗出一圜之界故曰衆角雖多止與四直角等也 第十六 凡兩直線相交所成二對角之度必俱相等如甲乙丙丁二線交于戊處成甲戊丁丙戊乙之二對角斯二角之度必俱相等今以二線相交之處為心旋轉畫一全圜則甲乙丙丁二線俱為此圜之徑線矣惟其俱為徑線故将一圜為兩平分而甲戊乙之徑線為甲丙乙之半圜界丙戊丁之徑線為丙甲丁之半圜界因兩半圜界俱系全圜徑線故相交成對角其度必等茲将甲丙乙之半圜界減去甲丙弧即餘丙乙弧丙甲丁之半圜界亦減去丙甲弧又餘甲丁弧凡兩相等之弧減去一段相等之弧所餘之弧必相等今甲丙乙丙甲丁二半圜之界内減去甲丙丙甲同體之弧則所餘丙乙甲丁相對之弧亦必相等矣此二弧之度既俱相等則所對之甲戊丁丙戊乙二角之度亦必相等可知矣其餘甲戊丙丁戊乙亦與甲戊丁丙戊乙同理故其所對之角度亦必相等也第十七 凡大小圜界俱定為三百六十度而一度定為六十分一分定為六十秒一秒定為六十防一防定為六十纖夫圜界定為三百六十度者取其數無竒零便于布算即徴之經傳亦皆符合也【易曰凡三百有六十當期之日邵子曰三百六十中分之得一百八十為二至二分相去之數】度下皆以六十起數者以三百六十乃六六所成以六十度之可得整數也凡有度之圜界可度角分之大小如甲乙丙角欲求其度則以有度之圜心置于乙角察乙丙乙甲之相離可以容圜界之幾度如容九十度即是甲乙丙直角【何以知為直角因九十度為全圜三百六十度之四分之一前言凡角得圜界四分之一者為直角故知其為直角也】若過九十度者為丁乙丙鈍角不足九十度者為丙乙戊鋭角觀此三角之度其餘可類推矣第十八 凡二線之間寛狹相離之分俱等則此二線謂之平行線也 第十九 欲求平行線之間相距幾何則自上一線不拘何處至下一線畫二縱線則此二線為相距度分也如甲乙丙丁二線平行自上線甲乙二處至下線丙丁二處畫二縱線則此二線為相等線其度必等然則甲乙丙丁相對之間其相距之遠近不已見耶 第二十 平行二線雖引至于無窮其端必不能相合葢二線相離之度各處逺近俱為相等故也如甲乙丙丁平行二線随意引于戊己又自戊至己畫一縱線其度亦等于甲丙乙丁二縱線故曰平行線雖引至于無窮其端終不能相合也第二十一 凡平行二線或縱或斜畫一直線交加于上則平行線上所成之二角必俱相等如甲乙丙丁二平行線上畫一庚辛斜線其甲乙線之庚戊乙角丙丁線之戊己丁角皆相等假使庚戊乙角大于戊己丁角則戊乙線必離于庚戊線而向丙丁線甲乙丙丁二線不平行矣若甲乙丙丁二線毫無偏斜又得庚辛直線相交成二角則此二角必然相等矣第二十二 凡平行二線上畫一斜線則成八角此八角度有相等者必是對角或内外角如庚戊乙甲戊己一角其度相等因其兩尖相對謂之對角庚戊乙戊己丁二角其度亦相等因其在平行二線之内外故謂之内外角甲戊己戊己丁二角其度亦相等因其俱在平行二線之内而立斜線之左右故又謂之相對錯角又如甲戊庚度戊乙二角其度不等因其立一線之界謂之并角庚戊甲丁己辛二角其度亦相等因其俱在平行二線之外故謂之外角乙戊己丙己戊二角其度亦相等因其又俱在平行二線之内故又謂之内角總之二平行線上交以斜線所成八角必兩兩相等也第二十三 平行線上一邊之二内角或一邊之二外角與二直角相等如丁己戊角與丙己戊角為并角則此二并角與二直角等前第十四節雲凡一直線交于他直線所成二角必與二直角相等則此二角同出于一直線為并角故亦與二直角等矣又如甲戊庚庚戊乙雖為外角而亦為并角此二并角亦與二直角等也他如甲戊己乙戊己二并角丙己辛丁己辛二并角亦與二直角等也第二十四 有平行二線複與一線相平行者此三線互相為平行線也如甲乙丙丁二線之間有戊己線與之平行則甲乙丙丁戊己三線互相為平行線也照前第二十一節在此三線上畫一庚辛壬斜線則所成之庚辛二角必相等而辛壬二角亦必等也三線之與斜線相交所成之角既各相等則三線互為平行可知矣 幾何原本二 第一 凡各種界所成俱謂之形其直界所成者為直界形曲界所成者為曲界形凡直界所成各形未有少于三角形界者故三角形為諸形之首 第二 凡三角形一角直者為直角三角形一角鈍者為鈍角三角形三角俱鋭者為鋭角三角形 第三 凡三角形其三邊線度等者為等邊三角形兩邊線度等者為兩等邊三角形三邊線度俱不等者為不等邊三角形第四 凡三角形之三角度相并必與二直角度等如甲乙丙三角形自乙角與甲丙線平行畫一乙丁線則成丙乙丁角與丙角為二尖交錯之二角其度必相等【見首卷第二十二節】而甲角與甲乙丁角為甲丙乙丁二平行線内一邊之二内角與二直角等【見首卷第二十三節】今于甲乙丁直角内減丙乙丁角所餘為甲乙丙角丙乙丁角既與丙角度等則甲乙丙丙乙丁合成之一直角與甲角之一直角非二直角之度耶 第五 凡三角形自一界線引長成一外角此外角度與三角形内所有之二鋭角等如甲乙丙三角形自甲乙線引長至丁所成之丙乙丁角即為外角其度與三角形内甲丙二鋭角之度等葢甲乙丙三角形之三角度并之原與二直角等【如本卷第四節雲】而甲丁直線與丙乙直線相交所成之甲乙丙丁乙丙内外角亦與二直角等【如首卷第十四節雲】則此内外二角所并之度與三　形内三角所并之度亦必相等今于内外角所并之二直角内減去甲乙丙角則所餘之丙乙丁一外角度與甲角丙角所并之度為相等可知矣 第六 凡兩三角形其兩邊線之度相等二線所合之角又等則二形底線之度必等二形之式亦等其底線之二角亦皆等也如甲乙丙一三角形丁戊己一三角形此二形之甲角丁角若等甲丙丁戊二線甲乙丁己二線又互相等則乙丙戊己之二底線必等其二形之三角式亦必等而乙角己角相等丙角戊角亦相等若将二形之甲角丁角相合則甲丙丁戊二線甲乙丁己二線各度必等因其俱等故丙乙線之二角與戊己線之二角俱恰相符而無偏側矣若謂乙丙底與戊己底不符必是戊己線上斜于庚或下斜于辛不成直線形矣第七 兩三角形其三邊線之度若等則三角之度亦必相等而此形内所函之分亦俱等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線甲丙線丁己線乙丙線戊己線兩兩相等則甲角與丁角乙角