卷二

與戊角丙角與己角必各相等而甲乙丙三界所函之分丁戊己三界所函之分亦俱相等葢因此兩三角形之各線俱恰相符故所函之分亦俱恰相符也第八 凡兩三角形有一線相等其相等線左右所生之二角又相等則其他線他角俱相等而二形之分亦相等也如甲乙丙丁戊己兩三角形之甲乙線丁戊線若等而此二線左邊所成之甲角丁角右邊所成之乙角戊角亦相等則甲丙線度與丁己線度等丙乙線度與己戊線度等而丙角與己角亦等甲丙乙形所函之分與丁己戊形所函之分自然相等矣若将甲乙線與丁戊線相較再将甲角與丁角乙角與戊角相較此二線二角之度必俱相符此二線二角既俱相符其他線他角亦必各相符矣若謂一線不符則相等之角亦必不符必其一線斜出或一線偏入以緻各角俱不相等角既不相等而形式亦必不同矣 第九 三角形之兩邊線若等其底線之兩角度亦必等如甲乙丙三角形其甲乙丙乙兩邊線之度等則其甲丙底線之甲角丙角之度亦俱等也若以甲丙底平分于丁處自丁至乙角畫一直線遂成甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩形之甲乙線與丙乙線既相等而甲丙底線平分之甲丁丙丁線度亦等則乙丁為兩三角形所共用之各一邊線然則此兩三角形之各三邊線度必俱相等可知矣三角形之三線既各相等則其各角之度亦必相等因其各角之度相等故甲角丙角之度亦必等也 第十 有兩邊相等之三角形自上角至底線畫一直線将底線為兩平分則此線為上角之平分線又為底線之垂線也如甲乙丙乙兩邊線度相等之甲乙丙三角形自上角乙至底線丁畫一直線将甲丙底線為兩平分則為乙角之平分線又為甲丙底線之垂線也葢乙丁線将乙甲丙三角形平分為甲乙丁丙乙丁兩三角形此兩三角形之各界線度必各相等而各角之度又俱相等則甲乙丁角丙乙丁角将乙角為兩平分矣而甲丁乙角丙丁乙角又為相等之兩直角因其為兩直角故乙丁線為平分甲丙底線之垂線也 第十一 凡三角形内長界所對之角必大短界所對之角必小如甲乙丙三角形之乙丙界長于甲丙界故其相對之甲角大于乙角而甲乙界短于甲丙界故其所對之丙角小于乙角也試依甲丙界度截乙丙于丁複自甲至丁作甲丁線即成甲丙丁兩界相等之三角形夫甲丙丁丙兩界度既相等則甲丁丙丁甲丙兩角亦相等今甲丁丙角相等之丁甲丙角原自乙甲丙角所分則乙甲丙角必大于甲丁丙角矣然此甲丁丙角為甲乙丁小三角形之外角與小三角形内之甲乙二角相并之度等【見本卷第五節】既與甲乙二角之度等則大于乙角可知矣夫甲丁丙角既大于乙角則乙甲丙角必更大于乙角矣丙角之小于乙角其理亦同 第十二 凡三角形内必有二鋭角葢三角形之三角并之與二直角等【見本卷第四節】如甲乙丙三角形之乙角為直角則所餘甲角丙角并之始與乙角相等二角并之僅與一直角等則此二角獨較之必小于直角矣故此甲丙二角為鋭角也又如丁戊己三角形之戊角為鈍角則所餘之丁角己角愈小于直角而為鋭角矣第十三 凡自一防至一橫線畫衆線而衆線内有一垂線必短于他線而他線與垂線相離愈逺則愈長也如自甲防至乙丙線畫甲乙甲丁甲戊幾線此内甲乙為垂線較之甲丁甲戊線則其度最短而甲戊線與甲乙線相離既遠于甲丁故更長于甲丁線也葢甲乙為垂線則乙角必為直角【見首卷第十節】而甲乙丁三角形内丁角甲角必俱為鋭角而小于乙角矣因乙角大于丁角故此乙角相對之甲丁線必長于丁角相對之甲乙線又甲丁戊外角原與甲乙丁乙甲丁二内角相并之度等【見本卷第五節】則此甲丁戊一外角必大于甲乙丁一内角矣甲丁戊之外角既大于甲乙丁之内角則甲丁戊角相對之甲戊線必長于甲乙丁角相對之甲丁線可知矣 第十四 凡三角形将二界線相并必長于所餘之一界線如甲乙丙三角形将甲乙甲丙二界線并之則長于所餘之乙丙界線也試以丙甲線引之至丁作丁甲線與甲乙等則丁丙線為甲丙甲乙二界線之共度矣複自丁至乙作丁乙線成乙甲丁兩界相等之三角形其丁乙甲角與丁角等【見本卷第九節】則丁乙丙角必大于丁角夫丁乙丙角既大于丁角則其所對之丁丙線必長于丁角相對之乙丙線可知矣【見本卷第十一節】 幾何原本三 第一 凡四邊線函四角者其形有五四邊線度等而角度亦等者為正方形四角直而兩邊線短兩邊線長者為長方形四邊線度等而角度不等者為等邊斜方形兩邊線長兩邊線短而角度又不等者為兩等邊斜方形以上四形俱自平行線出如四邊線不等亦不平行而四角度又不等者為不等邊斜方形第二 凡四平行線所成方形其所函之角成兩對角必兩兩相等如甲乙丙丁平行線方形其甲角度丙角度等而乙角度丁角度亦等若以丙丁線引長至戊作一線成一丁外角與甲角為二尖交錯之角其度相等【見首卷第二十二節】而丁外角與丙角又為一邊之内外角其度亦等【見首卷第二十二節】夫甲丁二角既等丁丙二角又等則甲角與丙角必自相等而丁乙兩對角之相等不言可知矣 第三 凡平行四邊形自一角至相對之角作一對角線必平分四邊形為兩三角形如甲丙乙丁四邊形作甲乙對角線即成丙甲乙丁甲乙兩相等三角形葢此四邊形之丙丁二角為對角其度必等【見本卷第二節】而對角線所分之丙甲乙丁乙甲二角丙乙甲丁甲乙二角俱為二尖交錯之角其度又兩兩相等【見首卷第二十二節】夫此兩三角形原自一四邊形而分各角又俱相等則其所函之分必等而四邊形平分為兩平分無疑矣 第四 凡平行線所成方形其兩兩平行線度俱相等如甲丙乙丁四邊形之丙甲線與乙丁線度等丙乙線與甲丁線度等此即如前節作一對角線成兩三角形而兩形之各角必俱相等則丙甲乙丁二線丙乙甲丁二線俱為各相等角所對之線其度亦必相等矣【見二卷第八節】第五 平行線方形内兩對角線其相交處必平分二線之正中如甲乙丙丁二線相交于戊則所成甲戊戊乙二線丙戊戊丁二線俱等葢因丙戊乙甲戊丁兩三角形之丙乙甲丁二線為平行線其度等【見本卷第四節】而丙乙戊丁甲戊二角乙丙戊甲丁戊二角皆為平行線内相對之錯角其度俱等【見首卷第二十二節】夫丙乙甲丁二線既等各相對之錯角又等則丙乙戊丁甲戊二等角相對之戊丙戊丁二線度與甲丁戊乙丙戊二等角相對之戊甲戊乙二線度必皆相等可知矣【見二卷第八節】 第六 凡平行線方形内于對角線上或縱或橫正中截開即将此形為兩平分如甲丙乙丁之方形其甲乙對角線上畫一戊己線于庚處截開則平分甲丙乙丁方形為丙戊己乙一段甲戊己丁一段此二段内之戊甲庚己乙庚兩三角形之甲庚乙庚二線相等而戊甲庚己乙庚之兩角又為平行線内二尖交錯之角其度相等而甲庚戊乙庚己二尖相對之角其度又等則此兩三角形度亦必相等又如甲乙對角線将甲丙乙丁方形為兩平分則其甲丙乙甲丁乙兩三角形度必等将此兩相等之三角形以戊己線截開于甲丙乙形内減甲戊庚于甲丁乙形内減乙己庚則所餘之甲庚己丁乙庚戊丙二形度必等今所分各形既俱兩兩相等則甲丙乙丁之方形為戊己線所截自為兩平分可知矣 第七 凡四邊形于對角線不拘何處複作相交二平行線即成四四邊形設如甲丙乙丁四邊形于對角線之戊處複作一壬戊己一辛戊庚相交之二平行線即成甲戊戊乙丙戊戊丁四四邊形此四形中之甲戊戊乙二形為對角線上所成之形丙戊戊丁二形為對角線旁所成之形此對角線旁所成兩形必俱相等如丙壬戊庚戊辛丁己兩形之分是己葢甲丙乙丁之全形因甲乙對角線平分為兩平分所成之甲丙乙甲丁乙兩大三角形之分必等其對角線上所成之一小方形複為甲戊對角線平分為兩平分成甲庚戊甲己戊兩小三角形此兩小三角形之分亦必等而對角線上所成之一大方形又為戊乙對角線平分為兩平分成戊壬乙戊辛乙兩中三角形此兩中三角形之分亦必等今将甲丙乙甲丁乙兩大三角形内減去甲庚戊甲己戊之兩相等小三角形再減去戊壬乙戊辛乙之兩相等中三角形所餘對角線旁所成之丙壬戊庚戊辛丁己兩四邊形此兩四邊形自然相等矣 第八 凡兩平行線内同底所成之四邊形其面積必等如甲己乙辛兩平行線内于乙丙底作甲乙丙丁一長方四邊形戊乙丙己一斜方四邉形此兩形雖不同而所容之分必相等何也試以兩三角形考之如甲乙戊一三角形丁丙己一三角形此兩三角形之甲乙丁丙二線等甲戊丁己二線亦等【甲丁戊己二線俱與乙丙平行而度分相等若于甲丁戊己二線各加一丁戊線即成甲戊丁己線其度自然相等】而戊甲乙己丁丙二角為甲乙丁丙平行線一邊之内外角其度又等則此兩三角形自然相等可知矣今于兩三角形内各減去丁戊庚則所餘之甲乙庚丁戊庚丙己二形之分必等複于此二形内毎加一庚乙丙形則成甲乙丙丁戊乙丙己之兩四邊形其面積必然相等也 第九 兩平行線内無論作幾四邊形其底度若等則面積必俱等如甲乙丙丁二平行線内作甲丙己戊庚辛丁乙兩平行線四邊形其丙己辛丁兩底度相等則其積亦等試自丙己底至庚乙畫二直線即成一庚丙己乙斜四邊形此斜四邊形既與甲丙己戊四邊形同出于丙己之底即同前節兩形面積俱等矣至于庚辛丁乙與庚丙己乙又同出于庚乙之底故此兩形面積亦俱等觀此兩兩相等則甲丙己戊庚辛丁乙兩形之面積相等明矣 第十 凡兩平行線内同底所成之各種三角形其面積俱等如甲乙丙丁兩平行線内于丙丁底作甲丙丁一三角形己丙丁一三角形此兩三角形之面積必等何也自丁至戊作一直線與甲丙平行再自丁至乙作一直線與己丙平行即成甲丙丁戊己丙丁乙兩四邊形此二形既同出于丙丁底其面積相等而甲丙丁己丙丁兩三角形為平分兩四邊形之一半其面積亦必相等矣 第十一 兩平行線内無論作幾三角形其底度若等其面積亦俱等如甲乙丙丁二平行線内作甲丙戊庚戊己兩三角形其丙戊戊己兩底度相等故其面積亦等今自戊至辛作一直線與甲丙平行又自己至乙作一直線與庚戊平行即同前節成面積相等之兩四邊形而此甲丙戊庚戊己兩三角形為面積相等兩四邉形之各一半則此兩三角形之面積必等可知矣 第十二 凡有幾三角形其底若俱在一直線而各底相對之角又共遇于一處則其衆三角形必在二平行線之間如甲乙丙甲丙丁甲丁戊甲戊己四三角形其乙丙丙丁丁戊戊己各底俱在一庚辛直線上而各底相對之角又皆遇于甲處則此四三角形俱同在庚辛壬癸二平行線之間矣 第十三 凡等邊等角各形内五邊者為五角形六邊者為六角形邊愈多角愈多者俱随其邊與角而名之焉 第十四 多邊多角形自角至心作線凡有幾界即成幾三角形設如辛七邊形自心至邉七角作七線即成七三角形而此各三角形之分俱相等也 第十五 欲知衆邊形各邊角之度将邊數加一倍得數減四其所餘之數即為各邊角度也如辛七邉形以七邊數加一倍共為十四十四内減四所餘之十即為十直角數為此七邊形之各邊角之總度也何也假如辛形自心至七角作七線成七三角形凡三角形之三角與二直角等【見二卷第四節】則此七三角形之各三角度共與十四直角等其七三角形