卷二

之辛心所有之七角又與四直角等【見首卷第十五節】若将十四直角内減四直角乃餘十直角則此十直角與衆邊形之各邊角之總度相等可知矣 幾何原本四 第一 凡有直線切于圜界而不與圜界相交者謂之切線如甲乙丙線切于丁圜乙界其線雖自甲過乙至丙而與圜界不出入相交此甲乙丙線即為圜之切線也又如一圜與一圜界相切而不相交則謂之切圜假如戊圜與己圜于庚界相切二界總未相交故又謂之切圜也第二 凡一直線橫分圜之兩界謂之?線其所分圜界之一段謂之弧此弧與?相交所成之二角謂之弧分角如甲丙線橫分甲乙丙丁圜界于甲丙則甲丙線為?其所分之甲丁丙一段甲乙丙一段皆謂之弧而甲丙?與甲乙丙弧相交所成之甲丙乙丙甲乙二角即謂之弧分之角焉 第三 凡自一圜?線之兩頭複作二直線相遇于圜界之一處其所成之角謂之圜分内角又謂之弧分相對之界角也如甲乙丁丙圜之甲乙丙一段自乙丙?線之兩頭各作一直線于甲處相遇其所成之乙甲丙角即圜分内角然此甲角與乙丁丙弧相對故又為弧分相對之界角也 第四 凡一圜有二輻線截弧之一段所成之三角形謂之分圜面形如甲圜自甲心至圜界乙丙二處作甲乙甲丙二輻線所成之甲丙乙三角形即為分圜面形也 第五 凡自圜之輻線之末與圜界相切作一垂線則此垂線與輻線之末在圜界僅一防相切其他全在圜外即如甲圜之甲乙輻線于乙末作一丙乙垂線則此丙乙垂線與甲乙輻線俱在圜界乙處之一防相切而此垂線之丁等處俱在圜外也若自圜之甲心至丁作一甲戊丁線此線必長于甲乙輻線【如二卷第十三節雲】因其長于輻線必出于圜界之外此甲戊丁線既出于圜界之外則丙乙線全在圜外可知矣 第六 圜?線上自圜心作一垂線則将?線為兩平分如乙丙?自圜心甲至?線丁作一垂線必将乙丙?為兩平分成乙丁丁丙二段若自甲心至?線乙丙二末作二輻線成一甲乙丙三角形此三角形之甲乙甲丙二線為一圜之輻線其度必等此二輻線既等則甲乙丙三角形内甲丁垂線所分之乙丁丁丙二段亦必等矣若将垂線引長至弧界戊作線則又将乙丙弧界為兩平分矣第七 凡自圜外一處至圜界兩邊作二切線此二線之度必等如自圜外甲至圜界乙丙兩邊作甲乙甲丙二切線此二線之度相等今于圜心丁至圜界乙丙二切線之末作二輻線則此二輻線為甲乙甲丙之垂線矣【如本卷第五節雲】因其為垂線則甲乙丁甲丙丁之二角必同為直角【見首卷第十節】再自丙至乙作一?線即成丁乙丙甲乙丙兩三角形丁乙丙三角形之丁乙丁丙二線同為圜之輻線其度必等因其相等故丁乙丙丁丙乙二角亦必等夫甲乙丁甲丙丁二角原相等此二角内減去丁乙丙丁丙乙二角則所餘之甲乙丙甲丙乙二角亦自相等此二角既俱相等則甲乙甲丙二切線為等角傍之兩界線自然相等無疑矣 第八 凡圜内兩?線若等其分圜弧面之積必等自心至兩?所作垂線亦必等如甲圜之丙乙丁戊二?之度若等則所分丙己乙辛丁庚戊壬二弧面積必等自此圜之甲心至丙乙丁戊二?各作甲壬甲辛垂線其度亦必等何也如自甲心至丙乙丁戊二?之末各作輻線即成甲丙乙甲丁戊兩三角形此兩三角形之各界線必兩兩相等則此兩三角形内相等線所對之角亦必相等【見二卷第七節】角既相等則等角相對弧界之丙己乙丁庚戊二段亦必相等【見首卷第十二節】丙己乙丁庚戊二弧線既等丙乙丁戊二?線又等則丁庚戊壬之弧面積與丙己乙辛之弧面積自然相符矣又甲辛甲壬二垂線将丙乙丁戊二?為兩平分則丙辛乙辛丁壬戊壬之四線亦俱等三角形之各界線既兩兩相等而三角形内各角又兩兩相等則平分丙乙丁戊二?之甲辛甲壬之度自然相等矣 第九 凡?線之所屬有三種一為弧之切線一為弧之割線一為弧之?線欲取弧界各角之度用此三線求之必得也如甲圜之甲乙輻線于乙末作丙乙垂線複自圜心甲至圜界戊割出至丙乙垂線丁分作甲丁線又從圜界戊至甲乙輻線作戊己垂線則成三種線此三線内丁乙線為乙戊弧之切線甲丁線為乙戊弧之割線戊己線為乙戊弧之正?凡欲得各角弧界之度必于此三種線取之如欲取乙甲戊角相對弧度則自與甲角相對乙戊弧之丁乙切線取之或自乙戊弧之甲丁割線取之或自乙戊弧之戊己正?取之皆得乙戊弧之度數焉 第十 一圜界内任于圜界一段至圜心作二線至圜界作二線即成二角在圜心者為心角在圜界者為界角設如甲乙丁圜自甲乙一段至丙心作甲丙乙丙二線仍自甲乙至丁界作甲丁乙丁二線成甲丙乙甲丁乙二角其甲丙乙角為心角甲丁乙角為界角也 第十一 圜内之心角界角同立圜界之一段而各角之二線所成之式又分為三種有界角心角同用一線者有界角心角不同用一線者有界角二線跨心角二線者總之此三種心角皆大于界角一倍如有三圖圜心之甲丙乙角皆自圜界甲乙一段作甲丙乙丙二線圜界之甲丁乙角亦自圜界甲乙一段作甲丁乙丁二線則第一圗之甲丁乙界角之乙丁線同立于甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙乙心角為甲丙丁三角形之外角與甲丁丙丙甲丁二内角等【見二卷第五節】其甲丙丙丁二線又為一圜之輻線其度亦等此二線既等則甲丁丙丙甲丁二角亦必等【見二卷第九節】今甲丙乙之外角既與甲丁丙丙甲丁二内角等則甲丙乙心角大于甲丁乙界角一倍可知矣如第二圖甲丁乙界角之乙丁線不同立于甲丙乙心角之乙丙線上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直線之外則自丁角過圜之丙心至對界作一丁丙戊全徑線即成甲丙戊一大心角乙丙戊一小心角甲丁戊一大界角乙丁戊一小界角其甲丙戊大心角即如第一圖必倍于甲丁戊大界角而乙丙戊小心角亦必倍于乙丁戊小界角于甲丙戊大心角内減去乙丙戊小心角甲丁戊大界角内減去乙丁戊小界角則所餘之甲丙乙心角必大于所餘之甲丁乙界角一倍矣如第三圖甲丁乙界角之二線正跨于甲丙乙心角二線之上而甲丙乙心角在甲丁乙界角甲丁丁乙二直線之間則自丁角過圜之丙心至對界作丁丙戊全徑線即成甲丙戊乙丙戊二心角甲丁戊乙丁戊二界角此甲丙戊心角必倍于甲丁戊界角乙丙戊心角亦必倍于乙丁戊界角以甲丙戊乙丙戊二心角并之乃甲丙乙一心角以甲丁戊乙丁戊二界角并之乃甲丁乙一界角今所分之二心角既各倍于所分之界角則此所并之甲丙乙心角必倍于所并之甲丁乙界角矣 第十二 凡自圜之弧線一段任作相切界角幾何其度必俱相等如甲乙丁丙之圜自甲乙弧線一段至圜界丙丁作相切之甲丙乙乙丁甲二界角此二角之度必俱相等試自圜之戊心至圜界甲乙作二輻線即成甲戊乙一心角此甲戊乙之心角與甲丙乙乙丁甲界角俱同一圜弧線之一段則心角必倍于界角然則甲丙乙乙丁甲二界角既俱為甲戊乙心角之一半則此二角之度必等可知矣 第十三 凡圜内心角所對弧線之度比界角所對弧線之度少一半則二角之度必等如甲丙戊丁圜内有甲乙丙一心角甲丁戊一界角而甲乙丙心角相對甲丙弧線之度比甲丁戊界角相對甲戊弧線之度少一半則甲乙丙心角之度必與甲丁戊界角之度相等試自丁角過圜之乙心至對界作丁乙己全徑線複自乙心至戊界作乙戊半徑線即成甲乙己己乙戊二心角甲丁己己丁戊二界角其甲乙己心角必倍于甲丁己界角而己乙戊心角亦必倍于己丁戊界角今以甲乙己己乙戊二心角相并甲丁己己丁戊二界角亦相并則甲乙己己乙戊二心角所并之度必倍于甲丁己己丁戊二界角所并之度矣是以甲丁戊一界角必得甲乙己己乙戊二心角所并之一半夫甲丙弧線既為甲戊弧線之一半而甲乙丙角又為甲乙己己乙戊二心角所并之一半則甲乙丙心角度必與甲丁戊界角之度相等矣第十四 凡圜内界角立于圜界之半者必為直角如甲乙丙丁圜内之甲乙丙界角立于甲丁丙圜界之正一半則此甲乙丙角必然為直角也自甲丁丙之半圜于丁界為兩平分複自丁界至圜心戊作丁戊輻線即成甲戊丁角其相對之甲丁弧為圜界四分之一既為圜界四分之一則必為直角【如首卷第十節雲】夫心角相對弧線若為界角相對弧線之一半其二角之度相等矣【如本卷第十三節雲】今甲戊丁心角相對之甲丁弧線既為甲乙丙界角相對之甲丁丙弧線之一半則甲戊丁心角度必與甲乙丙界角度相等且甲丁弧線既為圜界四分之一而甲丁丙弧線又為圜界之正一半則甲戊丁心角為直角而甲乙丙界角亦必為直角矣 第十五 凡圜内界角其所對之弧過于圜界之半者必為鈍角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相對之甲戊丙弧大于圜界之一半故其相對之甲乙丙角為鈍角也試将甲戊丙弧平分于戊為甲戊戊丙兩段複自圜心丁至甲戊作二輻線即成甲丁戊一心角其甲戊丙弧分既大于半圜則此甲戊弧線一段亦大于圜之四分之一矣故此甲戊弧線相對之甲丁戊心角必為鈍角【見首卷第十一節】夫心角相對之弧線比界角相對之弧線少一半則二角之度必相等【如本卷第十三節雲】今甲丁戊心角相對之甲戊弧線正為甲乙丙界角相對甲戊丙弧線之一半則甲乙丙界角自然與甲丁戊心角等矣夫甲丁戊心角既為鈍角則甲乙丙界角亦必為鈍角矣 第十六 凡圜内界角其所對之弧不及圜界之半者必為鋭角如甲乙丙戊圜内之甲乙丙界角其相對之甲戊丙弧小于圜界之一半故其相對之甲乙丙角為鋭角也試将甲戊丙弧平分于戊為甲戊戊丙兩段複自圜心丁至甲戊作二輻線即成甲丁戊一心角此心角所對之甲戊弧線既不足圜界四分之一則此甲丁戊心角必為鋭角矣【見首卷第十一節】此甲丁戊心角所對之弧比之甲乙丙界角所對之弧為一半則此二角之度必等夫甲丁戊心角既為鋭角則甲乙丙界角亦必為鋭角矣 第十七 凡函圜各界形之各線與圜界相切而不相交則謂之函圜切界形如甲乙丙三角形之甲乙乙丙丙甲三界線俱在庚圜界之丁己戊三處相切而不相交故謂之函圜切界三角形又若甲乙丙丁四方形之甲乙乙丙丙丁丁甲四界線俱在戊圜界之己庚辛壬四處相切而不相交則謂之函圜切界四邊形觀此二圖則知函圜各界形必大于所函圜界形之分矣 第十八 凡圜内直界形之各角止抵圜界而不割出則謂之圜内所函各邊形如甲乙丙三角形之甲角乙角丙角俱與丁圜界相抵而不曾割出即謂之圜内所函三角形又如甲乙丙丁四方形之甲角乙角丙角丁角俱與戊圜界相抵而不割出則謂之圜内所函四邊形觀此二圖則知函于圜界各界形必小于圜界形之分矣 第十九 凡等邊衆界形或函圜或函于圜其界數愈多愈與圜界相近如甲圜形函乙丙丁等邉三角形又函乙己丙庚丁戊等邉六角形以三角形之三邊比之六角形之六邊則六角形之六邉與圜界相近矣設有十二角形之十二邊比此六角形之六邊則十二角之十二邊又與圜界為近若有二十四角之二十四邊則又更近于十二角之十二邊矣葢函衆界形之度必大于所函之衆界形度【見本卷第十七十八兩節】今甲圜既函等邊六角形自大于六角形而此六角形又函等邉三角形亦必大于三角形由此推之十二角函六角二十四角函十二角其邊愈多者其度愈大故與圜界愈近也又如複有一函圜等邊四角形内又