卷二

作一函圜等邊八角形此四角形既函八角形必大于八角形可知矣若于八角形内複作十六角形十六角形内又作三十二角形其所函形愈小邉數愈多則與所函之圜界度愈近矣苟設一函于圜界之多邉形為幾十萬邉【設函于圜界之多邉形一自六邉起算一自四邉起算】複設一函圜界之多邉形亦為幾十萬邉【設函圜界之多邉形亦一自六邉起算一自四邉起算】使此函圜之多邉形自外與圜界相比而函于圜界之多邉形自内與圜界相比則此二多邊形之每邊直界線将與圜界曲線合而為一故圜界曲線可得直線之度而多邉形之直線亦可得為圜界度也 第二十 函圜切界等邊形其所函圜之輻線度與一直角三角形之小邊之度等而等邉形之衆界共度又與三角形之大邊之度等則三角形之面積與等邊形之面積等如丙丁戊己庚等邉五角形其所函甲圜之甲乙輻線與辛壬癸直角三角形之辛壬小邉線度等而五角形之丙丁戊己庚五邉線共度又與三角形之壬癸大邉線度等則此辛壬癸三角形面積必與丙丁戊己庚等邉五角形面積等也何以見之若自五邊形之甲心至丙丁戊己庚之五角作甲丙甲丁甲戊甲己甲庚五線即分成甲丙丁類五三角形夫辛壬癸三角形之壬癸線度既與五角形之五邉共度等今将壬癸線平分五分以所分之每分為底依前所分五三角形式作甲壬丙類五正式三角形複自所分丙丁戊己四處俱至三角形之辛角作丙辛丁辛戊辛己辛四線遂分辛壬癸一三角形為辛壬丙類五斜式三角形再自甲壬丙類五三角形之甲角至底各作一甲乙垂線俱與圜之輻線等則甲壬丙相等之五三角形之髙度亦自相等矣于是複自辛壬癸三角形之辛角與五甲角相切作一辛子線與壬癸為平行線則此平行線内同底所成之各種三角形之面積必俱相等矣【見三卷第十節】葢辛壬丙甲壬丙兩三角形為同底辛丙丁甲丙丁兩三角形為同底辛丁戊甲丁戊兩三角形為同底辛戊己甲戊己兩三角形為同底辛己癸甲己癸兩三角形為同底故其面積俱相等也且辛壬丙三角形與甲壬丙三角形既俱相等則辛壬丙之類五斜式三角形之面積即如甲壬丙之類五正式三角形之面積矣其所分各形之面積俱等則其全形之面積自然相等此所以辛壬癸直角三角形之面積與丙丁戊己庚等邉五角形之面積相等也 第二十一 圜界内函等邊衆界形其圜心至衆界所作中垂線與一直角三角形之小邉之度等而等邊衆界形之衆界共度又與直角三角形之大邊之度等則此三角形之面積與等邊衆界形之面積等如甲圜所函乙丙丁戊己庚等邉六角形其圜之甲心至衆界所作甲辛垂線與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線度等而六角形之乙丙丁戊己庚六邉線共度又與三角形之癸子大邉線度等則此壬子癸三角形面積必與乙丙丁戊己庚等邉六角形面積等也若依前節法将六邉形分為六三角形複以三角形之癸子界照六邉形度分為六分又照六邊形所分六三角形作六正式三角形複自壬子癸三角形之壬角至乙丙丁戊己五處作五斜線成六斜式三角形此兩式三角形同底又同在二平行線内則其面積必兩兩相等此兩式六三角形之垂線既與壬癸子直角三角形之壬癸小邉線度等而兩式六三角形之底線共度又與壬子癸直角三角形之癸子大邉線度等則壬癸子直角三角形之面積必與乙丙丁戊己庚等邉六角形之面積相等矣第二十二 凡圜形之輻線與一直角三角形之小邊線度等而圜之周界與三角形之大邉線度等則此直角三角形之面積與圜形之面積相等如有一甲圜形其甲乙輻線與丙丁戊直角三角形之丙丁小邉線度等而甲圜形之乙周界又與丙丁戊三角形之丁戊大邉線度等則此丙丁戊三角形之面積即與甲圜形之面積相等也何以見之甲圜之輻線與三角形之小邉等者即如等邉衆界形之中垂線與三角形之小邉等也甲圜之周界與三角形之大邉等者即如等邉衆界形之各界共度與三角形之大邉等也若夫函圜衆界形相等之三角形其小邊雖與圜之輻線等其大邉則長于圜之周線故其積分亦大于圜之積分而函于圜衆界形相等之三角形其小邉既短于圜之輻線而大邊亦短于圜之周線故其積分亦小于圜之積分今此甲圜形相等之丙丁戊三角形其小邊既與圜之輻線等面三角形之大邉又與圜之周線等則其積分與圜形之積分相等無疑矣然圜周界曲線也等邉衆界形之界度直線也觀之似難于相通者如以圜之内外各設多邉衆界形分為千萬邉【如本卷第十九節雲】則逼圜界最近将合而為一乃依所分之段為千萬正式三角形此千萬正式三角形之中垂線亦将與圜之輻線合而為一而千萬邉共界度既與圜周合而為一則圜周之曲線亦變而為直線矣夫千萬邉正式三角形之中垂線既成圜之輻線則與丙丁戊三角形之小邊等而千萬邉正式三角形之底界共度又成圜之周度則又與丙丁戊三角形之大邊度等矣複自丙丁戊三角形之丙角至千萬正式三角形之底界各作千萬斜式三角形以比正式三角形因其防同其分自相等故千萬斜式三角形之共積比之千萬正式三角形之共積千萬正式三角形之共積比之丙丁戊一直角三角形之面積丙丁戊直角三角形之面積比之甲圜形之面積俱相等也 第二十三 有一圜形又一衆界形此圜界度若與彼衆界總度等則圜形之面積必大于衆界形之面積也如甲乙丙丁圜形之周界與戊己庚辛等邊四角形之四邉總度等則圜形之面積必大于等邉四角形之面積矣前言凡圜形之輻線與一直角三角形之小邉線度等而圜之周界與三角形之大邉線度等則三角形之面積與圜形之面積相等矣今試以甲乙丙丁圜形周界為三角形之大邉以甲乙丙丁圜形之甲壬輻線為三角形之小邉作一子醜寅直角三角形則三角形之醜寅大邉線度亦與戊己庚辛四角形之四邉總度等而三角形之子醜小邉線度雖與圜形甲壬輻線等卻比四角形之自壬心至癸邉所作垂線為長若将三角形之子醜小邉線照四角形之壬癸垂線度截開則分子醜線于卯複自卯至寅作一斜?即成卯醜寅一直角三角形而此卯醜寅三角形之分與戊己庚辛四角形相等也此卯醜寅三角形自子醜寅三角形分之則卯醜寅形必小于子醜寅形今甲乙丙丁圜形之面積既與子醜寅三角形之面積等而戊己庚辛四角形之面積又與卯醜寅三角形之面積等則戊己庚辛四角形之面積必小于甲乙丙丁圜形之面積可知矣觀此凡界度相等之形圜界所函之分比衆界所函之分必大而衆界所函之分與圜界所函之分同者則衆界之總度複比圜界度大也 防何原本五 第一 平面之上所立直線無少偏倚其各邊所生之角必俱直則謂之平面上所立垂線也如甲乙之平面正立一丙丁線不偏不倚此即為平面上所立之垂線矣 第二 凡兩平面相對其所立衆垂線度俱各相等則此相對之平面謂之平行面也如甲乙丙丁二平面間所有戊己衆垂線之度俱相等此甲乙丙丁二平面即為平行面矣 第三 平面上複立一平面無少偏倚其兩邊所成之角必皆為直角則謂之平面上所立直面也如甲乙平面上所立之丙丁平面無偏無倚兩邊亦俱成直角此即為平面上所立之直面矣 第四 凡各面相合其每面之角所合處複成一種體角則謂之厚角夫厚角必自三面合之乃成其面多者為各瓣相并所成之厚角也如甲圖四面為四瓣相并所生之厚角乙圖五面為五瓣相并所生之厚角是己 第五 凡各面相并所成之厚角如将各面計之則其衆角所合之分必不足于四直角度也如甲圖五面合成之厚角若将其五面展開使平作乙丙丁戊己平面之五瓣複以甲為心作一甲圜其乙丙丁戊己之五瓣相離處不能滿甲圜之周界矣因其不滿于圜之周界故比四直角為不足也或以四直角分強欲作一厚角則其瓣過于大必不能成平面所合之厚角矣 第六 凡等邊三面所合厚角其三面内之兩面角倂之必大于一直角度也如甲丙乙丁之等邉三面所合之甲厚角将乙甲丙丙甲丁二面倂之必大于一直角度矣依前節法将甲厚角展開使平雖不足四直角之度而乙甲丙丙甲丁之二而并之則較之一直角度為大焉何以見之夫三面展開其所離之虛分仍有三面之分以三面之實分合三面之虛分則為六角之全形此六角之全形得四直角度矣六角而得四直角則三角必得二直角三角既得二直角則二角相倂必大于一直角可知矣 第七 凡平面二線交處作一垂線正立而無偏倚此線任在平面各處俱為垂線如甲乙丙丁平面上甲丙丁乙二線相交己處作一戊己垂線正立而不偏倚則此戊己線任在甲乙丙丁平面上某一處俱為垂線也假使戊己垂線不能正立而有所偏倚則如壬己線近于辛而離于庚矣壬己線既近于辛而離于庚則偏向于丁丙而逺于甲乙而壬己丁壬己丙之二角為鋭角壬己甲壬己乙之二角為鈍角矣戊己既如壬己則不得謂之甲丙丁乙二線相交處正立之垂線矣 第八 衆線交處立一垂線其各角若俱直此所交各線必在一平面也如甲丙乙丁庚辛之三線相交處立一戊己垂線其與衆線相接各角若俱直則此相交之三線必在一平面也夫衆線之相交固在平面而垂線之所立正所以考面或一角不直則不得謂之平面矣 第九 平面上若立二垂線必互為平行線如甲乙丙丁之平面上立戊己庚辛二垂線則此二線互為平行線也試自辛過己至壬作一辛壬線則戊己庚辛二垂線所立之分必正其在甲乙丙丁平面上任指何處所生之角俱是直角【見本卷首節】故戊己壬庚辛己二角俱為直角而相等也且此二角又為二線與一線相交所成之内外角其度既等則戊己庚辛二線必為平行線矣【如首卷第二十一節】第十 有二線與一垂線平行雖不在平面之一界此三線亦互相為平行線也如甲乙丙丁二線俱與戊己一垂線平行不立于一直線上雖不居平面之一界此三線亦必互為平行線也試于甲乙丙丁戊己三線之末作一庚辛平面此平面上之戊己線為垂線其四圍平面所生之各角俱是直角矣複自乙過己自丁過己作相交二線則成甲乙己戊己壬二角丙丁己戊己癸二角此各二角俱為平行線一邉之内外角俱為相等角矣【見首卷第二十一節】而甲乙己丙丁己二角亦俱為直角夫甲乙丙丁二線在庚辛平面上所生之角皆直又皆與戊己垂線所生之角等則甲乙丙丁二線亦皆得為垂線其與戊己線為互相平行之三線可知矣 第十一 相對二平面之間橫一直線此線在二平面上所生角若俱直則此相對二面互相為平行面也如甲辛乙庚丙癸丁壬二平面之間橫一戊己直線此戊己線末所抵處其四圍俱成直角則此二平面互相為平行面矣試将此二平面之戊己橫線所抵之處作甲乙庚辛相交二線丙丁壬癸相交二線則戊己橫線于二平面各界所生之角俱為直角如甲乙丙丁二線與戊己橫線相抵所生之甲戊己戊己癸二尖交錯之角相等故甲乙丙丁相當之二線為平行矣又如辛戊己戊己丙二尖交錯之角亦相等故庚辛壬癸相當二線亦為平行矣相對二平面之上所有之相當各二線既俱同為平行線則相對之二平面自然互為平行面矣 第十二 有二平行面橫交一面其相交處所生二線必平行如甲乙丙丁平行二面上橫交一戊己平面其庚辛壬癸之相交處所生二線亦俱平行也何以言之庚辛壬癸平面相交處所生二縫既在甲乙丙丁二平面之上自然與甲乙丙丁二面之甲醜子乙丙卯寅丁之各線同為平行線且又在戊己一平