卷四

矣又或知甲乙丙三角形之乙角為七十六度三十九分丙角為三十八度四十四分及乙丙界長十三丈而欲知其餘角餘界則作己丁界為十三分照乙角丙角度作已角丁角于是畫巳戊丁戊二界相交于戊即成戊巳丁同式之小三角形此小形之戊角必與甲角等而小形之丁戊界十四分與大形之甲丙界十四丈相當小形之戊己界九分與大形之甲乙界九丈相當矣若知甲乙丙三角形之甲乙甲丙乙丙三界而不知其角則照前将三界之度作同式之小形量其三角之度即知大形之角度矣 第十六 作分數比例測量儀器法以甲丙乙半圜界分為一百八十度每度作六十分将此半圜之丁甲丁乙丁丙三半徑線照所容方界分截開分為一百分于每分上俱與三半徑平行作縱橫線于甲乙徑線之甲乙兩末作兩定表以圜丁心為樞作一遊表如丁巳将此遊表亦如前所分一百分度作二百分複于此儀器後面作一垂線記号以挂墜線如庚即成一全儀器用以測髙深廣逺可知其各角各界之度矣如有一辛壬旗杆欲測其髙則将儀器按墜線立準看甲乙徑線兩末之定表與旗杆癸處相對乃為地平再将丁巳遊表與旗杆頂尖辛處相對次量儀器中心所對處至旗杆癸處得防何如有四十丈則看儀器丁乙線上自丁心至子得四十分以當地平四十丈即視與子相對垂線至遊表相交處有防何如醜子三十分即為旗杆自辛至癸相當數為三十丈也再加癸壬髙即得旗杆辛壬之共髙度矣蓋儀器上之丁子醜小三角形與所測得丁癸辛大三角形原為同式其相當各界之比例必俱相同故以丁子四十分與子醜三十分之比即同于丁癸四十丈與癸辛三十丈之比也若欲知丁辛?線數即視遊表自丁至醜相交之處得防何如有五十分其相當數即為五十丈也若欲知丁癸辛三角形之各角度則視圜界與遊表相交處如巳其乙巳弧度即丁角三十五度一十三分其餘巳丙弧五十度四十七分即辛角度而癸辛線原與子醜垂線平行為平行線故癸角必是直角而為九十度也 第十七 仿各種地形畫圖法如有甲乙丙丁地形欲畫一圖則選能見各地之二處立儀器為戊為巳将戊與巳對準定表先自戊以遊表視庚辛壬癸等處得諸角之度皆細記之如庚戊巳角得八十一度辛戊巳角得五十度三十分壬戊巳角得四十五度八分癸戊巳角得三十三度二十分次自巳以遊表照前視庚辛壬癸等處得諸角之度亦細記之如庚已戊角得三十五度四十分辛巳戊角得四十度十分壬已戊角得四十七度二十五分癸巳戊角得七十度于是任意作一子醜線為戊己相當線于此子醜線之兩末作諸角與所記諸角相等将所作諸角之各線俱引長使相交于寅卯辰巳等處乃以庚辛壬癸所有之諸地形并其餘各處凡目之所見俱畫于圖之相當各界即成一午未申酉之圖即甲乙丙丁地形之圖也葢午未申酉圖内所作寅子醜卯子醜類諸三角形之角度皆與甲乙丙丁地形之庚戊已辛戊巳類諸三角形之角度相等而作故其相當各三角形俱為同式此所以全圖與全地形為同式也 第十八 畫地理圖欲約為小圖或欲廣為大圖法如有甲乙丙丁一地理圖欲約為小圖為原圖四分之一則用甲乙丙丁形界之四分之一畫一戊已庚辛形将甲乙丙丁原形任意分為數正方形而将小形亦分為數正方形視原圖中所有山川城郭村墅林園函于大圖之某正方分者約而畫入小圖某正方形内則此所畫之戊巳庚辛小圖即與原有甲乙丙丁大圖為同式矣 第十九 作比例尺平分線法如此比例尺欲作平分線則自甲樞心至乙丙二末作甲乙甲丙二線用本卷第五節法分之各平分為二百分即為比例尺之平分線也以用法明之如有丁戊一直線欲平分為十分則将比例尺一百分之己庚二防照丁戊線度展開勿令移動次取比例尺之第十分之辛壬二防相離之度即是丁戊線之十分之一分也何則自乙至丙作一線自己至庚作一線自辛至壬複作一線其甲乙丙三角形與甲己庚三角形為同式而甲己庚三角形又與甲辛壬三角形為同式是以所分甲己線與甲乙線之比同于己庚線與乙丙線之比而甲辛線與甲己線之比亦同于辛壬線與己庚線之比也然則十分之甲辛線既為百分之甲己線之十分之一其辛壬線亦必為己庚線之十分之一矣丁戊線原與己庚線同度則辛壬線亦為丁戊線之十分之一可知矣 第二十 作比例尺分圜線法如于比例尺欲作分圜線則自甲樞心至乙丙二末作甲乙甲丙二線乃平分甲乙線于未以未為心以甲乙二末為界作一半圜于是分圜界為一百八十度複以甲為圜心至所分圜界戊巳庚辛壬癸子醜等處作各?線又将諸?線度移于尺之甲乙甲丙二線則此二線即成一圜之諸?之總線也以用法明之如寅卯寅辰二線所合寅角欲知其度則以寅為心作一辰卯弧将比例尺六十度之丁未兩防相距之度照寅辰或寅卯度展開勿令移動次取卯辰相距之度于比例尺上尋至八十度之申酉處恰符即是寅角為八十度也何則若自丁至未自申至酉作二線成甲申酉甲丁未兩同式三角形其相當各角各界俱為相當比例之率故甲未線與甲酉線之比同于丁未線與申酉線之比也夫甲未線既為比例尺所作甲庚六十度之?線而甲酉線又為甲辛八十度之?線其丁未線既與小圜寅卯輻線等而輻線原與六十度之?線等然則丁未線即小圜六十度之?線而申酉線亦為小圜八十度之?線也以此得知寅角之卯辰度為八十度也 第二十一 作比例尺分面線法如此比例尺欲作分面線則以甲樞心處至乙丙二末作甲乙甲丙二線自甲截甲丙線于丁照所截甲丁度于甲心作一甲戊垂線自戊至丁作一戊丁線又照戊丁線度自甲截甲丙線于已自戊至已作一戊已線又照戊已線度自甲截甲丙線于庚自戊至庚作一戊庚線又照戊庚線度自甲截甲丙線于辛自戊至辛作一戊辛線又照戊辛線度自甲截甲丙線于壬自戊至壬作一戊壬線照此累累截之至丙末又将甲丙線所截各度移置甲乙線即成比例尺之分面線也何則于甲丁戊直角三角形之三界作卯丁辰戊戊已三正方形其甲丁甲戊二線因為相等度所作故卯丁辰戊二形必等再于戊甲丁直角相對之戊丁界所作之戊巳一方形亦必與直角兩旁界所作卯丁辰戊二方形相等也【見九卷第四節】次于甲已界作未巳正方形甲己界原與戊丁等則甲已界所作未已方形即與戊丁界所作之戊巳方形相等矣未巳方形既與戊巳方形等則必與卯丁辰戊二形相等而亦與卯丁之倍數相等矣夫甲巳界即大于卯丁形一倍為未巳形之一界也仿此論之則甲庚界即為比卯丁形大二倍形之界而甲辛甲壬等界即為比卯丁形大三倍四倍形之界可知矣以用法明之如有一癸子正方形欲作大二倍之正方形則将比例尺展開使其丁醜相距之度與癸子界度等次取比例尺寅庚相距之度即是比癸子方形大二倍之方形之一面界度也何則自丁至醜自庚至寅作丁醜庚寅二線成甲丁醜甲庚寅同式兩三角形則甲丁線與甲庚線之比即同于丁醜線與庚寅線之比也夫甲庚線所作方形原比甲丁線所作方形大二倍則庚寅線所作方形必比丁醜線所作方形亦大二倍矣丁醜之度原與子癸等則寅庚線豈非比子癸方形大二倍方形之一界乎 第二十二 作比例尺分體線法如于比例尺欲作分體線則以甲樞心之甲乙甲丙二線任作丁已一正方體取其戊己一界之度置于尺上自甲截甲乙線于庚次作比戊已界大一倍之辛壬線又于戊巳辛壬二線間照本卷第十節法作相連比例之癸子醜寅二率乃取癸子線度置于尺上仍自甲截甲乙線于辰則甲辰所作卯子正方體必比甲庚所作丁已正方體大一倍矣何則試将癸子線作卯子正方體則與丁己正方體為同式其二體相比之比例必同于戊已癸子二界所生連比例加二倍之比例今辛壬線既為戊巳相連比例之第四率則丁已卯子二體之比例必同于戊已辛壬二線之比例矣辛壬線既比戊己線大一倍則卯子體亦比丁已體大一倍可知矣又作比戊已界大二倍之己未線仍照本卷第十節法作戊已巳未二線間相連比例之申酉戌亥二率乃取申酉線度置于尺上自甲截甲乙線于幹則甲幹所作午酉正方體即比甲庚所作丁巳體大二倍矣照此屢倍戊己界求相連比例之四線取其第二線度置于尺之甲乙線上又按甲乙線所截各度移置甲丙線即成比例尺之分體線也以用法明之如有一坎庚正方體欲作大二倍之體則将比例尺展開使其庚與庚【第一次所截之防】相距之度與艮庚界度等次取比例尺幹與幹【第三次所截之防】相距之度即是比坎庚正方體大二倍之正方體之一界度也何則自比例尺之庚幹二處作庚庚幹幹二線即成甲庚庚甲幹幹同式兩三角形則甲庚線與甲幹線之比同于庚庚線與幹幹線之比例矣夫甲幹線所作方體原大于甲庚線所作正方體之二倍則幹幹線所作正方體必大于庚庚線所作正方體之二倍可知矣又防法設正方體界一百厘其積數一百萬厘以二因之成二百萬厘立方開之得界一百二十五厘又以三因之成三百萬厘立方開之得界一百四十四厘照此屢倍積數開立方将所得之數于分厘尺上取其度截比例尺之甲乙甲丙二線即成分體線與前求連比例之法無異也 禦制數理精蘊上編卷四