卷四

戊乃自戊至所分巳辛二處作戊巳戊辛二線則丙丁線即分為丙庚庚壬壬丁三叚與甲乙線之甲巳己辛辛乙三叚為相當比例率也試審戊甲乙全形内戊丙庚戊甲已戊庚壬戊已辛戊壬丁戊辛乙之大小六三角形其相當各式皆同如戊丙庚與戊甲已為同式戊庚壬與戊巳辛為同式戊壬丁與戊辛乙為同式故丙庚與甲已為相當二界庚壬與已辛為相當二界壬丁與辛乙為相當二界此六線既各為相當界故各為相當比例率也 第七 有二直線作與此二線相連比例之第三線法如有甲乙甲丙二直線欲作與此二線相連比例之第三線則将甲乙甲丙二線之甲末合成一角照甲丙線度增于甲乙線為甲戊線自乙末至丙末作一乙丙線又與乙丙線平行自戊末作一戊己線将甲丙線引至已處乃成一甲已線其自丙末所分之丙已線即為與甲乙甲丙二線相連比例之第三線也葢已戊線既與丙乙線平行故甲乙丙三角形與甲戊己三角形為同式而甲乙甲丙乙戊丙已四叚必為相當比例之四率是以甲乙第一率與甲丙第二率之比即同于乙戊第三率與丙巳第四率之比也夫乙戊之度原與甲丙等故甲乙與甲丙之比即甲乙與乙戊之比而甲丙與丙已之比即乙戊與丙巳之比然則甲乙與甲丙甲丙與丙巳豈非相連比例之三線乎 第八 有三直線作與此三線相當比例之第四線法如有甲乙甲丙乙丁三線欲作與此三線相當比例之第四線則取甲丙線度叧作一甲丙線将此所作甲丙線照甲乙線度紀于乙于是以甲為心自乙作弧一叚又取原有之乙丁線度自乙截弧線于丁即自乙至丁作一乙丁線再依甲丙線度自甲過丁作一甲戊線又與乙丁線平行作一戊丙線此戊丙線即為原三線相當比例之第四線也葢甲丙戊三角形與甲乙丁三角形為同式故甲乙線與甲丙線之比即同于丁乙線與戊丙線之比因其比例相同故戊丙線為原有之甲乙甲丙乙丁三線相當比例之第四線也或欲作相當比例之數線則将甲角上下二線引長為甲癸甲子凡相當各二處任意截為防叚作防平行線既得相當比例之數線矣如以甲角之甲子甲癸二線截為丁乙戊丙庚巳壬辛子癸五叚于所截五處作五平行線即得相當比例之十率矣葢以甲乙與甲丙之比同于丁乙與戊丙之比以甲丙與甲巳之比同于戊丙與庚已之比以甲已與甲辛之比同于庚已與壬辛之比以甲辛與甲癸之比同于壬辛與子癸之比故将甲子甲癸二線雖分為無數叚作無數平行線其比例亦無不相同也 第九 有二直線欲叧作一線為此二線之中率法如有甲乙乙丙二線欲另作一線為此二線之中率則将甲乙乙丙二線相連為一甲丙全線乃平分全線于戊以戊為心以甲丙兩末為界作一半圜自二線相連乙處至圜界作一丁乙垂線即為原有甲乙乙丙二線之中率線也何也丁乙線既為圜徑上之垂線則甲乙丁乙乙丙為相連比例之三率【見九卷第七節】故甲乙線與乙丁線之比同于乙丁線與乙丙線之比也比例既同則所作乙丁線為原有甲乙乙丙二線之中率可知矣 第十 有二直線欲另作二線為此二線間之兩率法如有甲乙乙戊二直線欲另作二線為此二線間之兩率則将甲乙乙戊二線之乙末相合為直角又自此二線所合乙角引長為甲乙丙戊乙丁二線次将二矩尺之二角正置于丁戊甲丙二線上如一矩尺為己庚辛一矩尺為壬癸子乃以巳庚辛矩尺之一股切于丁戊線之戊末又以壬癸子矩尺之一股切于甲丙線之甲末仍使二矩尺之已庚癸子二股相合則癸庚二角亦為直角而不離于所跨之線其二矩尺之壬辛二股亦使不離于所切之線末乃自甲至癸自戊至庚自庚至癸作三線即截丁乙線于癸截乙丙線于庚成乙癸乙庚二線即為原有之甲乙乙戊二線間之兩率也何也如平分戊癸線于醜則醜為心戊為界成一戊庚癸半圜若平分甲庚線于寅則寅為心甲為界成一甲癸庚半圜今乙癸線為甲癸庚半圜徑線上之垂線故乙癸為甲乙乙庚二線之中率而乙庚線為戊庚癸半圜徑線上之垂線故乙庚又為癸乙乙戊二線之中率是以甲乙線與乙癸線之比同于乙癸線與乙庚線之比而乙癸線與乙庚線之比亦同于乙庚線與乙戊線之比因其比例相同故乙癸乙庚二線為甲乙乙戊二線間之兩率也 第十一 有三角形依一界作等積之直角四界形法如有甲乙丙一直角三角形欲依其乙丙界作一直角四界形與原三角形積等則與乙丙平行作一甲丁線又與甲乙平行作一丁丙線即成一甲乙丙丁直角四界形于是平分甲乙線于戊平分丙丁線于巳作一戊巳線則平分甲乙丙丁四界形為兩形此所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩直角四界形之積俱與甲乙丙三角形之積相等也葢甲乙丙三角形為甲乙丙丁四界形之一半今所分甲戊巳丁與戊乙丙已兩四界形既俱為甲乙丙丁四界形之一半則必與甲乙丙三角形之積俱相等可知矣又如庚辛壬無直角之三角形依辛壬界作一直角四界形與原三角形積等則與辛壬平行作一庚癸線又自辛壬至庚癸線作子辛癸壬二垂線即成一子辛壬癸直角四界形于是平分子辛線于醜平分癸壬線于寅作一醜寅線則平分子辛壬癸四界形為兩形其所分子醜寅癸與醜辛壬寅兩直角四界形之積俱與庚辛壬三角形之積相等也試與庚辛線平行作一卯壬線即成庚辛壬卯一斜方形為與子辛壬癸方形同底同髙故其積必等【見三卷第八節】今庚辛壬三角形為庚辛壬卯形之一半則亦必為子辛壬癸方形之一半矣既為一半則所分子醜寅癸與醜辛壬寅直角四界形必與庚辛壬三角形之積相等可知矣 第十二 有一長方形作與此積相等之正方形法如有甲丙一長方形欲作與此長方形相等之正方形則将甲丙形之丙乙縱線合于甲乙橫線照此卷第九節法求得甲乙丙乙二線之中率為丁乙線即以丁乙線為一邊作一丁戊正方形即與甲丙長方形之積相等也何則大凡相連比例三率内中率所作之正方形積與首率末率所作之長方形積相等今丁乙線既為甲乙丙乙二線之中率則丁乙線所作之丁戊正方形積焉得不與甲乙丙乙二線相合所作之甲丙長方形之積相等乎 第十三 凡多界形作與本形同式或大或小之形法如有甲乙丙丁戊已庚辛之多界形欲作比此形小一半之同式形則自此形中心壬處至各角作衆線又取甲乙乙丙丙丁丁戊戊己己庚庚辛辛甲各界度之一半與各界平行置于對角各線之間為癸子子醜醜寅寅卯卯辰辰巳巳午午癸之八線即成癸子醜寅卯辰巳午之形為原形每界減半之同式形也何也如對角線間所成之甲乙壬癸子壬大小兩三角形之甲乙癸子線既平行而又同一壬角則其相當各角俱等而兩形之式相同仿此推之其乙丙壬子醜壬二形丙丁壬醜寅壬二形丁戊壬寅卯壬二形戊已壬卯辰壬二形巳庚壬辰巳壬二形庚辛壬巳午壬二形辛甲壬午癸壬二形必俱為同式形此各相當大小兩形既俱同式則所作癸子醜寅卯辰已午小形之各邊為甲乙丙丁戊巳庚辛大形之各邊之一半而為同式形可知矣又如甲乙丙丁戊巳庚辛壬癸形從甲角作線至各角取乙丙度之一半置于甲乙甲丙二線之間與乙丙平行如子醜照此于諸對角線間作諸界之平行線即成甲子醜寅卯辰巳午未申小形為原形每界減半之同式形其理亦與前同若欲作比原形大防倍之形則以所作諸對角線按分引長而于本形外作諸界之平行線即成所欲作之大形也 第十四 作分厘尺法如甲戊尺三寸每寸欲分為百厘則将甲乙邊平分作十分将戊巳邊亦平分為十分對所分之分作諸橫線與乙戊平行次将一寸之甲辛乙丙兩邊俱分為十分于甲辛邊之第一分作斜線至乙丙邊之乙處如此作十斜線俱與第一分斜線平行即分乙丙之一寸為一百厘也何也甲辛乙丙皆為一寸之度俱平分為十分矣若将每分又分為十厘即每寸亦得百厘然度狹線多必緻相淆今作斜線橫線各十其橫斜相交處共有百分此百分即百厘也如第一斜線與第一橫線相交之防即為一厘與第二橫線相交之防即為二厘以至第十橫線相交之防為十厘即甲辛邊所分之第一分之十厘也一斜線有十厘則十斜線豈非百厘乎由此推之若作二十橫線則一斜線得二十厘每寸即分為二百厘作百橫線則一斜線得百厘每寸即分為千厘其法甚簡而其用尤甚便也 第十五 凡有三角形知其一角之度及此一角之兩傍界或知其二角之度及此二角之間一界或不知角度但知三界欲求其餘角餘界法如有一甲乙丙三角形知丙角為三十八度四十四分及丙角兩傍之丙甲界長十四丈丙乙界長十三丈而欲知其餘角餘界則依十一卷第八節法作與丙角相等之三十八度四十四分之丁角将丁角兩傍之丁戊界作十四分丁巳界作十三分乃自戊至巳作一戊巳線成一丁戊巳小三角形與甲乙丙大三角形同式量其戊己邊得九分即大形之甲乙邊為九丈也再用有度之圜量取小形戊角得六十四度三十七分即大形甲角之度也小形巳角得七十六度三十九分即大形乙角之度也何也夫甲乙丙戊已丁兩三角形之式既同其相當各角各界必俱相等小形之丁角即與大形之丙角等其餘兩角亦必等小形之丁已邊既以十三分當大形丙乙邊之十三丈則小形戊巳邊之九分必當大形甲乙邊之九丈