卷四

四線相等而庚己丙辛四角俱為直角是為甲乙丙勾股形内之正方形也 第二十九 勾股形内作正方第二法如有一甲乙丙勾股形欲于此形内作一正方則将乙丙線引長照甲乙線度増于乙丙作一壬丙線自此壬丙之兩末與甲乙線平行作丁壬癸丙兩垂線使其度俱與甲乙線等又自丁至癸與壬丙線平行作一丁癸線自丁至丙作一對角線截甲乙線于戊乃自戊與乙丙線平行作戊己線截甲丙線于己又自己與戊乙線平行作己庚垂線成一戊乙庚己正方形即為甲乙丙勾股形内欲作之正方也何則試将戊己線引長成辛戊己子線則此辛戊己子線與甲乙線分丁壬丙癸為四長方形其甲戊子癸長方與辛壬乙戊長方既為丁壬丙癸大長方對角線傍所成兩形其分必等【見三卷第七節】故子戊線與戊辛線之比例同于乙戊線與戊甲線之比例也然此子戊線與丙乙線等而戊辛線又與甲乙線等則丙乙線與甲乙線之比例亦同于乙戊線與戊甲線之比例也又甲乙丙與甲戊己兩三角形為同式故丙乙線與乙甲線之比例同于己戊線與戊甲線之比例而乙戊線與戊甲線之比例又同于己戊線與戊甲線之比例也乙戊線既與己戊線相等而乙庚線與戊己線己庚線與戊乙線又為兩平行線内之垂線其度相等故戊乙庚己四角俱為直角戊乙庚己四角既俱為直角則戊乙庚己之方形即是甲乙丙勾股形内之正方矣 第三十 三角形内作正方法如有甲乙丙三角形欲于此形内作一正方則自甲角至乙丙底線作一甲辛垂線将此垂線引長出甲角如乙丙底線度作一壬辛線又自壬兩分如乙丙線度與乙丙線平行作一子癸線又自癸至辛作癸辛線截甲乙線于丁自子至辛作子辛線截甲丙線于庚乃自丁至庚作一庚丁線此線必與乙丙平行又自庚丁二處作庚己丁戊二垂線即成丁戊己庚一正方形即為甲乙丙三角形内欲作之正方也何則壬辛線與壬子線之比同于辛醜線與醜庚線之比而辛壬線與壬癸線之比又同于辛醜線與醜丁線之比故辛壬線與癸子線之比亦必同于辛醜線與丁庚線之比也然辛壬與癸子原相等則辛醜與丁庚亦必相等矣辛醜與丁庚既等則丁戊戊己己庚庚丁四邊亦必俱等丁戊戊己己庚庚丁四邊既俱等則為甲乙丙三角形内之正方無疑矣 第三十一 有一直線将此線為正方對角線作正方法如有一甲乙直線欲以此線為對角線作一正方則将甲乙線平分為戊以戊為心以甲乙為界作一圜即于此圜内作一丙丁徑線為甲乙線之垂線乃自甲至丙自丙至乙自乙至丁自丁至甲作四直線即成甲丁乙丙一正方形為所求之正方也葢甲丙乙角丙乙丁角乙丁甲角丁甲丙角既俱在半圜内必俱為直角而甲戊丙丙戊乙乙戊丁丁戊甲四三角形之兩傍線俱是半徑線必相等又此四三角形之兩傍線所合之角俱為直角亦必相等則甲丙丙乙乙丁丁甲四直線必俱相等可知矣甲丙乙丁四邊形内四角既俱為直角而四邊線又俱相等則必為正方形而甲乙線為其對角線矣 第三十二 有一直線為正方邊與對角線相較之餘于此線求作其原正方法如有一甲乙線為正方邊與對角線相較之餘求作一正方則先将此甲乙線為一邊作甲乙丙丁一小正方形次自甲至丙作一小對角線于是以丙為心以乙為界作一圜乃引甲丙線至圜界戊處作一甲戊線将此甲戊線為度作一甲戊己庚大正方形即是所求之正方也試引甲乙線至己作甲己一對角線此對角線之乙己一叚必與戊己邊線相等何也其丙乙丙戊為一圜之二輻線既等則丙乙戊丙戊乙二角亦等若于丙乙己直角内減去丙乙戊角又于所作丙戊己直角内減去丙戊乙角所餘戊乙己乙戊己二角亦必相等此二角既等則乙己戊己兩線必等矣因其相等則所作甲戊己庚一大正方之甲己對角線與戊己一邊線相較則原有之甲乙線為其相較之餘可知矣 防何原本十二 第一 有一直線将此線為底作一兩邊度等三角形使底之兩邊各一角俱比上一角為大一倍之三角形法如有一甲乙直線将此線為底欲作兩邊度等之三角形而底之兩邊各一角俱比上一角為大一倍則用十一卷第八節之法于甲乙線之兩頭各作一七十二度之角将兩邊線俱引長相交于丙即成一甲乙丙三角形為所求之形也何則凡三角形之三角相并為一百八十度與二直角等今此所作甲乙丙三角形之甲乙兩角既俱系七十二度則于一百八十度内減去甲乙二角共一百四十四度餘三十六度即為丙角之度三十六度者七十二度之半故甲乙兩底角比丙角各大一倍也 第二 有一直線依此線度作兩邊度等三角形使上一角小于兩底角一倍之三角形法如有甲乙一直線以此線為一邊複依此線度作一邊使此兩邊線所合之上一角小于兩底角一倍之三角形則用十一卷第八節之法以甲乙甲丙二線之甲末相合作一乙甲丙角為三十六度再自丙至乙作一乙丙直線為底即得一甲乙丙三角形為所求之形也何則将甲角三十六度與全形三角之共數一百八十度相減餘一百四十四度為乙丙兩底角之共數今甲丙線與甲乙線既等則乙角與丙角必等因其相等将兩底角共數一百四十四度折半得七十二度即為每一底角之數七十二度者三十六度之倍數故甲角比乙丙兩底角俱為小一倍也 第三 有一直線以此直線為一邊作等邊等角之五界形法如有甲乙一直線以此直線為一邊作一等邊等角之五界形則将此甲乙直線為底用此卷第一節法作一兩邊度等甲丙乙三角形其甲丙乙角為丙乙甲丙甲乙二角之各一半又用十一卷第十五節法于此三角形之周圍作一圜此甲丙丙乙兩直線原系相等其相對之兩弧亦必相等乃以此兩弧自戊丁二處為丙平分又自甲至戊自戊至丙自丙至丁自丁至乙作四直線即成甲乙丁丙戊五邊五角等度之五界形也何則其甲丙乙角原為丙乙甲角之一半則甲丙乙角為三十六度試自甲乙二處至圜心作甲己乙己二線成甲己乙一三角形則此甲己乙角比甲丙乙角亦為大一倍【見四卷第十一節】故甲己乙角為七十二度而甲乙弧線亦為七十二度矣以七十二度于全圜界三百六十度内減之餘二百八十八度折半得一百四十四度即為甲戊丙一叚弧線之數也将一百四十四度折半得七十二度即為甲戊一叚弧線之數也既得甲戊弧線之數則戊丙丙丁丁乙各弧線度俱各為七十二度矣甲乙乙丁丁丙丙戊戊甲五線既俱系相等弧之?線則五線之度必俱等五線之度既等則此形又在圜之内而五角之度豈有不相等者哉 第四 有一直線分大小兩分為相連比例線法如甲乙直線為全分甲丙一叚為大分丙乙一叚為小分以甲乙全分與甲丙大分之比同于甲丙大分與丙乙小分之比則用此甲乙線為一邊線依此卷第二節法作兩邊等度之兩底角比上一角各大一倍之甲乙丁三角形又依此卷第三節法取乙丁線度作邊角俱等之甲戊乙丁已五邊形又自戊至丁作一直線截甲乙線于丙乃得甲丙一大叚為大分丙乙一小叚為小分即是所欲作之相連比例線也何則甲戊乙丁兩弧線度等則甲乙戊乙戊丁兩角度必等又乙戊丁角與乙甲丁角共立于乙丁弧其度必等再甲戊丁與甲乙丁二角亦同立于甲巳丁弧其度亦必等也至于甲乙丁角原比乙甲丁角大一倍故甲戊丁角比丙戊乙角丙乙戊角俱大一倍其甲丙戊角因為戊丙乙三角形之外角與丙乙戊丙戊乙兩内角等故甲丙戊與甲戊丙兩角相等此二角既等則甲丙甲戊兩線必等矣又甲戊戊乙兩線度原相等其戊甲乙角必與戊乙甲角等而甲乙戊一大三角形必與戊乙丙一小三角形為同式形矣葢小三角形之丙戊乙角與大三角形之戊甲乙角等而小三角形之丙乙戊角與大三角形之甲乙戊角為共角而等則小三角形之戊丙乙角與大三角形之甲戊乙角不得不等三角俱等非同式形而何是故甲乙線與甲戊線之比必同于乙戊線與丙乙線之比也夫甲戊原與甲丙相等而乙戊原與甲戊相等故乙戊亦與甲丙相等然則甲乙全線與所分甲丙大分之比必同于甲丙大分與丙乙小分之比可知矣故曰甲乙與甲丙甲丙與丙乙為相連比例之線也 第五 平分一直線為數叚法如有甲乙一直線欲平分為三分則自甲乙線之兩末作甲丙乙丁二平行線随意取一甲戊度将甲丙線分為甲戊戊庚庚丙三叚又依甲戊度将乙丁線亦分為乙辛辛巳巳丁三叚乃自二平行線之三叚處複作甲丁戊己庚辛丙乙四平行線即平分甲乙直線為甲壬壬癸癸乙之三分矣試觀甲乙丁三角形之甲乙乙丁兩傍線為與甲丁線平行之壬己癸辛二線所分故俱為相當率今以甲乙全線與乙丁全線之比同于丁已叚與甲壬叚之比而已辛叚與壬癸叚之比辛乙叚與癸乙叚之比亦皆與甲乙全線與乙丁全線之比相同也因其比例俱同故丁乙線之丁巳巳辛辛乙三叚為平分而甲乙線之甲壬壬癸癸乙三叚亦為平分也 第六 有分數之直線将别一直線依此線分分為相當比例率法如有甲乙一直線原分為甲巳巳辛辛乙三叚又有一丙丁直線欲依此甲乙線分分作三分為相當比例之率則齊二線之一端以為平行線自甲乙線之甲端過丙丁線之丙端作一縱線複自甲乙線之乙端過丙丁線之丁端作一斜線則二線相交于