卷四

】再 以大徑乘之【得一 萬六千尺】以十一乘 二十一除得八 千三百八十尺零九寸五分即所求 解曰小徑自乘再以大徑乘之甲乙方體也方體渾撱圓比例亦猶立方與渾圓故十一乘二十一除得渾撱圓之積 十五則 鋭脊體求積 設鋭脊體脊長十尺底長十四尺廣五尺高十二尺求積法曰倍底長加脊長【得三十八尺】以廣乘之【得一百九十尺】再以高乘之【得二千二百八十尺】以六歸之得三百八十尺即 所求 解曰依甲丙乙丁兩線 分之成刍荛一斜錐二 【斜錐與正錐同論】刍荛以高乘 底積之半得積【本卷四則】錐以高乘底積三之一得積【本卷十一則】夫刍荛之底長即鋭脊之脊長也若三倍脊長以六歸之即得刍荛底長之半又兩斜錐之底長即鋭脊之脊長與底長之較也【即戊庚己辛兩線并之度】若二倍較線以六歸之即得斜錐底長三之一今倍底長加脊長非即三倍脊長二倍較線乎以六歸之以廣乘之再以高乘之得三分體之積即全體之積法先乘後歸亦異乘同除之意也 十六則 鼈臑求積 設鼈臑上長二 尺下長四尺高 九尺求積法曰 置兩長相乘【得八】 【尺】再以高乘之【得七十二尺】以六歸之得一十二尺即所求 解曰叧作一刍荛如下圖刍荛原為等高同底方體二之一【本卷四則】依甲丙乙丙兩線各從底棱分之成一錐體二鼈臑錐體原為等高同底方體三之一【本卷十一則】必為刍荛三之二于刍荛内減去錐體所餘三之一則兩鼈臑也兩鼈臑并既為刍荛三之一必為與刍荛等高同底方體六之一矣與刍荛等高同底即為鼈臑等高倍底者也兩鼈臑既為等高倍底方體六之一則一鼈臑亦必為等高同底方體六之一故用六歸也 十七則 等廣鋭面體求積 設等廣鋭靣體靣長四尺底長一十二尺底面俱廣 五尺高一十二 尺求積法曰并 兩長折半【得八尺】以廣乘之【得四十尺】 再以高乘之得四百八十尺即所求 解曰依甲丙乙丁兩線分之成一直體二塹堵全靣即一直體底全底即一直體二塹堵底底靣并而折半則成一直體一塹堵底矣夫直體以高乘本底得積【本卷二則】塹堵以高乘半底得積【本卷三則】今一塹堵之全底即兩塹堵之半底也故以高乘防靣相并折半之數得全積十八則 鋭靣方體求積 設鋭靣方體靣方六尺底方八尺高一十二尺求積 法曰置上方自 乘【得三十六尺】下方 自乘【得六十四尺】上 下兩方相乘【得四】 【十八尺】三數并【共一百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】以三歸之得五百九十二尺即所求 解曰各依面棱分之成方體一塹堵方錐各四凡九體而有三等三等求積之法則各殊方體以高乘底得積【本卷二則】塹堵以高乘底二之一得積【本卷三則】方錐以高乘底三之一得積【本卷十一則】若從方體則與塹堵不合從塹堵又與方錐不合不得不用三歸以就方錐然用三歸必三倍方體之底半倍塹堵之底而後可今下方自乘即甲乙方形得方體之底一塹堵方錐之底各四上方自乘即丙丁方形得方體之底一上下相乘即戊己直形得方體之底一塹堵之底二合三形共方體底三塹堵底六方錐底四夫方體底三三歸之仍得一塹堵底六三歸之得二二塹堵底即四塹堵底二之一也方錐底四三歸之各得三之一今以高乘一方體底四塹堵底二之一四方錐底三之一故得全積【餘同本卷十五則】 十九則 鋭靣直體求積 設鋭靣直體靣長六尺廣五尺底長十尺廣八尺高 一十二尺求積 法曰倍上長加 下長【共二十二尺】以 上廣乘之【得一百一】 【十尺】另倍下長加上長【共二十六尺】以下廣乘之【得二百零八尺】兩數并【得三百一十八尺】以高乘之【得三千八百一十六尺】以六歸之得六百三十六尺即所求 解曰依各靣棱分之亦成九體與前則同但四塹堵兩兩相等辛戊與庚己等丙戊與丁己等四塹堵既不等則三歸之法不可用矣于是有六歸之法倍上長加下長以上廣乘之即戊己直形二丙丁直形一得戊己直體底三丙戊己丁塹堵底各一倍下長加上長以下廣乘之即甲乙直形二辛庚直形一得戊己直體底三辛戊庚己塹堵底各三丙戊丁己塹堵底各二甲戊等四錐底各二合之共直體底六塹堵底十二與辛戊等者六與丙戊等者六錐底八以六歸之得一直體底四塹堵底二之一四錐底三之一故以高乘之得全積○按鋭靣直體亦有可用三歸 者如後圖面長五尺廣三尺底 長七尺廣四尺二寸高一十二 尺用前法得積二百六十一尺 六寸今以面廣乘靣長得一十 五尺以底廣乘底長得二十九尺四寸以靣廣乘底長得二十一尺【或以底廣乘靣長亦同】三數并共六十五尺四寸以高乘之以三歸之得積同用此法求前體則不合其故何也葢前體乃鋭脊之截體後體乃直錐之截體後體底靣長廣可互為比例若依四角斜線引而高之必成直錐是以謂之直錐之截體依前例分為九體其四塹堵雖體勢不同而容積皆等故用三歸而合也若前體底靣長廣不可為比例亦依四角斜線引而高之止成鋭脊終不成錐體是以謂之鋭脊之截體如前分為九體其四塹堵體勢既異而大小複殊故用三歸必不合也鋭靣直體有此二等不可不知也 二十則 鋭靣圓體求積 設鋭靣圓體靣徑六尺底徑八 尺高一十二尺求積法曰置靣 徑自乘【得三十六尺】底徑自乘【得六十四 尺】兩徑相乘【得四十八尺】三數并【共一】 【百四十八尺】以高乘之【得一千七百七十六尺】再十一乘四十二除得四百六十五尺一寸四分有奇即所求 解曰此與鋭靣方體法同元當用三歸得鋭靣方體積再十一乘十四除為本積今用十一乘四十二除者以三因十四得四十二以四十二除猶三歸又十四除也 二十一則 鋭面撱圓體求積 設鋭面撱圓體面大徑四尺小徑二尺底大徑八