卷四

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徑一十六尺高四十尺求積法曰置兩徑相乘【得五百七十六尺】再以高乘之【得二萬三千零四十尺】用圓法十一乘十四除得一萬八千一百零二尺八寸有奇即所求解同前則及二卷十六則十則弧矢體求積設弧矢體矢濶八尺六寸六分零二毫?長三十尺背三十六尺二寸九分零三毫六絲高四十尺求積法曰置半?自乘【得二百二十五步】以矢除之【得二十五尺九寸八分零九壹強】為餘徑餘徑加矢折半【得一十七尺三寸二分零五毫五絲】為法乘背【得六百二】【十八尺五寸六分九厘】另以餘徑減矢折半【得八尺六寸六分零四毫弱】為法乘?【得二百五十九尺八寸一分二厘】兩數相減【餘三百六十八尺七寸五分七厘】折半【得一百八十四尺三寸七分八厘】為底積再以高乘之得七千三百七十五尺一寸四分即所求【二卷十七則】十一則錐體求積設方錐方二十尺高四十尺求積法曰置二十尺自乘【得四百尺】為底積再以高乘之【得一萬六千尺】以錐法三歸之得五千三百三十三尺三寸三分有奇即所求解曰方邊自乘再以高乘之方體也方錐居方體三之一故三歸得積也何以知方錐居體三之一也試作立方如甲乙自心至各棱分之必成錐體六俱以方靣為底方邊之半為高更作一方體與錐體同底等高如丙丁丙丁方體既與錐體同底必亦與甲乙立方同底既與錐體等高必以甲乙方邊之半為高兩方體既同底則兩體之比例若高與高丙丁體必為甲乙立方二之一矣錐體既為甲乙立方六之一不為等高同底丙丁方體三之一乎再作直體廣二尺長四尺高八尺如癸辛亦自心至各棱分之亦成錐體六底等戊庚辛己高等辛子之半如醜者二底等癸壬庚戊高等庚辛之半如寅者二底等庚壬子辛高等辛己之半如卯者二六錐體形勢雖殊而俱等何也醜與寅同長醜之高倍于寅而寅之廣倍于醜折寅之廣凖醜之高則醜寅二體等矣又醜與卯同廣醜之長倍于卯而卯之高倍于醜折醜之長凖卯之高則醜卯二體亦等矣夫寅等于醜醜等于卯是六錐俱等矣今癸辛一直體能分為相等之六錐體則一錐體不為癸辛直體六之一乎錐體既為同底倍高直體六之一必為同底等高三之一無疑矣○從此推之不論方圓多邊弧矢凡屬錐體者皆為同底等高體三之一十二則諸雜線體求積凡體先求底積底屬直線依一卷九則例屬曲線及雜線依二卷四十則例裁之得底積再以高乘之即得體積十三則渾圓求積設渾圓徑十尺求積法曰置徑自乘【得一百尺】四因之【得四百尺】十一乘十四除【得三百一十四尺二寸八分六厘弱】為靣積再以半徑乘之【得一千五百七十一尺四寸三分弱】以三歸之得五百二十三尺八寸一分即所求解曰置徑自乘再以十一乘十十四除者渾圓中丙子乙醜平圓積也以四因之者渾圓面積當平圓積四也何也渾圓面任割一分【如甲丁己戊】欲求面分之容則取自甲頂至戊界之度【甲戊線】為半徑作平圓【如辛癸平圓辛壬與甲戊等】其容即等若自乙丙平割渾圓之半取自甲頂至乙界之度為半徑作平圓其容必與渾圓半靣等今丙子乙醜平圓半徑為乙庚乙庚與甲庚等乙庚甲庚兩線偕甲乙線則成一勾股形甲乙為? 乙庚甲庚一為勾一為股也以?為半徑之平圓必倍大于或勾或股為半徑之平圓渾圓半靣既等于以甲乙弦為半徑之平圓不倍大于以乙庚勾為半徑之丙子乙醜平圓乎半面既倍大于丙子乙醜平圓全靣不四倍大于丙子乙醜平圓乎法以半徑乘之以三歸之又何也平圓求積同于以圓周為底以半徑為高之三角形【二卷四則】故渾圓求積同于以全面為底以半徑為高之錐體以高乘底以三歸之者錐體求積之法也【本卷十一則】○ 又嘗借西洋割圓八線表考之如前徑十尺之渾圓自頂中剖之再以乙丙線平分之依八線表例分乙丁甲曲線為九十度設任割球分為甲丁己戊其甲丁曲線三十度自丁戊向甲截作三十段梯形于八線表中求三十度通?得五尺二十九度通?得四尺八寸四分八厘一毫用梯形求積法【一卷七則】并兩數折半得四尺九寸二分四厘零五絲再求二十八度通?得四尺六寸九分四厘七毫與二十九度通?并而折半得四尺七寸七分一厘四毫依次折盡三十度共得通?數七十六尺七寸五分九厘七毫五絲用圓徑求周法【二卷一則】求得二百四十一尺二寸四分五厘弱【為球分面上三十段梯形兩濶折半之數】為實複求甲丁曲線三十分之一得八分七厘三毫有奇【取渾圓全周以三十六歸之即得】為梯長乘實得割　　　　　　　　　　　【即】球靣積二十一尺零五分有奇叧求甲戊直線得二尺五寸八分八厘二【即表中十五度通?】毫倍之得五尺一寸七分六厘四毫為徑求圓積亦得二十一尺零五分有奇與前數合又法置徑自乘再以徑乘【得一千尺】之以十一乘二十一除得數同解曰圓體與方體等高則兩體之比例若兩底之比例是方體與圓體若十四與十一也又圓體與渾圓等高令圓體之底同渾圓中心之平圓則圓體之容必等于以平圓為底以渾圓半徑為【渾圓半徑即固體高度之半也】高之錐體【本卷十一則】六渾圓之面既四倍于中心平圓而渾圓求積之法又同錐體則渾圓之容必等于以平圓為底半徑為高之錐體四夫以相等之錐體圓體得六而渾圓得四是圓體與渾圓若六之與四六之與四即三之與二也又以三因十四得四十二以二因十一得二十二各以二約之為二十一與十一則二十一與十一等高立方渾圓之比例也法置徑自乘再乘立方也十一乘二十一除取立方二十一之十一為渾圓也十四則渾撱圓求積設渾撱圓大徑四十尺小徑二十尺求積法曰置小徑自乘【得四百尺