卷四

欽定四庫全書 數學鑰卷四 柘城杜知耕撰 少廣 一則 立方求積 設立方方三尺求積法曰置三尺自乘【得九尺】再以三尺乘之得二十七尺即所求 解曰算體之法先求底積【即方圓等形求積詳一二卷】以高為底 積倍數如圖長廣各三尺相乘得九尺 為底積若高二尺則二倍底積之數得 一十八尺高三尺則三倍底積之數得 二十七尺 二則 直體求積 設直體長七尺廣五尺高一十二尺 求積法曰以廣乘長【得三十五尺】以高乘 之得四百二十尺即所求 解同前 三則 塹堵求積 設塹堵長一十二尺廣五尺高七尺求積法曰以廣 乘長【得六十尺】以高 乘之【得四百二十尺】折 半得二百一十 尺即所求 解曰甲乙丙丁直體與塹堵高廣長各等依甲乙線丙乙棱分之必成二塹堵夫一直體既能當二塹堵則一塹堵必當半直體也故折半得積 四則 刍荛求積 設刍荛長一十二尺廣五尺高七尺求積法同塹堵 解曰甲乙丙戊 刍荛依丙丁線 丙戊脊分之必 成二塹堵各為 相當直方之半兩直方并必成一直方夫直方之兩分既倍于刍荛之兩分直方之全體不倍于刍荛之全體乎故亦折半得積同塹堵也 五則 三角體求積 設三角體廣六尺 中長五尺高一十 二尺求積法曰置 長廣相乘【得三十尺】以 高乘之【得三百六十尺】折半得一百八十尺即所求 解曰即刍荛但彼橫此縱耳○勾股體同 六則 六邊體求積【八邊及十二邊附】 設六邊體每邊廣二十尺中長三十四尺六寸四分 有奇高四十尺 求積法曰置廣 三因之【得六十尺】以 長折半【得一十七尺三】 【寸二分零二毫】乘之【得一千零三十九尺二寸一分二厘】為底積再以高乘之得四萬一千五百六十八尺四寸八分即所求解曰六邊底依各角分之成三角形六三角求積法以廣乘長折半【一卷五則】不折則得兩三角積故三因邊廣以底長之半乘之【底之半長即三角之中長】即得六三角積【即全底積】猶平圓半徑乘半周之義也【二卷三則】若無底長之度則取邊廣為?【全底分為六三角形每形之三邊俱等以甲乙為?即以丙乙為?也】半廣為勾【丁乙】各自乘相減平方開之得股【丙丁】即底長之半【六卷二則】○設八邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾【丁乙】另置二十尺以七六五三六除之得二六一三一四強為?【丙乙】各自乘相減平方開之得股【丙丁】即底長之半設十二邊底每邊廣二十尺求底長即以二十尺折半為勾【丁乙】另置二十尺以五一七六四除之得三八六三六八強為?【丙乙】各自乘 相減平方開之 得股【丙丁】即底長 之半按七六五 三六乃四十五 度弧之通?四十五度為三百六十度八之一故以之除八邊底之一邊即得外切圓形之半徑五一七六四乃三十度弧之通?三十度為三百六十度十二之一故以之除十二邊底之一邊即得外切圓形之半徑外切圓形之半徑即三角形之腰線【丙乙】也【見大測及八線表】 七則 五邊體求積 設五邊體毎邊廣二十尺中長三十尺零七寸七分 六厘六毫強高 四十尺求積法 曰置邊廣以邊 數五因之【得一百尺】 折半【得五十尺】為實另置邊廣折半【得十尺】自乘【得一百尺】以中長除之【得三尺二寸四分九厘一毫強】與中長相減【餘二十七尺五寸二分七厘四毫強】折半【得一十三尺七寸六分三厘七毫強】為法乘實【得六百八十八尺一寸八分八厘】為底積再以高乘之得二萬七千五百二十七尺五寸二分即所求 解曰五邊底依各角分之成三 角形五欲求底積必先得三角 積欲求三角積必先得三角之 中長【丙丁】然上則六邊邊為偶數 角與角相對邊與邊相對其全底之長即相對兩三角之中長令五邊邊為奇數邊與角相對其底長【己丁】小半為此三角之中線【丙丁】大半為彼三角之腰線【己丙】折半則得庚丁不能得丙丁也若欲得丙丁必先求己丙【于己丁底長減去己丙餘即丁丙】欲得己丙必先求外切圓形之己戊徑【己戊折半即己丙】欲得己戊必先求外切圓徑大于底長之丁戊【底長加丁戊即己戊】欲求丁戊則用弧矢以?及餘徑求矢法【二卷二十二則】今邊廣甲戊乙弧矢形之甲乙?也邊廣折半自乘丁乙半?上方形也底長己丁餘徑也以除半?上方形所得者丁戊矢也以矢減底長所餘者倍三角中長之辛丁也故半之為三角之中長又五因邊廣折半者取五三角底之半也若無底長之度則取邊廣折半為勾【丁乙】另置邊廣以一一七五五八除之得一七零一二八八為?【丙乙】各自乘相減平方開之得股【丙丁】即三角形之中長【六卷二則】 一　一七五五八乃七十二度弧 之通?七十二度為三百六十 度五之一故以之除五邊之一 即得外切圓形之半徑【丙乙】為三 角形之腰線也○設九邊底每邊廣二十尺求三角分形之中長則以二十尺折半為勾【丁乙】另置二十尺以六八四零四除之得二九二三八為?【丙乙】自乘相減平方開之得股【丙丁】即三角形之中長六八四零四乃四十度弧之通?四十度為三百六十度九之一故以之除九邊之一即得三角形之腰線也 八則 圓體求積 設圓體徑三十尺高四十尺求積法曰置徑自乘【得九 百尺】再以高乘之 【得三萬六千尺】用圓法 十一乘十四除 【二卷四則】得二萬八 千二百八十五尺七寸有奇即所求 解曰以徑自乘再以高乘之方體積也方體與圓體等高則兩體即若兩底之比例故用平圓法求圓體之積也 九則 撱圓體求積 設撱圓體大徑三十六尺小