卷二

步五分另置濶以二十二乘之【得一百九十二步五分】以七除之【得二十七步五分】與三十八步五分相并得六十六步即外周與三十八步五分相減得一十一步即内周解曰此亦梯形求濶法也法以環濶除積所得之三十八步五分即兩環周之中度也環濶為全徑與虛徑相差之半以二十二乘七除則為内外兩周相差之半矣故以之增減兩周之中度得兩周也 十四則 圓環以積及濶求徑 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求全徑及虛徑法曰置積以十四乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十一除之【得四百二十八步七分五厘】另置濶自乘【得七十六步五分六厘二毫五絲】以四因之【得三百零六步二分五厘】兩數相減【餘一百二十二步五分】為實以四因濶【得三十五步】為法除之得三步五分即虛徑倍濶【得一十七步五分】加之得二十一步即全徑 解曰置積以十四乘十一除者令圓環積化為方環積也餘即方環求内方法【一卷五十六則】 十五則 圓環以全徑及虛徑求積 設圓環田全徑二十一步虛徑三步五分求積法曰置兩徑各自乘【全徑得四百四十一步虛徑得一十二步二分五厘】兩數相減【餘四百二十八步七分五厘】以十一乘之【得四千七百一十六步二分五厘】十四除之得三百三十六步八分七厘五毫即所求解曰兩徑各自乘相減者求方環積也十一乘十四除者因方環積以求圓環積也 十六則 撱圓求積 設撱圓田大徑九十步小徑四十步求積法曰置兩徑相乘【得三千六百步】以十一乘之【得三萬九千六百步】以十四除之得二千八百二十八步五分七厘有奇即所求 解曰西洋亞奇黙德雲取撱 圓兩徑之中率為徑作圓其 容與撱圓等【四九之中率為六謂四之與六 猶六之與九也】夫求中率之法以兩 徑相乘平方開之即得然中率自乘之數實即兩徑相乘之數故法以兩徑相乘十一乘十四除為撱圓積也【撱圓形狀不同恐不能無小差】 十七則 弧矢求積 設弧矢田矢濶五步?長一十七步三分二厘有奇背二十步零九分五厘二毫有奇離徑五步求積法 曰置背以離徑并矢【共十步】乘 之【得二百零九步五分二厘三毫有奇】另置? 以離徑乘之【得八十六步六分有奇】兩 數相減【餘一百二十二步九分二厘三毫有奇】 折半得六十一步四分六厘一毫有奇即所求解曰甲乙丙弧矢形戊為圜心自甲自乙作甲戊乙戊兩線成甲戊乙丙雜線形其丙丁矢與丁戊離徑并即全圓之半徑甲丙乙背又為圓周之分線求積之法當與圓同夫圓以半徑乘周折半得積【本卷三則】則雜線形亦必以半徑乘背折半得積矣又雜線形内以甲乙線分之必成一甲乙丙弧矢形一甲戊乙三角形其三角形以甲乙?為濶以丁戊離徑為高若以高乘濶折半必得三角形之積【一卷五則】于雜線形内減去三角積所餘非弧矢積而何故法以半徑乘背離徑乘?相減折半得積也【相減而後折半與各折半而後相減得數同】十八則 弧矢形以積矢?及離徑求背 設弧矢田積六十一步四分六厘一毫有奇矢五步 ?一十七步三分二厘有奇離徑五 步求背法曰置積倍之【得一百二十二步九分二 厘三毫有奇】另置?以離徑乘之【得八十六步六 分有奇】兩數并【得二百零九步五分二厘三毫有奇】以矢 并離徑【共十步】除之得二十步零九分五厘二毫有奇即所求 解曰即前則求積法反用之 十九則 弧矢形以矢?求餘徑【求全徑離徑半徑附】 設弧矢田矢五步?一十七步三分二厘有奇求餘徑法曰置?折半【得八步六分六厘有奇】自乘【得七十五步】以矢除之得一十五步即所求 解曰甲乙丙弧矢形丙丁為矢丁戊為離徑丁己為 餘徑自圓心戊作 戊乙線成丁戊乙 勾股形丁乙半? 為股丁戊離徑為 勾戊乙半徑為? 另作辛夘形為丁 戊勾上方形庚壬形為戊乙?上方形夫庚壬之大于辛夘者為癸醜子磬折形癸醜子磬折形必等于乙丁股上方形何也?上方形與勾股上兩方形并等故也【六卷一則】若移子于寅則成癸醜寅直形必以勾?較為濶勾?和為長今戊乙?等于戊丙戊丙之大于丁戊勾者為丙丁是丙丁矢即勾?較也故以矢除丁乙半?【弧矢形之?】自乘之積即得勾?和又乙戊?【勾股形之?】既半徑必與戊己等戊己合丁戊非丁己餘徑而何○求得餘徑加矢即全徑減矢折半即離徑加矢折半即半徑 二十則 弧矢形以矢徑求? 設弧矢田矢五步徑二十步求?法曰以矢減徑【餘一十五步】以矢乘之【得七十五步】平方開之【得八步六分六厘有奇】倍之得一十七步三分二厘有奇即所求 解曰依前解矢與餘徑相乘之數即半?自乘之數故平方開之得半?倍之得全?也 二十一則 弧矢形以離徑半徑求? 設弧矢田半徑十步離徑五步求?法曰置半徑離徑各自乘【半徑得一百步離徑得二十五步】兩數相減【餘七十五步】平方 開之【得八步六分六厘有奇】倍之得一十七步 三分二厘有奇即所求 解曰半徑乙戊為?【勾股形之?】離徑丁 戊為勾求得乙丁股即半?也【弧矢形之】 【?】故倍之得全? 二十二則 弧矢形以?及餘徑求矢 設弧矢田?一十七步三分二厘有奇餘徑一十五步求矢法曰置?折半【得八步六分六厘有奇】自乘【得七十五步】以餘徑除之得五步即所求 解曰依十九則解半?自乘之數即矢偕餘徑相乘之數故以餘徑除之得矢 二十三則 弧矢形以?及全徑求矢 設弧矢田?一十七步三分二厘有奇全徑二十步求矢法曰置?徑各自乘【?得三百步徑得四百步】兩數相減【餘一百步】平方開之【得十步】以減全徑【餘十步】折半得五步即所求 解曰全徑上方形當矢偕餘徑矩内形四及矢與餘徑之較線上方形一【一卷十三則】全?上方形當半?上方形四又半?上方形與矢偕餘徑矩内形等【本卷十九則】于全徑上方積内減去全?上方積即減去矢偕餘徑矩内積四也則所餘必矢與餘徑之較線上方積平方開之即得矢與餘徑之較線故以之減徑折半得矢也 二十四則 弧矢形以半?半徑求矢 設弧矢田半?八步六分六厘有奇半徑十步求矢法曰置半?半徑各自乘【半?得七