卷二

三一八三八五六五零二二再約之徑七十一步周二百二十三步三又七十之十設徑一則周三一四二八五七一四二八五七有奇設周一則徑三一八一八一八一八一八有奇再約之徑七步周二十二步兩數皆不能與周徑脗合但徑七周二十二其數少整姑從之 二則 圓周求徑 設圓田周八十八步求徑法曰置周為實以徑法七因之【得六百一十六步】以周法二十二除之得二十八步即所求 解曰即前法反用之 三則 圓周徑求積 設圓田周八十八步徑二十八步求積法曰置周折半【得四十四步】為實以徑折半【得一十四步】為法乘之得六百 一十六步即所求 解曰圓形與半徑為高全周為底之 三角形等何也測量全義雲甲乙丙 丁圜自戊心百分之必皆成三角形 而己戊甲其百分之一也次依甲戊半徑作庚戊辛三角形令庚辛底與圜之全周等自戊角百分之亦必皆成三角形而甲戊壬其百分之一也己戊甲甲戊壬兩分形己甲甲壬兩底既等又戊甲同高因推其容必等夫百倍己戊甲為甲乙丙丁全圜百倍甲 戊壬為庚戊辛三角形兩分形既等 兩全形有不等乎故法以半徑乘半 周得庚戊辛三角形之積即得甲乙 丙丁圜之積也○或雲己戊甲雖全 圜百分之一其底終屬曲線不可與 直線三角形為比不知甲戊壬角大 于己戊甲角而己戊甲中垂線大于 甲戊壬中垂線兩相折準即謂之無 差亦可 四則 圓徑求積 設圓田徑二十八步求積法曰置徑自乘【得七百八十四步】再以十一乘之【得八千六百二十四步】以十四除之得六百一十六步即所求 解曰測量全義雲甲乙丙丁圜庚戊辛三角形以半徑為高以圜周為底己壬為圜徑上方形己丁直形以全徑為濶以半徑為高而為己壬方形之半己戊癸三角形亦以全徑為濶半徑為高而為己丁直形 之半己戊癸形既為己丁直形之半 必為倍大于己丁之己壬方形四之 一又己戊癸與庚戊辛兩形同以半 徑為高凡兩形等高者形與形之比 例若線與線【兩線即兩底○一卷四十五則】今庚辛 底與圜周等己癸底與圜徑等是己 戊癸庚戊辛兩形之比例若圜徑七 與圜周二十二若以四倍大于己戊 癸之己壬方形與庚戊辛三角形較 其比例必若二十八與二十二矣各以二約之為十四與十一夫庚戊辛三角形與圓形等【本卷三則】故方圓之比例亦若十四與十一法以圓徑自乘求己壬方形之積也以十一乘十四除取方積十四分之十一以為圓積也 五則 圓周求積 設圓田周八十八步求積法曰置周自乘【得七千七百四十四步】以七因之【得五萬四千二百零八步】以八十八除之得六百一 十六步即所求 解曰戊己庚辛圜 戊己徑與甲乙丙 丁圜周等則兩圜 之比例為其徑與 徑再加之比例再 加雲者以兩徑各 自乘之數以為比 例也設甲乙徑七 戊己徑二十二甲乙自乘得四十九戊己自乘得四百八十四是兩圜之比例若四十九與四百八十四又壬癸方形與戊己庚辛圜元若十四與十一【本卷四則】今戊己庚辛圜既為四百八十四壬癸方形必六百一十六是壬癸方形與甲乙丙丁圜必若六百一十六與四十九矣各以七約之為八十八與七法以圜周自乘即壬癸方形之積也以七乘八十八除取方積八十八分之七以為甲乙丙丁圜積也 六則 圓積求徑 設圓田積六百一十六步求徑法曰置積為實以十四乘之【得八千六百二十四步】以十一除之【得七百八十四步】平方開 之得二十八步即所求 解曰以十四乘十一除者因圜積以 求戊己方積也平方開之得方邊即 得圜徑者方邊與圜徑等也 七則 圓積求周 設圓田積六百一十六步求周法曰置積為實以八十八乘之【得五萬四千二百零八步】以七除之【得七千七百四十四步】平方開之得八十八步即所求 解曰以八十八乘七除者因圜積以求圜周上方積也【本卷五則】故平方開之得圜周 八則 圓環求積 設環田外周六十六步内周一十一步求積法曰置内外兩周各自乘【外周得四千三百五十六步内周得一百二十一步】兩數相減【餘四千二百三十五步】以七乘之【得二萬九千六百四十五步】以八十八 除之得三百三十六步八分七厘五 毫即所求 解曰與方環求積同【一卷三十三則及本卷五則】 九則 圓環以積及内周求外周 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫内周一十一步求外周法曰置積為實以八十八乘之【得二萬九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】另置内周自乘【得一百二十一步】兩數并【共四千三百五十六步】平方開之得六十六步即所求 解曰兩數并共成周上方積故平方開之得外周十則 圓環以積及外周求内周 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步求内周法曰置外周自乘【得四千三百五十六步】另置環積以八十八乘之【得二萬九千六百四十五步】以七除之【得四千二百三十五步】兩數相減【餘百二十一步】平方開之得一十一步即所求 解曰外周上方積減去八十八乘七除之環積所餘即内周上方積也故平方開之得内周 十一則 圓環以積及内外周求環濶 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置積為實以兩周相并【共七十七步】折半【得三十八步五分】為法除之得八步七分五厘即所求 解曰全圓既同三角形則圓環必同梯形圓環之兩周猶梯形之兩濶也圓環之濶猶梯形之中長也故用梯形求長法【一卷四十八則】即得環濶 十二則 圓環以兩周求環濶 設圓環田外周六十六步内周一十一步求環濶法曰置兩周各以七乘之【外周得四百六十二步内周得七十七步】各以二十二除之【外周得二十一步内周得三步五分】兩數相減【餘一十七步五分】折半得八步七分五厘即所求 解曰外周所得者圓之全徑也内周所得者環内虛徑也全徑減虛徑所餘即環之兩濶故折半得一濶也 十三則 圓環以積及濶求兩周 設圓環田積三百三十六步八分七厘五毫濶八步七分五厘求兩周法曰置積為實以濶除之得三十八