卷二

欽定四庫全書 數學鑰卷二 柘城杜知耕撰 方田下【曲線類】 一則 圓徑求周 設圓田徑二十八步求周法曰置徑為實以周法二十二乘之【得六百一十六步】以徑法七除之得八十八步即所求 解曰徑法七周法二十二者徑與周 之比例若七與二十二也何也西洋 亞奇黙德雲圓徑與圓周三倍又七 十之十則朒【謂周不及此數也】三倍又七十 一之十則盈【謂周過于此數也】先論三倍又七十之十曰丁甲乙半圜戊為心從甲作午子切線從乙從丁作乙己壬丁線各與乙戊半徑等設乙戊己角六十度己戊甲角必三十度為六邊形之半角也末從心過己過壬作戊午戊子線成戊午子等角形己戊壬既六十度則午子為等角形之邊設甲午股一百五十三 步則戊午?必三百零六步【戊午元與午子 等午子既倍大于甲午則戊午亦必倍大于甲午】各自乘甲 午股得二萬三千四百零九步戊午 ?得九萬三千六百三十六步兩數 相減餘七萬零二百二十七步平方 開之得二百六十五步有奇為戊甲 勾【即半徑】則戊甲與甲午之比例為二 百六十五步有奇與一百五十三步 次平分午戊甲角作戊庚線任分甲午于庚【庚戊線割圜界于酉己酉甲酉兩弧等兩弧既等則酉戊己酉戊甲兩角必等故曰平分甲庚庚午兩線不等故曰任分】則午戊與戊甲若午庚與甲庚合之戊午偕戊甲而與戊甲若午庚偕甲庚而與甲庚更之戊午并戊甲而與甲午【甲午即午庚偕甲庚】若戊甲與甲庚先定戊午戊甲并為五百七十一步有奇午甲為一百五十三步則戊午并戊甲與甲午之比例若五百七十一步有奇與一百五十三步則戊甲與甲庚之比例亦若五百七十一步有奇與一百五十三步矣即以兩數各自乘并而開方得五百九十一步又八之一不盡為庚戊線【戊甲為勾甲庚為股庚戊為?】則庚戊與甲庚之比例若五百九十一步又八之一不盡與一百五十三步次平分庚戊甲角作戊辛線則戊庚并戊甲一千一百六十二步又八之一與庚甲一百五十三步若戊甲與甲辛若設甲辛為一百五十三步則戊甲為一千一百六十二步又八之一有奇兩數各自乘并而開方得一千一百七十二步又八之一為辛戊線【甲戊為勾甲辛為股辛戊為?】則辛戊與辛甲之比例若一千一百七十二步又八之一與一百五十三步次平分辛戊甲角作戊寅線則辛戊并戊甲二千三百三十四步又四之一與辛甲一百五十三步若戊甲與甲寅設甲寅為一百五十三步則戊甲為二千三百三十四步又四之一兩數各自乘并而開方得二千三百三十九步又四之一有奇為寅戊線【戊甲為勾甲寅為股寅戊為?】則寅戊與寅甲之比例若二千三百三十九步又四之一有奇與一百五十三步次平分寅戊甲角作未戊線則寅戊并戊甲四千六百七十三步五分有奇與寅甲一百五十三步若戊甲與甲未若設甲未為一百五十三步則戊甲為四千六百七十三步五分有奇子戊午為半圜三分之一即為全圜六分之一甲戊午為十二分之一甲戊庚為二十四分之一甲戊辛為四十八分之一甲戊寅為九十六分之一甲戊未為一百九十二分之一複作甲戊申角與甲戊未角等成未戊申三角形未甲申其切線也為九十六邊形之一邊此邊與全徑之比例若一百五十三步與四千六百七十三步五分【未申倍大于未甲乙丁全徑亦倍大于甲戊半徑】以一百五十三步乘九十六邊得一萬四千六百八十八步則全邊與全徑之比例為一萬四千六百八十八步與四千六百七十三步五分約之為三又七之一不足夫形外切線尚不及三又七之一況圜周乎　次論三倍又七十一之十曰乙甲丙半圜乙丙徑戊心從丙作丙甲與半徑戊丙等【甲丙即六邊形之一邊】從乙作乙甲線成乙甲丙勾股形而甲為方角設甲丙勾為七百八十步乙丙?為一千五百六十步兩數各自乘相減開方得一千三百五十一步不足為乙甲股則乙甲與甲丙之比例為一千三百五十一步與七百 八十步次平分甲乙丙角作乙丁線 以丁丙聨之成丁乙丙丙丁己兩勾 股形自相似葢同用丁方角在半圜 内甲丁丁丙兩線所乘之弧等則丁 丙己丁乙丙兩弧之角必等凡兩形 有兩角等者各腰俱相似則乙丁【大股】與丙丁【大勾】若丁丙【小股】與丁己【小勾】又乙 丙【大?】與丁丙【大勾】若己丙【小?】與丁己【小勾】 更之乙丙與己丙【兩?】若丁丙與丁己【兩勾】是乙丁與丁丙【兩股】丁丙與丁己【兩勾】乙丙與己丙【兩?】三比例皆等又乙丙與己丙【兩?】若乙丙并甲乙【兩腰】與甲丙底之兩分則乙丁與丁丙亦若乙丙并乙甲與甲丙先定乙甲一千三百五十一步弱乙丙一千五百六十步是乙甲乙丙并為二千九百一十一步弱甲丙先設七百八十步則乙丁與丁丙亦為二千九百一十一步弱與七百八十步各自乘并而開方得三千零一十三步又四之一弱為乙丙線【乙丁丙形之?】則乙丙與丁丙之比例為三千零一十三步又四之一弱與七百八十步次平分丁乙丙角作辛乙線依前論丁乙并乙丙與丙丁若乙辛與辛丙先定乙丙三千零一十三步又四之一弱乙丁二千九百一十一步弱并為五千九百二十四步又四之一弱今丙丁為七百八十步則乙辛與辛丙為五千九百二十四步又四之一弱與七百八十步欲省數改設辛丙二百四十步改設乙辛一千八百二十三步弱兩數各自乘并而開方得一千八百三十八步又十一之九弱為乙丙線【乙辛丙形之?】則二百四十步與一千八百三十八步又十一之九弱為丙辛乙辛之比例次平分辛乙丙角作乙壬線以壬丙線聨之辛乙乙丙兩數并三千六百六十一步又十一之九弱與辛丙二百四十步為乙壬與壬丙之比例又改設壬丙六十六步改設乙壬一千零七步弱兩數各自乘并而開方得一千零九步弱則六十六步與一千零九步弱為壬丙與乙丙之比例末平分壬乙丙角作乙庚線以庚丙線聨之乙庚與庚丙若壬乙并乙丙二千零一十六步又六之一與丙壬六十六步兩數各自乘并而開方得二千零一十七步又四之一弱為乙丙線【乙庚丙形之?】則庚丙與乙丙之比例為六十六步與二千零一十七步又四之一弱丙甲弧為全圜六分之一丙丁十二分之一丙辛二十四分之一丙壬四十八分之一丙庚九十六分之一是丙庚為九十六邊内切圜形之一邊也以六十六步乘九十六邊得六千三百三十六步為九十六邊内切形之周乙丙徑為二千零一十七步又四之一弱約之徑一周三又七十一之十強夫圜内切線為三又七十一之十尚強況圜周乎○按三又七十一之十設徑一則周三一四零八四五零七零四二二有奇設周一則徑