卷一

即戊己庚辛四直形】四歸之者取四直形之一也以濶除之即得内邊者其直形以環之濶為濶以内邊之度為長也加兩濶即得外邊者外邊大于内邊之較為兩濶也○或四因環濶除積得五十步【即直方兩形并之共長】加濶得外邊減濶得内邊 三十五則 直形依長截濶 設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步 求截濶法曰置積為實以元長除之 得三十二步即所求 解曰即以長求濶法【本卷十四則】 三十六則 直形依濶截長 設直田濶六十四步依元濶截積二千七百二十步求截長法曰置積為實以元濶除之得四十二步五分即所求 解曰即以濶求長法【本卷十五則】 三十七則 直形截勾股 設直田長八十五步依元長截積一千三百六十步成勾股形法曰置積倍之【得二千七百二十步】以元長除之得三十二步即所求 解曰勾股形當等高等濶直形之半 法倍勾股積即乙丙直形積也乙丙 直形既倍勾股積則必與勾股等高 等濶矣故求乙丙直形之濶即勾股 之濶也 三十八則 直形截三角 設直田濶六十四步依元濶截積一千三百六十步成三角形求長法曰置積倍之【得二千七百二十步】以元濶除 之得四十二步五分即所求 解曰三角形亦當等高等濶直形之 半法倍三角積即甲乙直形積也甲 乙直形既倍三角積則必與三角形 等高等濶矣故求甲乙直形之長即三角形之長也三十九則 直形截斜方 設直田長八十五步依元長截積二千七百二十步成斜方形兩濶相差五步求兩濶法曰置積為實以 元長除之【得三十二步】另置相差五步折 半【得二步五分】并三十二步得三十四步 五分即大邊減三十二步得二十九 步五分即小邊 解曰以元長除積者求甲乙直形之濶也甲乙直形之濶為斜方兩濶之中度【謂小于大邊二步五分大于小邊亦二步五分】故置差折半增減之即得兩濶 四十則 直形截梯形 設直田濶六十步依元濶截積三千七百八十步成梯形兩濶相差一十二步求長法曰置積為實倍元濶【得一百二十步】減相差一十二步【餘一百零八步】折半【得五十四步】為 法除之得七十步即所求 解曰倍濶減差折半者求甲乙直形 之濶也甲乙直形濶為梯形兩邊之 中度【謂小于大邊六步大于小邊亦六步】則直形之容 必與梯形等故求直形之長即得梯形之長 四十一則 三角形以截積截濶求截長【勾股截積同】 設三角田依角截積一千三百六十 步截濶六十四步求截長法曰置積 倍之【得二千七百二十步】以濶除之得四十二 步五分即所求 解曰此與直田截三角同【本卷三十八則】 四十二則 三角形以截積截長求截濶 設三角田依角截積一千三百六十步截長四十二步五分求截濶法曰置積倍之【得二千七百二十步】以長除之得六十四步即所求 解曰此與直田截勾股同【本卷三十七則】 四十三則 三角形以截長求截濶 設三角田元長二百步濶一百五十步自角截長一百五十步求截濶法曰置截長為實以元濶乘之【得二萬二千五百步】以元長除之得一百一十二步五分即所求解曰凡三角形任以一線分之分線若與底線平行則分形之比例必各與全形等謂丙丁與丁戊若丙甲與甲乙丁戊與丙庚若甲乙與丙己又丁戊與甲乙若丙丁與甲丙丙庚與丙己也【泰西幾何原本】甲乙丙即元形丁戊丙即截形也則截長與截濶之比例必若元長與元濶矣截濶與元濶之比例亦必若截長與 元長矣【謂截長大于截濶幾 分之幾則元長亦大于元濶幾分之 幾截濶小于元濶幾分之幾則截長 亦小于元長幾分之幾】法以 元濶乘截長以元長除之者借元長及元濶之比例因截長以求截濶也【求比例用異乘同除法詳三卷五則】 四十四則 三角形以截濶求截長 設三角田元長二百步濶一百五十步截濶一百一十二步五分求截長法曰置截濶為實以元長乘之【得二萬二千五百步】以元濶除之得一百五十步即所求解曰此借元濶元長之比例因截濶以求截長也四十五則 三角形以截積求截長 設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截長法曰置積倍之【得一萬六千八百七十五步】為實以元長乘之【得三百三十七萬五千步】以元濶除之【得二萬二千五百步】平方開之得一百五十步即所求 解曰甲乙丙即元 形丁戊丙即截形 丁壬為截形等高 等濶之直形辛壬 為截長丙庚線上方形丁壬辛壬兩形之高必相等兩形既等高則其比例必若丁戊與辛戊【幾何原本雲凡兩形等高形與形之比例若線與線】辛戊與截長丙庚等而丁戊即截濶是丁壬與辛壬之比例若截濶與截長也分形之比例元與全形等【本卷四十三則】則丁壬與辛壬之比例又若元濶與元長矣法倍截積者求丁壬直形也以元長乘元濶除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求辛壬方形也辛壬為截長丙庚上方形故平方開之得截長也 四十六則 三角形以截積求截濶 設三角田元長二百步濶一百五十步自角截積八千四百三十七步五分求截濶法曰置截積倍之【得一萬六千八百七十五步】為實以元濶乘之【得二百五十三萬一千二百五十步】以 元長除之【得一萬二千六 百五十六步二分五厘】平方 開之得一百一十 二步五分即所求 解曰甲乙丙即元形丁戊丙即截形丁壬為截形等高等濶之直形丁辛為截濶丁戊上方形丁壬丁辛兩形之濶必相等兩形既等濶則其比例必若戊壬與戊辛戊辛與截濶等戊壬與截長等是丁壬與丁辛之比例若截長與截濶亦若元長與元濶矣法倍截積者求丁壬直形也以元濶乘元長除之者借元長元濶之比例因丁壬直形以求丁辛方形也丁辛為截濶丁戊上方形故平方開之得截濶也○以上皆自角截積法若自底截積則以截積減元積餘積亦以上法求之得濶即截濶得長