卷一

解曰此即?與勾股較求勾股和【六卷十則】 二十五則 直形長?和及濶?和求長與濶 設直田長?和八十一步濶?和七十二步求長與濶法曰置長?和以濶?和乘之【得五千八百三十二步】倍之【得一萬一千六百六十四步】平方開之得一百零八步與長?和相減餘二十七步即濶與濶?和相減餘三十六步即長 解曰此即勾?和股?和求勾與股【六卷十三則】 二十六則 直形長?差及濶?差求長與濶 設直田長?差九步濶?差一十八步求長與濶法曰置長?差以濶?差乘之【得一百六十二步】倍之【得三百二十四步】平方開之得一十八步加濶?差得三十六步即長加長?差得二十七步即濶 解曰此勾?較股?較求勾與股【六卷二十則】 二十七則 直形積及長濶和求長濶差 設直田長濶和六十三步積九百七十二步求長濶差法曰置長濶和自乘【得三千九百六十九步】另置積四因之【得三千八百八十八步】兩數相減【餘八十一步】平方開之得九步即所求 解曰長濶和自乘之方積當直田積四長濶差自乘之方積一故以長濶和自乘減去四直田積餘以平方開之得長濶差也【本卷十三則】 二十八則 直形積及長濶和求? 設直田積九百七十二步長濶和六十三步求?法曰置長濶和自乘【得三千九百六十九步】另置積倍之【得一千九百四十四步】兩數相減【餘二千零二十五步】平方開之得四十五步即所求 解曰甲戊形長濶和自乘之方也庚 辛形?自乘之方也甲戊形内勾股 八及長濶差自乘之方一庚辛形内 勾股四及長濶差自乘之方一每二 勾股當一直形【如一丙乙醜辛直形内有乙丙辛醜辛丙】 【兩勾股形】是長濶和上方形大于?上方形之較為二直田積也故法以長濶和自乘減去二直田積平方開之即得?度也 二十九則 兩邊等之三角形求對角之垂線 設三角田底濶六步兩餘邊各五步 求中長法曰置底折半【得三自步】乘【得九 步】餘邊亦自乘【得二十五步】兩數相減【餘一 十六步】平方開之得四步即所求 解曰丙乙作?乙丁作勾以所求之丙丁作股此即勾?求股法也【六卷二則】甲乙邊折半即得勾者以乙丙丙甲兩邊等也設兩邊不等此法不行矣則有下法在 三十則 有一方角之三角形求對角之垂線 設不等邊三角田有一方角【丙為方角即勾股田】底濶十步乙丙邊六步甲丙邊八步求中長法曰置乙丙邊自乘【得三十六步】以底除之【得三步六分○此即丁乙之度以下仍勾?求股法】又自乘 【得一十二步九分六厘】與丙乙邊自乘之數相 減【餘二十三步零四厘】平方開之得四步八分 即所求 解曰此勾股求對角垂線法也【六卷二十 五則】因有方角故用之若無方角此法 又窮矣更有一法不問等邊方角與否皆可求如下則 三十一則 不等邊而無方角之三角形求對角之垂線 設三角田底濶一十五步乙丙邊八 步甲丙邊十步求中長法曰置乙丙 甲丙兩邊各自乘【乙丙得六十四步甲丙得一百步】兩數相減【餘三十六步】為實以底除之【得二 步四分】以減底【餘一十二步六分】折半【得六步三分】 【即乙丁之度以下勾?求股法】又自乘【得三十九步六分九厘】另置乙丙自乘【得六十四步】兩數相減【餘二十四步三分一厘】平方開之得四步九分三厘有奇即所求 解曰甲乙丙三角形丁為對角防另作庚辛為乙丙 邊上方壬癸為甲 丙邊上方壬癸大 于庚辛之較為夘 子醜磬折形若移 醜于寅則成夘子 寅直形又作辰巳 為丁乙上方午未 為甲丁上方午未 大于辰巳之較為申酉戌磬折形若移戌于亥則成申酉亥直形申酉亥與夘子寅兩直形必相等何也甲乙丙三角形以丙丁線分之則成丁乙丙丁甲丙兩勾股形既皆勾股形則丙乙?上方形必與丙丁股乙丁勾上兩方形并等甲丙?上方形必與丙丁股甲丁勾上兩方形并等【六卷一則】從此推之則甲丙上方形大于丙乙上方形之容必與丙丁甲丁上兩方形大于丙丁乙丁上兩方形之容等試減去同用之丙丁上方形則甲丙上方形大于乙丙上方形之夘子寅直形與甲丁上方形大于乙丁上方形之申酉亥直形必相等矣法以乙丙甲丙上兩方形相減餘即夘子寅直形之容亦即申酉亥直形之容也夫申酉亥直形以甲乙底為長【以甲丁乙丁兩線并為長即以甲乙全線為長】以甲丁乙丁之較線甲己為濶者也故以甲乙底除之得甲己甲己既為甲丁乙丁之較線于甲乙線減去甲己則己丁乙丁兩線等矣故折半得乙丁餘仍勾?求股法【六卷二則】同前則 三十二則 方周求積 設方田周二百步求積法曰置周自乘【得四萬步】以方法十六除之得二千五百步即所求 解曰假如一步以 四面計之則周四 步四步自乘得一 十六步是周自乘 之十六步止得實積一步故以十六為方法也然此法止可施于方田至于直田則不可用如下圖直田長六十步濶四十步周亦得二百步實積止得二千四百步如以前法求之則多積百步矣 三十三則 方環以周求積 設方環田外周二百八十步内周一百二十步求積法曰二周各自乘【外周得七萬八千四百步内周得一萬四千四百步】兩數相 減【餘六萬四千步】以方法十六除之得四千 步即所求 解曰此方内減方法也○如知環濶 則用梯田法置兩周相并折半以濶 乘之即得環積 三十四則 方環以積及濶求邊 設方環田積四千步濶二十步求内外邊法曰置濶自乘【得四百步】以四因之【得一千六百步】以減環積【餘二千四百步】餘積 以四歸之【得六百步】以濶除之得三十步 即内邊倍濶【得四十步】加之得七十步即 外邊 解曰法以環濶自乘者求環之隅方 也【即甲等】以四因之者環之隅有四也【即甲乙丙丁四方形】以減環積所餘必四直形也【