卷一

減元長餘為截長四十七則 斜方形以截積截長求截濶【梯形截積同】 設斜方田元長九十步大邊 濶三十八步小邊濶二十步 依小邊截積八百二十二步 五分截長三十五步求截濶 法曰置積為實以截長除之 【得二十三步五分】倍之【得四十七步】減小 邊元濶餘二十七步即所求 解曰以截長除積者求甲丙直形之濶甲乙也甲乙為小邊及截濶之中度倍之則與小邊及截濶并等矣故減小邊即得截濶也 四十八則 斜方形以截積截濶求截長 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步依小邊截積八百二十二步五分截濶二十七步求截長法曰置積為實以截濶與小邊元濶并【得四十七步】折半【得二十三步五分】為法除之得三十五步即所求解曰以截濶與小邊相并折半者求兩濶之中度甲乙也【同前圖】故以除積得截長 四十九則 斜方形以截濶求截長 設斜方田元長九十步大邊 濶三十八步小邊濶二十步 截濶二十七步求截長法曰 置小邊元濶與截濶相減【餘七】 【步】為實以元長乘之【得六百三十步】另以兩元濶相減【餘一十八步】除之得三十五步即所求 解曰小邊與截濶相減所餘必庚己兩元濶相減所餘必甲戊庚己與截長之比例若甲戊與元長也與三角形同【本卷四十三則】 五十則 斜方形以截長求截濶 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截長三十五步求截濶法曰置截長為實以兩元濶相減【餘一十八步】乘之【得六百三十步】以元長除之【得七步】并小邊元濶得二十七步即所求 解曰七步即己庚之度也【圖同前】故加小邊元濶得截濶餘同前解 五十一則 斜方形依小邊截積求截濶 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自小邊截積八百二十二步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減【餘一十八步】乘之【得一萬四千八百零五步】以元長除之【得一百六十四步五分】倍之【得三百二十九步】另以小邊元濶自乘【得四百步】兩數并【共七百二十九步】平方開之得二十七步即所求 解曰甲乙丙丁全形己辛丙丁截形丙丁與甲乙為兩元濶辛己為截濶丙戊為元長丙庚為截長庚己 為小邊與截濶之較線甲戊 為兩元濶之較線癸辛為截 濶上方形子辛為小邊上方 形【庚辛與丙丁等】癸辛之大于子辛 者為醜寅兩亷與夘一隅夘隅即較線庚己上方形也截形以丙庚線分之必成庚丁一直形己丙庚一勾股形若以截長丙庚除直形必得辛庚線再以較線己庚乘之必成一亷【兩亷俱以小邊為長以較線為濶】若以截長丙庚除勾股必得庚壬線庚壬者庚己之半也再以庚己乘之必成半隅然直形與勾股兩形實一截形之分也若以己庚乘截積以丙庚除之亦必得一亷半隅也又全形之比例與截形等【本卷四十九則】丙戊之與甲戊必若丙庚之與己庚故置截積以元長丙戊除之以兩邊較線甲戊乘之亦得一亷半隅與前同倍之則成兩亷一隅夫小邊上方形之小于截濶上方形者此兩亷一隅也并之則成截濶上方形矣故平方開之得截濶 五十二則 斜方形依大邊截積求截濶 設斜方田元長九十步大邊濶三十八步小邊濶二十步自大邊截積一千七百八十七步五分求截濶法曰置積為實以兩元濶相減【餘一十八步】乘之【得三萬二千一百七十五步】以元長除之【得三百五十七步五分】倍之【得七百一十五步】另以大邊元濶自乘【得一千四百四十四步】兩數相減【餘七百二十九步】平方開之得二十七步即所求 解曰既自大邊截積則 元形之大邊亦即截形 之大邊而截濶為小邊 小邊上方形之小于大 邊上方形者兩亷一隅也故于大邊上方形内減去兩亷一隅平方開之即得截濶○若并求長得濶用本卷四十八則法求之 五十三則 梯形截勾股 設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步自一角截勾股積三百四十八步四分八厘求 截濶法曰置積倍之【得六百九十六 步九分六厘】以兩元濶相減【餘六十步】折半【得三十步】乘之【得二萬零九百零八步八 分】以元長除之【得一百七十四步二分四】 【厘】平方開之得一十三步二分即所求 解曰甲乙丙丁梯形減去甲戊丙丁斜方所餘必戊丁乙勾股形截積亦勾股形則是勾股截勾股也故法同勾股【本卷四十六則】○若求長則倍截積以截濶除之即得【本卷三十八則】 五十四則 梯形截斜方 設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截斜方積三千六百步求截濶法曰置積為實 以元長除之【得三十步】另以兩元 濶相減【餘六十步】四歸之【得一十五步】兩數并得四十五步即所求 解曰元長除截積得己戊甲 庚為大邊大于小邊之半甲己又為甲庚之半則甲己為大邊大于小邊四分之一矣故四歸兩濶之較并己戊得截濶 五十五則 梯形截無法五邊形 設梯田元長一百二十步大邊濶八十步小邊濶二十步截五邊形【即甲戊己丁丙】積五千六百五十一步五分二厘求截濶法曰先求梯田全積【本卷七則】減去截積【餘三 百四十八步四分八厘】以梯田截勾股 法求之【本卷五十三則】得濶【一十三步二分】以減大邊元濶餘六十六步 八分即所求 解曰一十三步二分者乙己戊餘形之濶乙戊也大邊元濶甲乙減去乙戊餘甲戊即截濶 五十六則 方環截外周 設方環田外方七十步自外截積二千四百步求截 環内方法曰置元方自乘【得四千九百步】減 去截積【餘二千五百步】平方開之得五十步 即所求 解曰餘環外方即截環内方 五十七則 方環截内周 設方環田内方三十步自内截積一千六百步求截環外方法曰置内方自乘【得九百步】與截積并【得二千五百步】平方開之得五十步即所求 解曰内方自乘者補環内虛形以便開方也 數學鑰卷一