卷九十六 格物部二 算學

惟恒星無地半徑差但減蒙氣差即寔高度 又法任于何日算勾陳大星過上子午之時分測視其高度内減蒙氣差改為實高度又減距極度約一度二十一分半餘即北極高度或算其過下子午線之時分測其視高度内減蒙氣差加距極度亦即北極高度 測候用時表說 凡度時表必按京師之平時開準蓋諸曜黃赤經緯表數俱依京師平時起算故任至何地視表内之時分與通書上星行經緯度随時合時表寔為省算之快捷方式設無時表船至某處尚未知其地經緯何度用何比例求星之所在必任設多處逆探推求豈不費算故西人航海測天儀器而外度時表與通書二者相須為用缺一不可也 算星過午線時即中星時 置本日星之赤道經度内減本日太陽平行赤道經度即恒星時若不足減加二十四時減之此為設星在午正太陽平行距午正後之時分視其數不滿十二時則加十二時過十二時則減十二時比例要從子正起算故加減十二時為本日星過午之泛時如恰在子正即為平時有距時分因日星俱有行分故曰泛時如法再求明日星過午線之泛時以一日化一千四百四十分為一率兩日之泛時較化秒為二率本日泛時化分為三率求四率即泛時内應行之泛時較秒數視兩日之泛時順逆以别加減如明日之數多則加于本日數明日之數少則減于本日數加減于本日泛時即京師星過午之平時如算太陰過午線每時俱有細行隻須用一時之數為比例不用兩子正比例 有某地緯度用日晷測偏度 法以日晷按其地極高度測得時分若非午正晷須極準方應視京師平時表内系何時分加減本日本時之時差改為京師日晷時與所測日晷時相減以時較化度法見變時表即得其地距京師之偏度也所測時早于京師為偏東遲于京師為偏西 測太陰過午線偏度 任至何地測得太陰過午視京師平時表内系何時分随檢通書本日太陰過午系何時分與所測時分相減餘為兩地所測處與京師過午時分較乃檢通書之明日過午時分内減本日過午時分餘化分加一日化一千四百四十分為一率一日化一千四百四十分為二率兩地過午時分較為三率求四率為偏度時分檢變時表得偏東西度早于京師為偏東遲于京師為偏西 蓋測太陰視差多端惟其過正午時但有南北視差可于經度多關是以便于測算諸曜每日過午之時分較數惟太陰為最大用以比例求偏度易準若恒星每日過午時分較祗三分五十六秒五六太陽平行度即恒星時也故測得兩地午時分較每點鐘減十秒即偏度時分西人航海常測月過午差為算偏度之快捷方式也 赤道經緯度說 按西書七政經緯度并宗赤道立算求其故皆因諸曜随天西轉西謂地球自西徂東亦同惟赤極不動故其經緯随地随時測算較易若黃極每日既繞赤極一周則其經緯晷刻異視不惟測候甚難即憑以知地之經緯布算亦不易故西書雲黃道經緯度無益航海之人考其數亦從赤道經緯度用斜弧算出又其五星之黃道經緯度皆從日心立算恒以星出入黃道之南北交終為一周天如水星隻八十八日一周金星二百二十餘日一周之類并無退留之行用于仰觀不合故是集止取其赤道經緯度列表若求黃道經緯度　欽天監既有七政時憲書頒行故省推算 表算日食法 求入限 所求年幹支察首朔食應表表見後得年前十二月朔食應以後每朔但于月數上遞加一月小餘仍之滿食周十一月七三七六五者去之此即月距交平行十三周天月數餘為所求朔食應視某月朔入食限 二月三六五二三六以外 三月一三００八五二八以内 八月六０七五六四七以外 九月三七二四一三九以内 附求望食限 所求年幹支察首望食應表得年前十二月望食應以後每望遞加一月小餘仍之滿食中五月八六八八二五者去之即得逐月望食應視某月望入食限 二月五五六一一七八以外 三月三一二七０七一八以内 右平朔望可食之限摘徐鈞卿先生法不過舉其大凡欲定食之有無須用日月離求實朔望太陰距交度始為的食限也 求實朔泛時 以平朔距冬至之日數用推日月離法法見考成後編各求其子正黃道實行将本日子正太陽實行與太陰實行相較如太陰寔行未及太陽則平朔日即為寔朔本日如太陰寔行已過太陽則平朔日即為實朔次日平朔前一日為實朔本日又用推日月離法各求其子正黃道實行将本日子正太陽實行内減太陰實行餘為月距日度分化秒求對數法見數理精蘊加日法一千四百四十分對數内減一日之月距日實行對數次日日實行内減本日日實行餘為一日之日實行又次日月實行内減本日月實行餘為一日之月實行内減一日之日實行餘為一日之月距日求對數即是得距本日子正分數之對數檢表得真數以時收之得實朔泛時如次日月實行仍未及日則次日為實朔日乃以次日日實行内減月寔行餘為月距日化秒求對數加一千四百四十分對數内減前所得一日之月距日實行對數對距次日子正後分數之對數 求泛時月距正交 次日月距正交内減本日月距正交不及減加十二宮減之餘為一日之月距正交化秒求對數加泛時距子正分數之對數内減一千四百四十分對數得距本日子正之月距正交化秒對數檢表得真數以度分收之加本日子正月距正交得泛時月距正交 求的食限 視月距正交初自宮初度至初宮十八度二十六分自五宮十一度三十四分至六宮六度二十二分自十一宮二十三度三十八分至十一宮三十度皆入食限為有食不入此限内者不食即不必算 視泛時若在夜距日出前日入後五刻以内者見可食五刻以外者全在夜不可見即不必算如泛時在日出入前後者先須加減時差審晝夜 求實朔實時 實朔泛時上下設前後兩時如泛時為醜正二刻則設醜正初刻為前時寅初初刻為後時用推日月離法各求其黃道實行以前後兩時日實行相減為一小時日實行以前後兩時月離黃道實行相減為一小時月實行兩實行相減為一小時月距日乃以前時日實行内減月實行餘為前時月距日化秒求對數加一小時化三千六百秒對數内減一小時月距日化秒對數得距前後秒數之對數檢表得真數以分收之加于前數得實朔實時用推日月離法再以實朔實時各求其黃道實行則日月必同宮同度分秒不異方準乃視本時月距正交入前限者為有食 求均數時差 實朔日引宮度察日均數差表即得記加減号 求升度時差 實朔日黃道宮度察升度時差表表見後即得記加減号 求實朔用時 實朔實時加減二時差得實朔用時 求日實行 前後兩時日黃道實行相減為一小時日實行 求月實行 前後兩時月離白道實行相減為一小時月實行 求實行總較 日實行與月實行相加為實行總相減為實行較 求半外角 置半周一百八十度内減黃白大距餘數半之即半外角 求半較角 實行較對數凡弧度求對數化皆秒入算求三差法仿此如求入對數必要弧度入算加半外角正切對數内減實行總對數餘為半較角正切對數 求斜距交角差 半外角減半較角餘為斜距交角差 求斜距黃道交角黃白二經交角 實朔黃白大距加斜距交角差即斜距黃道交角亦即黃白二經交角實朔月距正交初宮十一宮白經在黃道經西五六宮白經在黃經東記東西号 求兩經斜距 日實行數對加實朔黃白大距正弦對數内減斜距交角差正弦對數餘為兩經斜距對數 求斜距對數較 一小時三千六百秒對數内減兩經斜距對數餘為斜距對數較各限距弧求距時加對數較距時求距弧減對數較故用對數較 求食甚實緯 斜距黃道交角餘弦對數加實朔太陰黃緯化秒下同對數内減半徑對數即前位所進之一餘為食甚實緯對數檢表得真數為秒秒下必帶小餘一位求三差法仿此記南北号與實朔月緯南北同 求食甚斜距弦　食甚距時 斜距黃道交角正弦對數加實朔太陰黃緯對數内減半徑對數餘為食甚距弧對數再加斜距對數較即食甚距時對數檢表得真數為秒以分收之月距正交初宮六宮為減五宮十一宮為加記加減号 求食甚用時 實朔用時加減食甚距時得食甚用時即京師食甚用時 求太陽實引 實朔太陽自變量加減太陽均數得太陽實引 求太陰實引 實朔太陰自變量加減太陰初均數得太陰實引 求地平高下差 太陰實引宮度及本天心距地見月離察交食太陰地半徑差表表見考成後編得太陰在地平時最大地半徑差内減太陽地平地半徑差十秒餘為地平高下差 求太陽實半徑 太陽實引宮度察交食太陽視半徑表得視半徑内減太陽光分十五秒即實半徑 求太陰視半徑 太陽實引宮度及本天心距地察交食太陰視半徑表得太陰視半徑 求并徑 太陰實半徑加太陰視半徑得并徑 求距時日實行 日實行對數加食甚距時對數内減三千六百秒對數餘為距時日實行對數加減号與食甚距時同 求食甚太陽黃道經度 實朔太陽黃道實行加減距時日實行得食甚太陽黃道經度 求食甚太陽赤道經度 食甚太陽黃道經度察黃赤升度差表得黃赤升度差加減黃道經度即食太陽赤道經度 求食甚太陽赤道緯度 食甚太陽黃道經度察黃赤距度表得食甚太陽赤道緯度記南北号 求食甚太陽黃赤道宿度 用上元甲子列宿黃赤經緯度表列宿黃道經度加歲差每年五十二秒算至所求年察食甚太陽黃道經度足減本年黃道宿钤内某宿度分則減之餘為食甚太陽黃道宿度　又将赤道宿度按赤經加減歲差算至所求年察食甚太陽赤道經度足減本年赤道宿钤内某宿度分則減之餘為食甚太陽赤道宿度 求太陽距北極 置九十度南加北減太陽赤道緯度得太陽距北極 求黃赤二經交角即黃道赤經交角之餘 食甚太陽黃道經度察黃赤二經交角表得黃赤二經交角冬夏至後黃經在赤經西東記東西号 求赤白二經交角 黃赤二經交角與黃白二經交角即斜距黃道交角東西同号相加東西仍之異号相減東西從數大者得赤白二經交角記東西号此之謂東西乃白經在赤經之東西也若兩角相等而減盡無餘則白經與赤經合無交角如無黃赤二經交角則黃白二經交[角](加)即為赤白二經交角東西并同 求北極距天頂 置九十度減本地北極出地度得本地北極距天頂 求半和弧　半較弧 日距北極與北極距天頂相加半之為半和弧相減半之為半較弧 求正弦對數較 半和弧正弦對數減半較弧正弦對數得正弦數較其号為減因與半角餘切相減也 求餘弦對數較 半較弧餘弦對數減半和弧餘弦對數得餘弦對數較其号為加因與半角餘切相加也此兩數九限皆可同用較之舊法用垂弧者簡捷數倍 求本地食甚用時 置京師食甚用時加減本地偏東西度時分偏東偏西度見考成下編得本地食甚用時 求用時太陽距午赤道度即可借為前設時 以食甚用時午前午後時分如用時在午正前則置十二小時減用時餘為午前時分如用時在午正後減十二小時餘為距午正後時分變赤道度如用時距午正一小時變為十五度一分變為十五分一秒變為十五秒得用時太陽距午赤道度或用變時表按時取度表見馮林一先生中星表後半之為半距午赤道度 求設時半較角 半距午赤道度餘切對數内減正弦對數較得半較角正切對數 求設時半和角 半距午赤道度餘切對數加餘弦對數較得半和角正切對數 求設時赤經高弧交角 半和角減半較角若北極出地二十三度二十七分以内太陽夏至前後在天頂北者則兩角相加得設時赤經高弧交角午前為東午後為西記東西号 求設時白經高弧交角 設時赤經高弧交[角](高)與赤白二經交角見前東西同号相加東西仍之異号相減東西從數大者得設時白經高弧交角記東西号此之謂東西乃太陽在白平象限之東西也若兩角相等而減盡無餘則太陽正當白平象限無交角設時即真時但有高下一差者相加過于九十度與半周相減用其餘則白平象限在天頂北 求設時太陽距天頂　設時高下差 北極距天頂正弦對數加設時太陽距午赤道度正弦對數内減設時赤經高弧交角正弦對數得設時太陽距天頂正弦對數加地平高下差對數内減半徑對數得設時高下差對數 求設時東西差 設時白經高弧交角餘弦對數加設時高下差對數内減半徑對數得設時東西差對數 求設時南北差 設時白經高弧交角正弦對數加設時高下差對數内減半徑對數得設時南北差對數如白經高弧交角為九十度則無南北差寔緯即視緯但有高下一差 求設時視緯 食甚實緯南加北減南北差得設時視緯若不足減則置南北差反減寔緯變北為南白平象限在天頂北者反是記南北号 求設時距分 設時與食甚用時相減得設時距分如以食甚用時為前設時則無距分 求設時實距弧 設時距分對數内減斜距數對較得設時寔距弧對數在用時前後為緯西東記東西号 求設時視距弧 設時實距弧加減設時東西差得設時視距弧 月在限東西設時在用時前則減加後則加減 月在限東西東西差大于寔距弧為緯東西小為緯西東記東西号如以食甚用時為前設時則無寔距弧其東西差即視距弧限東亦為緯東限西亦為緯西 求設時視距視緯差角 設時視距弧對數加半徑對數内減設時視緯對數得設時視距視緯差角正切對數 求設時兩心視相距 設時視距弧對數加半徑對數内減設時視距視緯差角正弦對數得設時兩心視相距對數 以上各條自太陽距午赤道度起至兩心視相距止共十四件凡食甚用時近時真時及初虧複圓用時近時真時皆名同而數異故不重列諸求其寔皆設時也故統以設時冠之其求三限真時并用前後兩設時求之 求食甚前後兩設時視相距和較 前設時兩心視相距與後設時兩心視相距相加為視距和相減為視距較 求對視行角 前設時視距視緯差角加減後設時視距視緯差角東西同則減異則加得對視行角半之得對視行半角 求半和角 對視行半角餘切對數加視距較對數内減視距和對數得半和角餘切對數 求視行旁小角 半和角内減對視行半角得視行旁小角 求兩設時視行 對視行角正弦對數加小視相距對數内減視行旁小角正弦對數得兩設時視行對數 求視行差 視距和對數加視距較對數内減兩設時視行對數得視行差對數 求食甚真時視行 兩設時視行加視行差半之得食甚真時視行 求食甚真時距分 兩設時較對數加真時視行對數内減兩設時視行對數得食甚真時距分對數 求食甚真時兩心視相距 視行旁小角正弦對數加大視相距對數内減半徑對數得食甚真時兩心視相距對數 複以食甚真時為設時求其兩心視相距以考其合否合則食甚真時即為定真時否則再求視行以求考定真時并如前法 求食甚定真時 設時距分小大于真時距分限西為加減限東為減加置食甚設時加減真時距分得食甚定真時 求食分 并徑内減定真時兩心視相距餘求對數加六百秒對數内減太陽全徑太陽實半徑倍之即全徑對數得食分對數 求初虧複圓前設時 食甚定真時兩心視相距與并徑相加為距徑和相減為距較徑較 距徑和對數加距徑較對數半之加定真時距分對數内減定真時視行對數得初虧複圓前設時距分對數 求初虧複圓後設時 前設時兩心視相距與并徑相減為距徑較食甚兩心視相距與前設時兩心視相距相減為視距較 距徑較對數加前設時距分對數内減視距較對數得後設時距分對數 求初虧複圓真時 兩設時相減為設時較兩設時視相距相減為視距較後設時兩心視相距與并徑相減為距徑較設時較對數加距徑較對數内減視距較對數得真時距後設時對數 求初虧定交角 初虧真時視距視緯差角即并徑白經交角加減白經高弧交角得定交角初虧在限東西者緯南北則加與半周相減緯北南則減南北以初虧視緯論若白平象限在天頂北則緯南如緯北緯北如緯南如無初虧白經高弧交角則視距視緯差角即定交角如兩角相等減盡無餘或相加适足一百八十度則交角為初度 求複圓定交角 複圓真時視距視緯差角即并徑白經交角加減白經高弧交角得定交角複圓在限東西者緯北南則加與半周相減緯南北則減解同初虧 求初虧方位 初虧在限東西者定交角初度為正上下四十五度以内為上下偏右四十五度以外為右偏上下九十度為正右過九十度為右偏下上白經高弧交角大反減交定角者變右為左白平象限在天頂北左右相反 求複圓方位 複圓在限東西者定交角初度為正下上四十五度以内為上下偏左四十五度以外為左偏下上九十度為正左過九十度為左偏上下白經高弧交角大反減交定角者變左為右白平象限在天頂北左右相反 求食限總時 複圓定真時減初虧定真時得食限總時 對數尺以量代算或作　量法代算 西洋對數能變乘除為加減其算必資于表造之實難而用之甚便為今習算者所不可少近已用活字翻行弁以用法數則俾得開卷了然蒇事後複深思其理既可兩數相并以代乘相減以代除必能施諸量法因變通其術作直尺一千根記數于尺之上面爰按假數之積各識真數于尺内以代表施之闾閻貿易尋常日用之算乘除可以量馭法甚淺易雖婦人孺子略識數目字亦可朝得暮能豈非于常算之外更出一奇乎凡習此尺須制薄銅尺一根或牙或篾青皆可将一邊削薄口如刀以便密切尺内之數必取光滑則所記墨識算訖随可揩去依書中兩根尺度為長以官尺三四分為闊居中刻定一線平分為兩根凡遇乘法有兩零相并過一根者即将一根并入根數内用其下餘數量之理亦同或遇除法有實之零内不足減法之零者即可少記一根移于尺之上半将實之零數接于下即可減矣 凡初習此尺須用算盤記根數便于加減待用之既熟根數加減自能肚算無須算盤矣又此尺隻能以加減代乘除之用如有幾數疊加或遞減此尺不能馭仍須用算盤凡定所求位數之大小用對數表之首位法辨之如單位之首為０十之首為一百之首為二千之首為三萬之首為四十萬之首為五之類如百與十乘則二加一為三其所得應為千數如乘法遇有兩根相并過一千根者即可減去一千根用餘數量之得數亦同惟其位數照常必升一位矣又除法遇有實之根數少于法之根數則不足減可加一千根于實内減之仍用減餘數量之得數亦同惟其位數照常必降一位矣若所求位數之大小可以會意不者便不須尋首位矣 凡有法實兩數欲相乘者先任以一數于尺内真數中尋對看尺之上面記其根數另用銅尺上端齊尺之上面細界量至真數所在之處即其根數下之零數用墨線記于銅尺上再查又一數之上面根數并入所記根數上複以銅尺上墨線所記之處齊尺之上面細界量至又一數真數所在之處亦其根數下之零數再以墨線記其下則兩零數亦接成一直線矣爰視兩次所并之根數于尺之上面根數中尋對再以銅尺上端齊尺之上面細界線量其下所記墨線處 相遇之真數即得兩數乘出之數也如遇兩根數相并過一千根及兩零相接過一根者俱依前法量之凡有法實兩數欲歸除者先以實數于尺内真數中尋對看尺之上面記其根數另用銅尺上端齊尺之上面細界量至寔之真數所在之處即其根數下之零數用墨記于銅尺上再以法數于尺内真數中對尋看尺之上面記其根數亦以銅尺上端齊尺之上面細界線量至法之真數所在之處亦其根數下之零數用墨線記于銅尺上面先将寔之根數内減去法之根數視其減餘之根數于尺之上面查對複以銅尺上實之零數内亦減去法之零數用其減餘之較數齊尺之上面細界量其下所記墨處相遇之真數即得兩數除出之數也如遇實之根數少于法之根數及實之零少于法之零者俱依前法量之 凡算四率比例依常法第二率與第三率相乘數為寔以第一率為法歸除之即得所求之第四率數故用量法亦以二率與三率之根數與零數如乘法相并即為寔再如歸除法減去第一率之根數及零數視其餘數依前法量之即得所求之四率數其理與用對數表同 凡開平方先以方積于尺内真數中尋對看尺之上面根數若為偶數即可折半若為奇數則少記一根移于紙上再以紙齊尺之上面細界量至方積真數所在之處即其根數下之零數以墨記于紙上随視折半之根數于赤之上面尋對再将紙上零數對折齊尺之上面細界量其下墨處相遇之真數即得方邊然須審方積之位數必加首位于根數上折半複去首位而量之始方邊之數不淆因方積兩位定方邊一位故也如方積止有單位則首位為０即将根數折半是也若方積在一百以内為二位數則其首位為一必加一千根于根數上折半方合若方積在一千以内為三位數則其首位為二必加二千根于根數上折半方合遞求而上皆然 凡開立方積之根數亦必加首位惟根數與零數各取其三分之一如前法量其相遇之真數即得立方邊多乘方依數遞推如三乘方取四分之一四乘方取五分之一之類 中西曆學源流異同論 竊謂兩間中有萬古不易之理無百世不變之法萬事皆然于曆為最故治曆者惟當順天以求合不當為合以驗天堯命義和曆象日月星辰舜在璇玑玉衡以齊七政是皆随時考測以合天也從未聞立一千古不易之法以能合永遠之天象雖子輿氏所雲苟求其故千歲之日至可坐而知然亦仍屬求合之言古今來治曆者七十餘家疏密代更詳推各異而要其理不外乎唐虞時所定之型模曆也象也璇玑玉衡也即算數圖象及測驗之器也此乃治曆之大經雖萬世莫之易顧其曆書三代而上誠有原原本本則師傳曹習之書而畢喪于祖龍之焰惟堯典僅載以三百有六旬有六日為歲實杜預謂舉全數而言則有六日其實為五日有四分日之一日論謂漢晉諸家皆以日行一度三百六十五日有四分日之一而一周天自北齊張子信始覺有入氣之差而立損益之率隋劉焯立盈縮躔度與四序為升降厥法加詳至元郭守敬乃分盈縮初末四限定歲寔為三百六十五日又萬分日之二千四百二十五較前代為密至前明西法漸入中土曆數之學始稱美備自漢時西人多祿畝以迄明第谷則立為本天高卑本輪均論諸說用三角推算其術尤精乃定歲實為三百六十五日又千萬分日之二百四十二萬一千八百七十五較之郭守敬又減萬分之三有奇　國朝西人刻白爾噶西呢等更相推考又以本天為橢圓均分其面積為平行度又月離古曆皆謂月每日行十三度又十九分度之七東漢賈逵始言月行有遲疾至劉洪列為差率元郭守敬定為轉分進退時各不同猶今之有初均也迨今西法益明始知太陰共有十種行度皆因日行盈縮及本天高卑兩弦朔望而生均與舊法迥殊惟因古時曆年既淺所差甚微非一時所能灼見迨歲月遷流積微成着然後共見而差法立焉此非前人之智不若後人也蓋前人不能預見後來之差而後人則能考前代之度分也故世愈以降曆愈以明其勢則然此曆法所以古疏而今密者良有由也考泰西曆學起于羅馬國羅馬曆自奴馬至該撒儒略一年為十二月乃祭司與大吏任改意定後該撒儒略征請亞力山大天算家鎖西日呢定曆始創三百六十五日及三百六十六日二假歲寔之法以三百六十六日為閏日之年每四年一閏與郭守敬第谷等所定之歲寔略近乃于耶稣降生前四十五年正月初一日為始改用新曆 按史記當在漢宣元之間是時曆法尚亂故史稱其年為亂年嗣後儒略之令未行而死死後祭司不明曆以本年為第一閏年至第四年又為閏年如是每三年中一閏曆三十六年中當閏九日而誤閏十二日該撒亞古士督覺其誤下令十二年不置閏日乃合儒略之大意後不複改至小餘積久自生差遂為格勒固裡改之當漢儒子嬰初始元年新莽建國四年及天鳳三年等俱為閏日之年曆家鹹依此上推迄唐時始有九執曆元季始有回回曆統回部各國猶太等曆言之也歐羅巴人又從回曆加精近世噶西呢等踵起闡微發奧推測尤詳當時西法并宗之然而術分疏密今古殊途理至精微中西一轍我　國家推恩中外一視同仁遂聘西人襄理曆法此　曆象考成等書所由來也然于曆算諸學皆殚極精微惟中國向以閏月定四時成歲其故因地球曆三百六十五日五小時三刻三分四十五秒而繞日一周月約二十九日十二小時二刻十四分二秒而追繞地球一周地繞日一周而月繞地十二次有十日有奇故三年一閏五年再閏十有九年而七閏始合其期惟二十四節氣古時皆平分歲實故謂恒氣今以日行盈縮而定其損益謂之定氣而節氣一周與歲實仍同焉西國以太陽恒星十二宮分歲實為十二分彼既不以月圓為例故無正月二月等名目俗稱外國正月二月者乃華人稱之則然爾在西國曆家固無所謂月也然其十二月之日數亦各不同以黃道上有高卑差而日躔即因之有加減也如磨碣宮日躔最卑行速故二十八日而行一宮若巨蟹宮日最高行遲故三十一日而行一宮總以三百六十五日為一年較諸歲實尚欠五小時有奇故每四年閏一日又因四倍五小時有奇尚不足一日之數故又曆一百二十八年而少閏一日法應閏三十二日者則閏三十一日始合其期夫閏日乃以太陽行度紀年閏月則以太陰行度作歲雖月分閏法各有不同而歲序紀綱則無少差異此謂之不約而合者也中國以正月朔為歲首梅勿庵謂西國以日躔鬥四度為正月朔或雲西國以地球當最卑為過年之期二者所差尚微因最卑東行每歲約六十二秒恒星東行每歲約五十一秒僅差十一秒須積至三百二十七年有奇始差一度推今歲冬至最卑點距冬至點後十度五十八分四十一秒自注此論系光緒丙戌年作冬至後二十日内日行最速每日約一度有零故冬至越十日而為西國過年之期即中國十二月初八日也西人恒以過年前八日為耶稣誕辰即太陽躔第十三宮第二十五日故耶稣誕辰在中國冬至後三日也 雖然中西兩曆不同而實同然而同之中又有不同焉耶稣誕辰後冬至三日者在近今六十年中則然爾推原厥故并非關乎理法之疏密而由于立法之各異天象之變遷惟西國總以地球當最卑為過年之期最卑又每歲東行約六十二秒約曆六十年而差一度故六百年之間而最卑距冬至已差至十度矣若以日躔鬥四度為過年之期大略相同如今年最卑後距冬至十度零越六百年而當變為距二十度零則西國過年之期亦将在中國冬至後二十日而耶稣誕辰即因之變為後十三日矣大凡六十年中亦有一二日參差今歲交冬至節在十一月二十七日卯初故為後三日設于二十六日亥時交冬至則變為後四日矣惟查康熙戊辰年瞻禮單耶稣誕辰則在冬至後四日似以日躔鬥四度為過年之期也考最卑與冬至同度當在宋理宗時自宋以上又差而前故上溯漢哀帝庚申年最卑以前距冬至約二十二度十六分所以耶稣降生之辰當在哀帝庚申年十月即冬至前二十七或二十八日為小雪後二三日也一千九百年之間已差至三十一日此所謂同之中更有不同者也愚準最卑東行之理推之自今以往約曆一萬零一百四十年之久則地球繞日之軌道最卑最高将易位置是最卑點當夏至點而西國過年之日在中華夏至之期即耶稣誕辰在中國夏至前七日矣當是時北半地球夏生酷暑冬有嚴寒愈近北極而其苦愈甚蓋最卑最高所受日光之比若十六與十五比地土皆環繞北冰海披離下垂故南半球多水北半球多陸水可回光故難受亦難散陸能傳熱故易受而易散夏至北極朝日日光直射北半球惟地球适當最高則相宜乃彼時适當最卑其積熱應得百度者增而為一百零七度冬至南極朝日日光斜照北半球若地球當最卑則尚宜乃彼時适當最高其餘熱應有二十度者減而為十八度雖略能以行度之盈縮而疊相消長然曷若今日消長之自然也或曰寒暑表上升降數度在人似不大覺何苦之有曰伏暑增兩三度不能隆冬減兩三度不能不見夫赤日當空火傘方張之候竟有多挂一絲而不能者此何故欤又不見雲愁水結燈寒榻冷之間直有欲把刀剪而難堪者此又何故欤夏至時且将增七度之熱而人有不喚苦者乎自此更曆萬餘年而仍複今日此又天運之循環而中西歲月之大不同者至于最卑最高之根源及最卑之運行弗替則其故甚微一時不可思議雖歐洲楚精天文家亦莫明其妙惟大約其故必在恒星焉 更定測北極出地簡法 西人顔家樂測北極出地簡法見赤水遺珍疇人傳亦載之其法先于其處測一恒星自出地平至正午所曆之時及其高度以時變赤道度以其大矢為一率正矢為二率高度正弦為三率得四率為正弦查表得度内減去星距天頂度餘與九十度相加折半轉減九十度得北極出地度但此法必北極出地不滿半象限星過子午圈在天頂南赤道北而後可否則不合李氏士叔以其非通法也而改之見所著天算或問其法視星在赤道南北不同而大矢正矢異其乘除視星之高弧或深弧南北不同而兩弧異其加減法雖略備轉失之繁故顔氏法簡而不備李氏法備而不簡學者卒難領悟今變通兩家綴為公法諸題均可一以貫之并補圖演草于後推步之家庶有取焉光緒十二年丙戌夏六月丁澣識于滬濱格緻堂 法曰于一處任測一恒星自出地平至子午圈所曆之時及在子午圈之高弧乃以時化度以其本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦為三率得四率為正弦檢表得度為星之深弧與高弧相加以減半周折半得北極出地度自地平圈南至星出地最高點為高弧自地平圈北至星入地最深點為深弧兩弧如有過象限者仍用本角度不用外角度 圖略 如圖午癸丙丁有依子午圈剖成平圓面乙丁為地平癸為北極癸乙為北極出地午為赤道交子午圈點甲為星甲丙為星道徑甲丁為高弧甲壬為其正弦乙丙為深弧庚丙為其正弦甲辛為星道度本角正矢辛丙為星道度外角正矢星一晝夜而一周故以時化度即星道度甲辛壬與辛庚丙兩句股形為同式故星道度本角正矢即甲辛弦與星道度外角正矢即辛丙弦比若高弧正弦即甲壬股與深弧正弦比即庚丙股此比例而得深弧正弦之理也甲癸與癸丙兩弧相等并為深弧加北極出地之度以甲丁高弧減乙己丁半周餘甲乙弧為北極出地倍度又加深弧之度故井高弧深弧以減半周折半即北極出地度此加減而得北極出地之理也何以知星道度本角正矢為甲辛外角正矢為辛丙也如甲卯丙未為依星道剖成平圓面甲丙為星道徑醜甲為星出地平至子午圈所過之度甲心醜為本角其正矢為甲辛醜心丙為外角其正矢為辛丙也 于一處測得一恒星自出地平至子午圈曆二十六刻二分高弧六十三度求北極出地 草曰以星出地平至子午圈時刻化度得九十八度其本角正矢為一、一三九一七三外角正矢為０、八六０八二七乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦０、八九一００六五為三率求得四率０、六七二二０九八為深弧正弦檢表得四十二度十九分與高弧相加得一百零五度十九分以減半周得七十四度四十一分折半得三十七度二十分三十秒即北極出地度對數草曰九十八度本角正矢對數為一０、０五六五八九七一外角正矢對數為九、九三四九一五八三乃以本角正矢對數為一率外角正矢對數為二率高弧正弦對數九、九四九八八０八八為三率求得四率九、八二八二０七為深弧正弦對數檢表得四十二度十九分如前法加減得北極出地 于一處測得一恒星自出地平至子午圈曆十四刻十二分高弧七度求北極出地 草曰以星出地平至子午圈時刻化度得五十五度三十分其本角正矢為０、四三三五九三八外角正矢為一、五六六四０六二乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦０、一二一八六九三為三率求得四率０、四四０二六六五為深弧正弦檢表得一百五十三度五十三分與高弧相加得一百六十度五十三分以減半周得十九度七分折半得九度三十三分三十秒即北極出地度 對數草曰五十五度三十分本角正矢對數為九、六三七０八三０一外角正矢對數為一０、一九四九０四三九乃以本角正矢對數為一率外角正矢對數為二率高弧正弦對數九、０八五八九四四七為三率求得四率九、六四三七一五八五為深弧正弦對數檢表得一百五十三度五十三分如前法加減得北極出地 于一處測得一恒星自出地平至子午圈曆四十二刻二分高弧一百二十一度求北極出地 草曰以星出地平至子午圈時刻化度得一百五十八度其本角正矢為一、九二七一八三九外角正矢為００七二八一六一乃以本角正矢為一率外角正矢為二率高弧正弦０八五七一六七三為三率求得四率０、三二三八六九三為深弧正弦檢表得一度五十一分與高弧相加得一百二十二度五十一分以減半周得五十七度九分折半得二十八度三十四分三十秒即北極出地度 對數草曰一百五十八度本角正矢對數為一０、二八四九二三一五外角正矢對數為八、八六二二二七六七乃以本角正矢對數為一率外角正矢對數為二率高弧正弦對數九、九三三０六五五九為三率求得四率八、五一0三七0一一為深弧正弦對數檢表得一度五十一分如前法加減得北極出地 附真數對數求正矢法 真數求正矢以餘弦減半徑即得如弧之過象限者其餘弦為負故以加為減 對數求正矢無論過象限與否以半弧正弦對數倍之加二之對數０、三０一０二九九九減半徑對數一０、即得蓋首率半徑中率通弦即半弧倍正弦得末率為倍正矢故通弦自乘半之半徑除之為正矢而通弦自乘半之即半弧正弦自乘又二乘之也今對數倍之為自乘加為乘減為除故半弧正弦對數倍之加二之對數減半徑對數即正矢對數也 近代疇人著述記 疇人傳自羅茗香續後未有再續者近時算家著述序跋足繼前賢而開後學者頗不乏人顧或僻處偏隅遺書未顯或英年多故著作未成亦往往而有欲搜訪而續緝之誠未易言矣然而覃精數理者名山之絕業也多方搜錄者尚友之苦心也不揣梼昧勉效管窺意在網羅有傷繁冗謹分條诠次如左 儀征阮文達公元嘗以虞推小雅十月之交在幽王六年因用時憲術士推幽王六年十月朔正得入交督漕運時立糧艘盤糧尺算法頒行各省又嘗溯古今沿革之原究中西異同之緻掇拾史書荟萃籍創為疇人傳自黃帝以降甄而錄之得二百八十人綜算氏之大成紀步天之正軌至今遊藝之士奉為南針 甘泉羅茗香士琳少時所著有比例彙通四卷摘九章中切于日用者彙為比例十二種意主法明西法後益專精于天元四元之術着觀我生室彙稿已刻者凡九種曰句股容三事拾遺本博繪亭之法取句股中舊有之容方邊容圓徑益以西法之容中垂交互相求一以天元禦之曰三角和較算例取斜平三角中兩邊夾一角術镕入立天元一法用和較推演成式曰四元玉鑒細草以朱松庭原書秘奧難讀殚精一紀步為全草補漏訂訛申明疑義曰演元九式括玉鑒中進退升降消長諸例借無數之數入以正負開方式曰台錐積演以玉鑒中有茭草形果積壘藏二門足補少廣之缺爰取台錐形引而申之曰周無專鼎銘考以四分周術為主佐以三統漢術推得宣王十六年九月既望甲戌與銘詞合曰續疇人傳以阮傳曆年已久有應續增入者因複增補得六卷曰弧矢算術補以李四香弧矢算術其術未備爰增二十七術合成四十術曰增廣新術推廣正升斜升橫升之算法以求太陰随地随時之明魄方向分秒複以其術通之以求交食限内之方向邊分及所經曆之邊分其未刻者有六種曰交食圖說舉隅遵現行之橢圓法于各求下綴以法解曰春秋朔閏考集黃帝以來六術及漢三統術以考春秋自隐迄哀凡二百五十五年總經傳七百九十九日名推演成書曰綴術輯補以祖沖之之綴術久佚爰搜括各書參以本法演得二卷曰句股截積和較算例以孔軒少廣正負術所載未備推而廣之得八十四術曰淮南天文訓存疑曰博能叢話 甘泉易蓉浦之瀚以羅茗香玉鑒細草格于體裁凡四元之條段羼糅開方之頭緒紛如悉未能指出義例因撮取開方以及天元四元諸算例為四元釋例一書附于羅草之後 山陽駱春池騰風着開方釋例四卷于諸乘方方廉和較大小加減之理皆質言之而推求各元進退定商諸術足補李四香開方說所未備又嘗取衰分方程句股等法以及九章所未載與夫古今算書之未能該洽者溯源正為藝遊錄二卷 全椒江雲樵臨泰善用對數所著弧三角舉隅續傳誤為張作楠作簡明直指附刻于張丹村翠微山房叢書中 黟縣俞理初正燮博極書長于考訂兼擅天算之學所著溝洫東田諸解恒星七曜古憲四分諸論皆獨具神識未經人道德清許積卿宗彥經生而兼經推步之理着太陽行度解以辨王寅旭戴東原之誤其目曰解日本天解日行黃道解日經度解日緯度解求經緯度解高卑盈縮解用赤道度解日度無闊狹解日左右旋凡九篇 元和沈狎鷗欽裴嘗為李雲門校九章算術細草圖說均輸一章多所增訂又補海島算經細草晚得秦道古數書九章鈔本于張古愚家訂補脫曆有年所著有秦書刊誤以老病未卒業殁後其子弟宋勉之搜得殘稿數卷采其說入劄記居京師時嘗手錄徐氏所步玉鑒細草數段因欲補撰全草遺稿四冊為長洲馬遠林钊所藏餘師張嘯山先生曾見之其草與羅氏大同小異實不如羅之詳然四象朝元第三第五兩問羅草方廉隅諸數皆不符原術竟無說以處此沈氏所演獨與術合此則勝于羅草者也馬君謀刻之而未果後馬君殉難遺稿遂不可蹤矣江陰宋勉之景昌着數書九章劄記以狎鷗所校明鈔本為主而參以李四香所校四庫館本搜衆說而折衷之足資後學考證又嘗較楊輝算法六種皆刻入宜稼堂叢書中其未刻者有開方之分還原術一種 無錫鄒敬甫安鬯精究琴理着琴律細草一卷笃好天元一術校讀算書每有所得辄題于眉上嘗以郁刻秦道古數書九章謬訛錯出演算不易故用力尤勤而辨正為多有沈李毛宋諸家所未及者竊拟編次其說為數書校議一冊庶幾鄉先哲之學術可以不沒雲 烏程陳靜傑着算法大成上編凡十卷門分類别意在引誘初學其中平弧三角數卷頗能洞見本原句股求三整數法尤為新得之理惟以天元正負諸乘方為算家故設難題不适于用未免為識者所噱下編十卷則由法而緻用顧無刻本蓋未定之書也又有緝古算經細草一卷圖解三卷馬義一卷刊行于世又有彗星譜二冊其弟子有烏程張南坪福禧歸安丁書兆慶皆明算而未成著述算法大成中錄其兩邊夾一角徑求對邊術解頗為明晰 錢唐項梅侶名達其算學之書已刻者曰下學算書凡三種曰句股六術圖解變通舊術分術為六使題之相同者通為一術圖解明晰比例精簡曰平三角和較術曰弧三角和較術極數究理于無中比例中尋得比例婉轉妙合古所未有惜其圖解尚無成書未刻者曰象數一原項氏原書祇六卷而卷四僅六紙為未完之書殁後其友人戴鄂士校補之始成全帙凡七卷卷一曰整分起度弦矢率論卷二曰半分起度弦矢率論卷三卷四曰零分起度弦率矢論皆以兩等邊三角明其象遞加法定其數末乃申論其算法卷五曰諸術通诠取新立此弧弦矢求他弧弦矢二術半徑求弦矢二術及董氏杜氏諸術按術诠解之卷六曰諸術明變雜列所定弦矢求八術開諸乘方捷術算律管新術橢圓求周術皆從遞加數轉變而得者也卷七曰橢圓求周圖解則鄂士所補纂也其弟子錢唐王吉甫大有笃嗜算術涉中西兩家言嘗校刻割圖捷術合編不知有他著述否 烏程徐壯愍公有壬者務民義齋算學已刻者凡七種曰測圓密率本杜德美董方立輩屢乘屢除之法而廣為互求之術曰造表簡法以垛積招差之法求西人立表之根曰橢圓正術因新法盈縮遲疾皆以橢圓立算而取徑迂回布算繁重爰撰是術法簡而密尤便對數曰截球解義直抉球與等徑等高之圓囷其外面皮積亦等之理為幾何所未發曰弧角拾遺括舊法垂弧次形矢較諸目而統歸于和較施之對數尤便曰表算日食三差以西法步算多資于表獨日食未立步法故用新法補之曰朔食九服裡差增廣疇人舊術為見食各州郡随時測驗之準其未測者尚有堆垛測圓三卷圓率通考一卷四元算式一卷校正九執術一卷古今積年解源二卷強弱率通考一卷毀于兵燹不可得見矣 錢唐戴鄂士煦粵雅堂叢書中刻其所著求表捷術三種共九卷其一曰對數簡法續對數簡法始以開方表求諸對數繼因假設對數即讷白爾對數以求定準對數即十進對數續悟開無量數乘方法用連比例求諸對數而得數益捷此求對數表捷術也曰外切密率用連比例互相比例借杜德美求弦矢諸術變通之以求切割二割圓之法乃大備此求八表捷術也曰假數測圓創為負算對數可舍八而徑用弧背入算以求其八對數此求八對數表捷術也又有四元玉鑒細草與羅茗香所著略同而圖解明暢過之音分古義二卷以連比例立算與古律分合皆未刻 吳縣馮景亭桂芬着弧矢算術細草圖解一卷本李四香十三題而詳演天元加減乘除開方各式意淺語詳有裨初學刻入昭代叢書中鹹豐之季西人新術初入中土通其法者尟而李壬叔所譯代微積拾級一書尤為難讀因取其書逐節疏解與上元陳子玚同撰西算新法直解一書惟輕改其所記之号所代之字此正如戴東原之變易舊名轉足以疑誤後學也又有中星表按鹹豐辛亥天正冬至星度立算 金山顧尚之觀光著書甚多全稿名曰武陵山人雜着其言算者有十一種曰算剩初續編凡二卷曰九數存古依九章為九卷而以堆垛大衍四元旁要重差夕桀割圓弧矢諸術附焉皆采自古書而分門隸之曰九數外錄則括西術為對數割圓八平三角弧三角各等面體圓錐三曲靜重學動重學流質重學天文重學作記十篇曰六曆通考據開元占經作紀黃帝颛顼夏殷周魯積年而為之考證曰九執曆曰回回曆解皆就其法而疏通證明之曰推步簡法曰新曆推步簡法曰五星簡法皆就疇人所用術改度為百分趨于簡易而省其纡曲曰算剩餘稿曰雜着則身殁之後餘師張嘯山先生為之分别編次者也 杭州夏紫笙鸾翔遺書凡四種曰萬象一原曰緻曲術圖解推究縱橫之條理研求微積分之奧竅曰洞方術探索夫遞加數尖堆底之原可以加減代乘除為求弦矢之快捷方式曰少廣缒鑿專立捷術以開各類乘方通為一術可徑求數十位方根無論益積翻積俱視為坦途矣 臨川紀慎齋大奎着筆算便覽其書以筆算為名而兼及籌算述宣城梅氏之義具見簡明同治庚午南昌梅氏重梓算經十書曾取其書附刻于後 廣州何報之夢瑤曾删訂算法統宗及輯梅定九朱吟石兩家之書共為四卷繼複鈔撮數理精蘊得八卷合為一書凡得十二卷名曰算迪今伍氏刻本祗八卷蓋非其全稿也 南海鄒特夫伯奇遺書曰學計一得以算術解經義為治經者之助曰補小爾雅釋度量衡三篇博引傳注考證詳明曰格述補述夢溪之遺緒為算學之支流曰對數尺記因西人對數表而變通之以尺代表制簡用廣曰乘方捷術首立開方四術以明其理又立求對數較四率以探其赜末設對數開方計息諸草以着其術之切于日用曰存稿則雜文也嘗繪輿地全圖其經度無盈縮而緯度漸狹相視皆為半徑與餘弦之比橫九幅縱十幅合一之則成地球滂沱四隤之形以圜繪圜其形維肖又準鹹豐甲寅歲前恒星經緯繪赤道南北恒星圖二幅其未定之書尚有測量備要二冊其弟子伊善卿德齡有求弦矢通街一卷刻入傳習錄中 嘉定時清夫曰醇熟于求一之術嘗以大衍一術求等約分頭緒不一撰求一術指一書晚年目已雙瞽猶能手按珠盤口授其子着百術衍二卷以張邱建百一題衍為大中小三色皆有分子之題以盡通分之妙每題分立兩法一馭以方程一馭以求一以示術理相通每問各列三答以求其概然疏略甚多若以代數求之則合問之答數尚不止此也興化劉融齋熙載着天元正負歌四則簡捷易明最便初學見昨非集 長沙丁果臣取忠為楚南絕學之倡嘗校刻白芙堂算學叢書其所撰述者曰數學拾遺多發明古今算家未盡之旨曰輿地經緯度裡表據魏氏海國圖志以補張氏揣鑰小錄為之析旗部增海國推距裡惟魏圖輾轉鈎摹所紀經緯不足為據而據以推算不無毫厘千裡之謬即如今實測英國倫頓為中國京師中偏西一百十六度二十八分而此表乃雲一百二十七度十分差至一千二百餘裡其它各國誤率類是曰粟布演草其書以發商生息為題輯各家術草彙以明開方之術而鄒特夫截算續商二法亦藉以附見焉曰對數詳解一本乎代數之法而闡明對數之理與用算式繁重演算不易則曾栗諴之力也 海李壬叔善闌嘗與西士偉烈亞力續譯幾何原本之後九卷以竟徐文定公未完之業又譯代數學十三卷代微積拾級十八卷重學二十卷曲說三卷談天十八卷刊行于世代數者猶中法之天元四元也惟天元四元之所重者在行列位次而代數則不論行列位次一切皆以記号明之故其理雖同而為用尤廣微分積分者凡面體皆設為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也一切曲及曲所函面曲面及曲面所函體八弧背互求真數對數互求昔之所謂無法而難求者今皆有法求之而甚易矣重學者其學分動靜兩支靜重學所推者力相定動重學所推者力相速速有平漸速加速之分而其理之大要有二曰分力并力曰重心則靜動兩學所共也又有流質重學其力有二曰互攝力曰互推力曲者圓錐三曲也一為橢圓二為雙曲三為抛物置圓錐形截之其截面錐底交角小于錐腰錐底交角者為橢圓大于錐腰錐底交角者為雙曲等于錐腰錐為底交角者為抛物談天者西士候失勒所著天文之書也其言日與恒星不動而地與五星俱繞日而行地與五星之繞日與月之繞地其軌道俱系橢圓而曆時等則所過面積亦等此真順天以求合而非為合以驗天也凡此數者皆西人至精之詣中土未有之奇以視明季所譯殆遠過之矣所自著者有則古昔齋算學凡十四種曰方圓闡幽曰弧矢啟秘曰對數探源皆以尖錐立算發古人未發之秘曰垛積比類則本玉鑒遺法而分條别派詳細言之于九章外别立一幟曰四元解指明算例改定算格詳演細草圖解術雖深讀此可豁然矣曰麟德術解以李氏盈朒遲速二法為授時術平定二差所托始因取史記所載校正而解明之曰橢圓正術解以徐所立正術俱極精深逐術為補圖詳解之曰橢圓新術則又變通正術而益趨于簡易曰橢圓拾遺拾西說之遺義以究曲以極緻曰火器真訣以抛物之法通之于平圓曰尖錐變法釋考西術之異同别用法之正變可以抉對數之藩籬而無餘蘊矣曰級數回求為一切級數互求之準繩曰天算或問其雜紀其答問之詞單文剩義剖晰入微曰考數根法數根者惟一可度而他數不能度之數也立法凡四可補幾何之未備 新化鄒叔績漢勳與丁果臣同治算學尤研究天文推步之書着有颛顼憲考其弟季深漢池亦通算學丁氏之度裡表多出其手 長沙李夫錫蕃着借根句股細草一卷括七十八題為二十五術大旨與李四香天元句股細草相仿而西法之借根即中法之天元也固可相附而行 湘陰左壬叟潛所著有割圜八綴術補草綴術釋明綴術釋戴等書一貫以天元寄分之法用以立式巧變莫測又有通分捷法一帙将分母分子析為極小數根而同者去之任以多項通分頃刻可得 湘鄉曾栗諴紀鴻文正公之次子也着圓率通考據西士尤拉之法見代數術二十五卷而立新術推得圓率百位為從古所未有其它算稿尚未成書卒以用心過度嘔血而卒 算學至今日可謂極矣中華之天元四元即西人代數之理但不及代數之變化代數又不及微積之盡變量十年前項戴所造之法甚近微分此後積世積人積智更于代微積外别樹一幟或有其人然不能必也餘友崔君聘臣名朝慶者觀理澄澈于算學尤深入奧窔嘗與餘論算曰算學自項戴諸君子出觀止矣足征心得之語茲選輯二十餘人之作雖不能盡如項戴然亦多近項戴者餘固實領其著述之精非同便為鈔錄讀是輯者即是文已足見一斑矣丁亥秋日湘鄉葛道殷心水氏識于江南機器制造總局翻譯館中 上會典館測繪輿圖書 一曰定天度以定州縣之部位地體渾圓其南北二點正當天空之南北兩極其中腰大圈亦與天空赤道相當如人在北極下則以北極為天頂人漸向南行見北極漸底至赤道則北極與地平合南極亦然是地之南北不同則北極出地之高低異焉耳東地之日出入早于西地之日出入地周三百六十度與天周相應每度六十分都為二萬一千六百分日曆天周為晝夜分二十四小時時六十分都為一千四百四十四分故時之一分等于度之十五分四分等于一度此地在彼地之東一度則此地之日出入早于彼地之日出入四分時是地之東西不同則日出入之遲早異也而測天度者必先定午線如京師之有中線英吉利之格林回次法蘭西之巴黎昔年西圖所用之福島皆是考工記曰匠人建國水地以縣置槷以縣以景為規識日出之景與日入之景晝參諸日中之景夜考之極星按此言匠人建國而于夏至日定其國之午線也水地言以水平地如西人之用水平縣垂線也言平地者必使地與垂線成直角槷表臬也植表臬使正如垂線而其景也日出之景與日入之景必等長慮所識景端或不确乃任以一景之長為半徑臬底為中心展規為平圓兩景端均交圓邊則為密合是為規識日出入之景也複中折兩景端間圓邊為點向臬底作直線即為午線之向鄭注雲度兩交之間中屈之以指槷則南北正是也又日中之景為最短必與所作午線合故既畫午線複以日中之景參之極近北極之勾陳星即堯典之璇玑璇玑段借機極也言勾陳為旋繞北極最近之星也其說詳見尚書大傳周髀算經等書星即堯典之玉衡星經之鬥六星莊子之維鬥爾雅之鬥極晉以後天文志所名之黃道極者是也夜觀勾陳與玉衡為直垂線則赤極與黃極相當又與所畫午線方向合則午線準是夜考之極星也大司徒以土圭之法測土深正日景土深指南北日景指東西夏至晝漏中日南景短是地在南近日故土圭之景短也日北景長是地在北遠日故土圭之景長也此定南北緯度之理也日東景夕是地在東日過其國之午線時東地之景已夕日西景朝是地在西日過其國之午線時西地之景方朝此定東西經度之理也西人定其國之午線亦用匠人之法而參以指南針除電氣差安子午儀使極穩以窺日星之過午其随處測經緯度則自日晷将午至日晷過午用紀限儀或經緯儀屢測太陽高弧取其最高度為本處太陽過午線距地平高度亦即本處午正乃以太陽距地平高度減蒙氣差加地半徑差為實高度以減象限九十度得太陽距本處天頂度以與本日太陽赤緯度南加北減即得本處北極出地之度于是先以極準時表如太陽過其國午線之午正開準行與本處既測得午正以與時表較遲早差若幹時分化度即知本處在其國之東西若幹度分但一測午正而地之南北東西皆定古今中外若合符節其理至當其用至宏是作圖者所宜先務也 一曰測地面以定州縣所轄之各地地面遼闊遠近不一高低不齊無法以禦之不能成圖其法不外乎三角即九數之句股周髀算經卧矩知遠偃矩望高二語足以盡之而西人測地亦分二端一測地面平形一測地面高形其測平形也所用之器最要者為經緯儀為測向羅盤均為圓周分三百六十度密者能辨分秒疏者亦半分度皆有指南針經緯儀有窺管測向盤僅安植表系絲于窺管與植表之視孔成十字交點視交點蔽所測之物方為指準任在何州縣之城門植柱為起點用儀器測左右距城門之甲乙二物設甲物在偏東二十度乙物在偏西三十度則所成角為五十度記二物之向及角度于冊于是量準測處至甲乙二點直遠近為底邊又從甲乙二點轉測他處可見之物遞測不已均記其向與度使大地成無數三角形又每三角之内或有可指之處仍一一記之使大三角容無數小三角又有道裡河流之迂曲均測其迂曲之向而以記裡車記其各迂曲之遠近使容于各三角之内而測平形之事畢矣其測高形也所用之器最要者為紀限儀為瓶水地平儀紀限儀為六十度弧亦能辨分秒有活半徑及回光際線等鏡有窺管亦系十字以測高深之都數測法于測處置二定點與山頂成二點以二定點間相距數為底邊用平測三角法已知三角一邊求得測處至山頂斜之數再用立測三角法以斜線為已知之邊測得三角求山頂高于測處之數既得山形之高數乃以測處至山頂斜線與高數為已知兩邊求得山頂垂與平地成直角至測處為平距數而山之斜度亦須測得大但可不計分秒用紅銅版為象限儀九十分之懸垂于版心系錘使下墜自弧之一角依平邊仰望高處相切視垂線所成角即為斜度行軍之圖斜度約分三等十五度以下車能行三十度以下馬兵能行四十五度以下步兵僅能行過此須攀援矣故測斜度止于四十五瓶水地平儀以測逐層高低之數器為長銅管管之兩端上安琉璃瓶刻度盛水瓶與管成直角管下承三足架當管中承處為活節置器于高低之間升降銅管視兩端瓶水等平而止于器之上與下對管口植長尺自管窺上尺恰當何尺寸反窺下尺恰當何尺寸以兩數較所餘為上尺處高于下尺處之數高低懸遠者屢測之而記其逐層之數山勢磅者環測之而記其各點之向屢測者逐層之高須等以便命共距之數環測者各點之高亦須等以便成平剖面之形又山高與逐層之高之比如平距與各平剖面平距之比均求之以記于冊而測高形之事畢矣 測事既畢于是始言繪繪者當首明分率分率者地與圖之比例也地周三百六十度度二百裡裡一千八百尺是則一尺實為一萬二千九百六十萬分地周之一凡為圖必先開方設為每方一寸十方一裡是以圖之一尺代地之一千八百尺也其分率為一千八百分之一然作總圖者不必如是之大酌而用之每方一寸方五十裡是以圖之一寸代地之九十萬寸分率為九十萬分之一他如或大或小随人度其圖之詳而命之可也分率既定始布經緯度經度當赤道處每度相距二百裡漸北則漸狹當用八線表以半徑一千萬為一率每度二百裡為二率各地北極出地度之餘弦為三率求得四率為其地經度相距裡數按度推之列為成表以便檢用而畫經緯兩亦不一法有經緯均作曲線者有經為曲而緯為直者有緯為曲而經為直者其經緯均曲與經曲緯直兩種雖能得球形之理然不能無差一則差在東西兩邊一則差在于北皆由經緯相交不成直角對角線亦不相等故作圖以緯曲經直者為無差其法法當求圓錐為公中心以規作各距等圈若作一省一府之分圖去圓錐過遠則以求零弧之法變通之又作分率微分尺如圖為九十萬分之一用四寸六十分之名曰度尺用四寸二百分之名曰裡尺均畫對角斜線表微分又作分度器密者以銅為圓弧玻璃為中心能辨六十度之分秒疏者以明角片為半周分百八十度度半分之若填州縣城之經緯度可展規按度分量分率度尺縱橫定點于圖即得經度去赤道漸遠者則按度求其相距裡數以裡尺量之亦得若填所測地面各三角點須用分度器之中心合甲乙之起點正其子午按左右甲乙二點之向作直線再依所測底邊遠近如分率量之以定甲乙二點于是轉移分角器之中心合甲乙二點據所測各多點之向一一作直成無數三角形如所測地面凡兩線之交即各物定點而圖之平形成矣畫高之法大要以山之各層平剖面平距數依分率入圖如其遠近方向作點以曲線聯之成自天空俯視山頂及各層平剖面之形再于平剖面之間補作垂在線下交于兩平剖面界必成直角其疏密定率兩垂線相距等于兩平剖面界相距四分之一垂線之方向即斜度之方向也粗視之斜度小者其線疏斜度大者其線密若辨其度之幾何則必以共距明之共距者山之逐層高較也如共距為三十六尺圖為一千八百分之一乃以一八除三六得十分寸之二為圖之共距以與垂線相比而斜度得矣共距之長小于垂線三四倍則斜至十五六度小于垂線兩倍則斜至三十度與垂線相等則斜至四十五度凡用共距者分率愈大則辨析愈明若日耳曼人補垂線之法不必以共距明之視黑白之多少定斜度之大小線為黑線間為白凡圖中全黑者為四十五度八黑一白者四十度七黑二白者三十五度六黑三白者三十度五黑四白者二十五度四黑五白者二十度三黑六白者十五度二黑七白者十度一黑八白者五度線大則黑多線細則黑少以此辨度亦甚明确西人作垂線之法凡三英吉利之法能令圖清日耳曼之法能令圖準法蘭西之法則清而準前所言疏密定率寔法蘭西之法也苟明乎此而圖之高形顯矣 既測天度又測地面申之以繪法而圖猶不精妙者未之有也就其湖北測繪輿地圖章程互相發明錄之雲一測天度周禮大司徒乃以土圭之法測土深正日景土深言南北即定緯度之理也日景言東西即定經度之理也蓋地為圓體其南北二點正對天空之南北兩極其中腰大圈亦與天空赤道相當人立地面目力極數十裡耳數十裡外即屬茫然天雖無涯而地平以大可仰觀得之故必分地為三百六十度與天體合藉天空諸曜高弧以求地面之度而地之圓形始得今會典館開辦輿圖于經緯度再三言之自應遣精通算法善用儀器者經緯儀度時表往六十八州縣治所測天求度而州縣幅員大者至數百裡又宜覽其形勢于四邊之界南北東西不緻平行之處擇四定點測其經緯度分于是一州縣之境有五經緯定點先以法求各經緯點相距之鳥道次以平三角聯絡其間互相榰柱雖廣大之地不難禦之入法矣而名山之大川之口以及古郡縣舊治關隘險要前人紀載言在某縣某向若幹裡迨名号已易部位轉迷測地時能考确處定其經緯度分注之于冊于考古者亦為有益而一縣之區于五定點外又增各點即求各點相距為三角底線尤能密合　一測地面鳥道鄂省六十八州縣北極鄖西南極通城西極利川東極黃梅約其面積為方裡者殆六十萬非測三面不能定地面各物今于州縣郭平地量成底線長或一裡短或半瑞安測向儀于底線兩端彼此互測記其向度始各測所編号竿而記其自某測某幾百幾十幾度幾十幾分于冊又移儀于已測三角之外邊兩端插竿于未測之地而測之東西南北漸移而前各記抵界而轉而三角之定點必須聯絡互用展轉成形然後地面之上皆成三角三角之外始無餘壤凡村院鎮集山山峽斷崖水源水口埧堰橋梁津渡交衢關隘稅口厘卡鹽局電局電杆營汛驿站塘鋪煙墩營壘故壘炮台塔廟古迹及山脈水道道路界線四者之轉向處均須作為三角定線其定點密者三角亦密若曠野荒漠地惟盡目力所集作數大三角而已　一測地面人行道凡山脈水道道路界線四者之轉向均經測出固已肖其真形但三角所得者鳥道也四者蜿蜒于三角之中其小曲之遠近非直邊所能得故必以人行道計之今以測向儀定方向記裡輪量遠近一人測向一人記裡而書其自某處起程若幹度分行若幹尺至某處轉若幹度分行若幹尺至某處所過之地有驿站塘鋪鎮集橋梁埧堰礦者均分别注之凡界為兩縣所共測定一縣即可旁及他縣自應詳測不必求省惟路之支徑紛歧水之溪澗錯出若不擇要必曠時日茲道路惟測其四至之道路有驿站塘鋪者餘則之 水道則分别大小考求利弊鄂境之水江漢為大江水西自巴東東至黃梅約行二千三百餘裡漢水北自鄖西南至漢陽約行一千九百餘裡舟楫所濟水利所關自必以人行道計其流向遠近并及水漲水落之沙界遙堤内堤之定基他如入江入漢之水行五百裡以上者測之若水口通舟楫利停泊者則不論所行遠近俱宜詳測江漢之瀕湖泊甚多防水為田遂成澤國民生利病胥在于此均應循湖測岸并逐測縱橫交錯之堤皆得其方向遠近高低厚薄以便依率入圖水漲之時不能識水落之界水落之際可以察水漲之痕故測水宜水落從事淤河廢渠有可考者亦測大至鄂境之山以鄖陽宜昌施南為最多襄陽次之嘉慶教匪之亂賊迹出沒其間緻稽征讨蓋磅萬山叢雜西接川陝皆為密箐他如大江南北亦山勢奔赴若必逐層環測求其高較以表斜峭則非數年所能惟先考舊圖得知山脈大始擇要測之欲知山之脈絡當觀水之源委水源分流之岡脊必為幹山迤逦于二水之間遇二水合流而止者必為支山支幹既明方有把握其人迹已到之區則以人行道繞測山麓盤互遠近之址及山立距平距之數深山窮僻但以測向儀望測其山得其平距及脈絡委曲之勢而已論測量之道以山為最難湖堤水道次之言民生之計湖堤水道為最要而山又次之自宜酌其緩急先從事于湖堤水道除測三角應及于山者自不容緩專測山址與山脈之事甚費時日俟辦有成效酌量期限緩促再漸次施行可也 一用人不明算學者不足以盡測繪之能僅明算學者多未親測繪之事故用人以施諸實事為準其精通算學能用儀器測天度地依率繪圖者為上僅守成法測地面依率繪圖者次之但鄂省幅員之廣欲求實測必非數人所能今招聰俊生童能耐勞苦者二十人教以測繪成法習之三月始出從事學成之後即分派局中所有成材十二人及學生二十人為四大路計八人共測一州縣每八人中又分四小路二人任測天度為一路測州縣治所及各定點外仍應測地面三角管記裡輪者一人同學生一人為一路測人行道裡外亦應測地面三角餘學生四人分為兩路專測地面三角惟測地面甚為繁重雖能辨向分角而插竿滿目屢測不已或至迷識當預編竿号屬插竿之人詳查竿号次第不可颠倒插置測向者按号記之庶不至亂凡兩路分段相交之處尤宜留心交點南路必交測北路之原點北路必交測南路之原點不可增亦不可漏方能合其要在先察舊圖預約每日所測地度方有依據約計之每八人所測一州縣期閱月畢之逐各州縣測去以四大路測六十八州縣風雨及甚寒暑不計外約曆二年當畢測事再以一年為繪事故期限止于三年　一用器古人測量莫不用器土圭所以測天短度所以測地緬懷舊制必稱精密仿而為之慮不逮古近日西人之器尚屬可用如經緯儀紀限儀測向儀奪材儀度時表記裡輪綱練帶尺分角器規筆平行尺曲線版等物均測繪家所必需其則天多用紀限儀測地多用經緯儀如測向儀奪林儀則行軍人用之測平三角及高深者究之紀限儀亦可測地經緯儀亦可測天二者俱備自稱完美惟是費錢既多購置亦不甚易不如酌購一種為便紀限儀便于行海及測天空天兩曜相距之弧若用之陸地測午正不如經緯儀之易于從事但必如西人用經緯儀測地雖稱最密而用人既多需器亦多所費殊不赀且經緯儀之大者能辨一秒小者能辨一分若測地面三角必求分秒則地圓之弧角差天空之蒙氣差均應推算除清然後能得真角又非數年所能收功今酌用經緯儀能辦十秒者度時表測天測向儀奪林儀測地測向儀雖不如經緯之儀密然分三百六十度又半分之能辨三十分為七十二向矣較之吾華舊法其密為十倍過之且弧角差蒙氣差在地面人目所及斷無多至三十分者故用測向儀均可不計　一繪法繪者當首明分率會典館所頒格式原就書式大小而設外間測繪原本務必放大以便詳測密填迨圖成之後始照館頒格式縮成定本送館仍将外間原本副送一分以備采擇今酌定外間原本分率省府總圖定為九十萬分之一以圖之一寸代地之五十裡五十裡為九十萬寸州縣分圖定為十八萬分之一以圖之一寸代地之十裡十裡為十八萬寸随測随繪之草圖定為一萬八千分之一以圖之一寸代地之一裡一裡為一萬八千寸用圓錐通徑法作緯曲經直之式使經緯相交皆成直角各如率布算定其南廣北狹之式用分角器微分尺填繪各點凡測向儀所成子午儀必與圖之經線平行以求各點角度則能得各處距等圈真形不至展闊而生向差矣圖中作識之法送館之圖自應照館頒格式所言外間原本所收既詳名目亦多識别不嫌其繁後另為表識圖附　此圖未刊　一圖說禹貢一書為千古志地者之祖于九州島之後即繼以導山導水師其意有作者有班固之漢書地理志伯益夷堅之山經曹魏時之水經蓋地志取法乎九州島山經取法乎導山水經取法乎導水也踵地志而作者曆史之郡國州郡地形諸志皆是而自唐訖明所存元和郡縣圖志太平寰宇記元豐九域志諸書紀載雖有詳之殊其體例固本之孟堅也仿水經作者則有而黃洲之今水經齊次風之水道提綱仿山經而作者則有水道記黃岩戴東原之李誠之萬山綱目皆為名作今會典館所發表格其叙沿革疆域鄉鎮蓋仿班志諸書之例叙山則拟山經叙水則拟水經又詳天度道裡而山之礦産要隘水之圩堰橋津均叙于當處之下簡而明要而詳自應遵之無庸别生異議也