卷九十六 格物部二 算學

記之一日數千言不厭其艱苦凡兩月而脫稿繕寫付梓經年告成爰展閱一過而序之曰數之名始于一而終于九故至十則進其位而仍以自一至九之數名之至百則又進其位而仍以自一至九之數名之如是以至千萬億兆其例一也夫古人造數之時所以必以十紀之者誠以數之多可至無窮若每數各與一名則吾之名必有窮時且紛而無序将不可記憶不如極之于九而以十進其位則舉手而示屈指而記雖愚魯者皆能之故可便于民生日用傳之數千百年至今不變也觀夫市廛貿易之區百貨羅列精粗美惡貴賤之不同則其數殊焉多寡長短大小之不同則其數又殊焉凡欲以其所有易其所無者必握算而計之其所斤斤計較者莫非數也設有人言吾可用他法以代其數天誰能信之良以其乘除加減不過舉手之勞頃刻而得無有奧邃難明之理在其間本無藉乎代也惟是數理幽深最耐探索疇人演算務闡精微于是乎設題愈難布算愈繁甚至經旬累月不能畢一數且其所求之數往往雜糅隐匿于各數之内而其理亦纡遠而不易明若每事必設一題每題必立一術枝枝節節而為之術之多将不可勝紀而仍不足以窮數理之變則不如任數理之萬變而我立一通法以馭之此中法之天元西法之代數所由作也代數之術其已知未知之數皆代之以字而乘除加減各有記号以為區别可如題之曲折以相赴迨夫層累已明階級已見乃以所代之數入之而所求之數出焉故可以省算學之工而心亦較逸以其可不藉思索而得也雖然代數之術誠簡矣誠便矣試問工此術者遂能不病其繁乎則又不能也夫人之用心日進而不已苟不至昏眊迷亂必不肯中辍故始則因繁而求簡及其既簡也必更進焉而複遇其繁雖疊代數十次其能免哉由是知代數之意乃為數學中鈎深索隐之用非為淺近之算法而設也若米鹽零雜之事而概欲以代數施之未有不為市儈所笑者也至于代數天元之異同優劣讀此書者自能知之無待餘言也 論四元相消之理 湯金鑄 四元之書今所存者以元朱漢卿四元玉鑒為最古然四元實由天元所推廣而天元則宋秦道古數學九章元李鏡齋測圓海鏡益古演郭邢台授時曆艹皆着其法今并存唐王又孝通輯古算經所立諸術多與天元四元所衍得者同疑亦據此而作也考九章算術少廣章曰借一算為法步之似即立天元一所自始顧天元因借一而立然所借止于一用猶未廣故推衍為四元而四元法則悉本方程以為用也天元地元即方程[之]一色二色而今式雲式即方程之一行二行故方程多一色須多一行猶元術多一元即多一式四元之相消無異方程之互乘對減方程對減一去一色而省一行四元相消一亦去一元而省一式然則對減者方程之轉樞而相消者實四元之關鍵矣夫相消原與常法相減無異而理則有殊減則數有大小即有減餘之數而相消必兩數參差相等消後數有對者汰之無對者列為正負存之故所得必正負相當而等于無數天元四元如是方程亦如是也相消法立一元者須得相等兩如積相消遇寄左數須開平方始與又數等者即又數等于左數之平方根也故以又數自乘即與寄左數相等因自乘必無奇零開方數常不盡故以此通之也或遇左數當以某數除之始與又數等者即又數小于左數若幹倍也則以其數乘又數令大若幹倍即與左數相等因如積常不受除故以此通之也兩數既等即可消為一行得開方式若立二元者既有兩如積相消而得一式矣然式中又有兩元之和數或較數則兩元仍不可知故必更求兩如積相消而得又一式乃以此二式相消得開方式其法以所得二式左右列之以右式最左一行乘左式以左式最左一行偏乘右式則二式之最左一行必相同而相消必盡猶方程之互乘對減必減去最上一層也知其必盡故不必乘亦不必減所以省算也如是屢乘屢消以消至一行止為開方式若遇兩式中左行之數彼大于此若幹倍者可以約率求之不必互乘互乘所以齊同今此既小于彼若幹倍則依若幹倍之即與彼齊同矣遇兩式之行數不同如左式三行右式止二行者即以右式移左一行消之其能移左者如以地元一乘之也遇層數高下不同者亦然如右式有數在太上一層左式太下一層始有數可令右式降而從之或以左式升而從之其能任意升降者如以天元一除之或一乘之也若立三元則可任意升降而不可任意左右地人兩元互相牽制也必消去人元或地元乃可任移左右也立四元則牽制更多升降左右均所不能必消去天元或物元乃可升降消去人元或地元乃可左右也故三元四元之法遇行數層數不齊者必用剔消法馭之剔消之理因各式之數既正負相當則任以一數乘之或除之其相當固不變即其數任分為二各自乘相減所得仍相當不變也故三元法遇各式行數多少不齊即将少行之式直剔為二各自乘而相消則數本為元者可增而為面體及多乘方可與多行之式相消矣四元法遇各式行數層數均不齊者則直剔一式使少行增為多行又橫剔一式使少層增為多層亦可與多行多層者相消矣至舊法天物相乘地人相乘得數皆紀于夾縫中式中有此則視其由何數相乘而得者即以其數除而去之若不受除則乘他式以齊之凡此皆不外通分齊同之義而能盡相消之用者也 正負相當等于無數則任以數乘之除之或自乘開方或剔乘相消必仍相當而等于無數作者以此釋相消之理良由于四元代數貫徹純熟故能語必破的 九減法及任用他數減試說 沈善蒸 驗乘除之誤舊傳九減之外其三四六七八皆可作減試之法惟一二五不可用因乘除之誤恒差一二五等數故也梅氏算書祗有九減七減兩法因用他數減試之法均同七減故用他數之減法可不俱載焉按九減法無論驗加減乘除之誤先以法數各位相并滿九者以九減之減至不滿九而止又實數得數并減亦如之并減過之數法仍為實如驗乘法者仍相乘驗除法者仍除之驗加減者仍加減之所得之數滿九者又九減之必與減過之原得數相同是為無誤若不同必有誤矣七減法則稍異不能各位相并須從首位次第以七減之減至尾位不滿七而止減畢後乘除加減試驗之法皆與九減同試言其理夫數起于一極于九以一加九而成十以十加九十而成百所以一與十百千萬之較數為九九十九九百九十九九千九百九十九按此諸較數俱為九之倍數以九減之俱能郄盡無餘又如三與三十之較數二十七七與七十之較數六十三亦為九之倍數故無論何數退下一位或幾位即與九減幾次無異譬如八十退下一位變為八即如八十以九減八次亦為八所以九減之法十百千萬均可并入單位而他減則不能并也又準此理九減之法可以改為以并代減更為簡捷假如八百六十五萬五千七百八十四今欲以并代減将各位相并得四十三又相并得七則與九減減得之數同若論用他數減試視九減孰為難易則他減難而九減易因九減可并故也然九減法有利亦必有弊凡乘除之誤往往因加錯位次與減錯位次者居多乃九減不能驗出此等之誤因九減亦不計位次之故是以九減雖稱捷法誠不如七減之盡善也 論海洋深淺之理 沈善蒸 依重心之理而論大西洋必深于太平洋赤道以北之洋必深于赤道以南之洋何以故凡地球吸力非地心所生是地球全體各質點皆有吸力各點互吸其力必聚于公重心猶之一重物各質點皆有重率而重心必歸于一點也凡萬物之存重力皆因地球吸力所緻而重力與吸力原非二物故吸力之心即重心無疑所以地面上有物墜下必向地球之公重心而海面恒與重心至地面徑線成正交故重心即球心也又因地球以二極為軸每日東轉一周而生離心力焉故北半球之垂線俱向重心而稍偏南垂線者即懸線也南半球之垂線俱向重心而稍偏北維赤道與二極地方之垂線直向重心是以地球為微匾形矣今閱地圖北半球陸地多于南半球若使海洋深淺略同則北半球地質多于南半球重而南半球輕其公重心必偏在北半球海水亦随之而北乃北半球之低地沒為海南半球之淺海變為陸何能成現在之形狀以鄙意度之北半球之海洋應倍深于南半球之海洋故北半球洋面雖少以深補之仍不為少南半球洋面雖多以淺消之仍不為多乃兩半球之地質輕重相等而重心亦無偏北之勢庶能成現在之形狀又大西洋應深于太平洋之理亦然不知此論然否須質諸泰西測海家驗以實測方可自信如其不然必因地質有松密北半球地質多而松南半球地質少而密亦能輕重相等可使重心不偏也 質點 韓應升 歐羅巴人旋光性論雲物之微分人亦能分然不能至不可分之地蒙以為人之不能分非物之不可分以幾何之理言之物雖大合之可至無窮雖微分之可至無窮尺椎之說也而以為物有不可分之地者何也定質質點大小質點小水質點大氣質點小氣中各類應又分何類質點大何類質點小丸與黍大小懸殊也以囷盛丸以盂盛黍囷底穴則丸相聚下至盡囷而正盂底穴則黍相聚下至盡盂而止其下之形與水之下之形無以異也顧囷之穴必大于丸盂之穴必大于黍囷之穴不大于丸則丸不得下也盂之穴不大于黍則黍不得下也故丸也黍也以網盛則下以布帛盛則不下布帛以盛水則下陶為密矣以盛水久而水沁于外陶孔大水粒小也比陶為尤密矣質較疏者以盛水水無沁于外以盛油久而油沁于外孔大油粒小也水粒之大大于孔油粒之大不大于孔也據此而知凡物質之有點點之有原度不獨定質重流質亦有之則亦可推此而知不獨重流質輕流質亦有之輕流質之有質點雖無據豈遂不能更有他器可以測而知之者乎而今則未有其器可以測而知之者也 極說 韓應升 凡可論之物有有極者有無極者有兩端皆有極者有一端有極一端無極者一端有極一端無極者數也度也數始于一一數之至小也不可更減也故即以是為小極由是而遞加加之而至無窮也此小有極大無極者也度終于三百六十三百六十度之至大也不可更加也故即以是為大極由是而遞減減之而至無窮也此大有極小無極者也兩端皆有極者南北極是也幾何之理是也幾何之理始于點終于體點不可減故為小極體不可加故為大極點不但不可減亦不可加使點可加加而為線是點雖不本大而固可使大維其不可加使大故終于點終于小也故為小極也體不但不可加亦不可減使體可減減而為面是體雖不本小而固可使小惟其不可減使小故終于體終于大也故為大極也是兩端皆有極者也而幾何中線加減不離線遞減不及點遞加不及面面加減不離面遞減不及線遞加不及體體加減不離體遞減不及面遞加減不及他形也是線也面也體也小亦無極也大亦無極也是兩端皆無極者也而線以兩點為界即以兩點為極而兩端可引之至無窮是兩端皆無極者也面以心一點為心線為界體以重心一點為心面為界心為小極線為大極重心為小極面為大極也而面之心一而已其界之線遞加而無窮也遞減而無窮也體之重心一而已其界之面遞加而無窮也遞減而無窮也是又小有極大無極者也一端有極一端無極者也投物水中水之浪層層相生以至無窮投物處極也其層層相生而無窮者無極也聲亦然出聲處為極聲漸遠而漸微者無極也光亦然出光處為極光漸遠而漸暗者無極也地球之理亦如是也地球以地心為極而水附于土以共為一球氣又附于水土以共為一大球地心吸力極大以漸而減地心吸力地質點滞力用足相反也力足相敵也力相敵故相定幾何度球面距地心一裡吸力幾何則等幾何度球面距地心加一倍為距二裡其吸力必減四倍何也距地心二裡球面必四倍大于距地心一裡球面也則距地心二裡球面也則距地心二裡球面質點滞力必四倍大于距地心一裡球面質點滞力也夫地心吸力加于地質遞加遞進以至地面亦加于水遞及水面地水之上地心吸力又加風氣使地心吸力不加風氣則風氣之性既自生漲力能推諸點四面散行漸遠地心地水向心風氣離心方向相反地上氣下應生空隙今乃不然足證非是地心吸力加于地質漸減以至地面地面之上又加風氣漸遠漸減以至無窮何也地面風氣漲力有幾何重可測而知如以玻璃方器抽出風氣外面風氣擠逼立碎試問此器不用風氣用幾何力方能擠碎設雲一十六兩則風氣擠力極小當不能減于一十六兩擠力漲力名異實同非有二義地心至地面萬五千裡據上所雲其距倍是為三萬裡面大四倍力減四倍吸力漲力為成四兩使更倍是為六萬裡面大四倍力減四倍吸力漲力為成一兩其距遞加其力遞減遞加之數可至無窮遞減之數去多存少去三存一終存四一亦自無窮譬如尺椎日取其半萬世不竭使不取半日取四三萬世之後終存四一是故地心吸力最大漸遠漸減以至地面又加風氣漸遠漸減以至無窮永無盡界地心極也其漸遠漸減而無窮者無極也故風氣盡界說稱風氣愈高愈薄漲力愈小漲力能推諸點四面散行漸遠地心其方向與地心力對面此言是也至稱漲力漸小至與地心力相等風氣諸點不複推開而有盡界者其義非是也 翻譯航海通書原本 金楷理 是書所列日月行星每日躔度悉照英國都城外之觀象台地名固林為志經所定其地在赤道北緯五十一度二十八分三十八秒凡日月星從午迤西旋轉複至午為一日所曆之太陽平時日月星多寡不同在日則曰太陽日二十四時在月則曰太陰日約二十五時弱即今日過午至明日過午為一日在行星則各有行星日在恒星則有恒星日二十三時五十六分三秒半弱其命時也悉以太陽平時為宗　設太陽為不動則地軸旋轉及繞日其方向終古不變月星繞日從地心見其遲速不一成各星日也 測算有平時真時之别按鐘表時走平分即太陽之平時日晷測時不平分即太陽真時其理解見譯之航海通書 凡鐘表宜照平時開準真時由測星而得平時以意平分之謂為平時者别于真時也 平時真時之較曰時差每日午正以所差之數列如表 設于一千八百七十年正月初一日在該處測日心正交午所得之午正即為該處真時查其時差為三分五十一杪四零依号加于真時則知日交午之平時為午正三分五十一秒四零也 凡推算必先準定一處為起算之端如此表依英國為準移用他處俱照相距該處之遠近為加減相距十五度即差一點鐘設同此一時在該處為午正者其西十五度之處尚為午初同時太陽不能分居兩處之午也 行船表即度時表在彼處開準者任至某處欲知該處之時檢表即得諸實測尚須推算其時差以加減之凡算家所定之表宜各照其測處之午為準 常用以夜半子正起至明日子正為一日而中分于午為午前十二點午後十二點此書則以正午起至明日正午止曆二十四點為一日如常用在正月初二日午前七點鐘四十九分此書則為在正月初一日十九點四十九分也餘仿此 每月月終必多列一日即下月初一之數中比例之用也 每月第一頁所列諸數系日心正交該處午時之數其赤道經度自春分點記起日距赤道南北若幹度謂之緯度若幹别時求日之赤道經緯度及時差之法當以次行所記之一點較數上求之表所列之數為午正前後一點中日所移之數若算别時之較取距午正折中之處而比其較中之較視下日較數之大小以别加減乃加減于本日較數内即為所求時每點應移之數而與所求時相乘即得其午正後所移之準數以加本日午正如日之赤緯度及時差在退行時則減于本日午正即得所求之數也考其所列之每點較數乃并上下兩日之行分乃以兩日共四十八點歸之即得下日之一點較 設是年正月十六日在該處四點鐘時求日之赤道緯度則檢表内十六日午正之一點較為二十八秒七六十七日午正之一點較為二十九秒七五兩較相減得較中之較為零秒九九以二十四點歸之得每點差百分秒之四有奇乃以求午正後四點折半為二點即其中處與百分秒之四有奇相乘約得百分秒之八乃視其下日之較為漸大故加于十六日一點較數上共為二十八秒八四即所求四點時每點應移之赤道緯度乃以四點因之得一分五十五秒四查十六日正交午時在赤道南二十度五十五分０五秒視十七日緯度小于十六日則知漸減以減十六日之緯度餘為南二十度五十三分十秒即所求四點時之赤道緯度也求經度及時差之法皆仿此 日半徑每日過午所曆之恒星時因日距赤緯之南北而改變及半徑有大小别所曆之時因之不等考其測日之過午必測日之外環相切于午加此半徑所曆之時而得日中心過午之時故設此表也首頁時差表為真時改平時之用設是年正月十六日該處真時為午後三點求其平時查正月十六日時差次行一點較為千分秒之八百四十四十七日為千分秒之八百十五則十六日三點之較應為千分秒之八百四十二法見前以三點因之得二秒二六以加十六日時差十分零三秒七五共為十分零六秒二八再加三點得三點十分零六秒二八即所求之平時 四月首頁時差表有加有減十五以前為加十五以後為減中有粗畫作記每月第二頁表為該處平午正時日之赤道經緯度按此表從日之黃道經緯及黃道交角等數算出記真太陽所見處距地球赤道及真春分點之數 任于何地何時算日之赤道經緯度法　設于是年三月初一日在英國偏西九十八度之處平時為二十一點二十分求日之赤道經度按偏西九十八度應加六點三十二分為英國之三月初二日三點五十二分也查三月初二與初三兩日經度之較為三分四十三秒九五以二十四點比三分四十三秒九五若三點五十二分與三十六秒0八凡四率比例皆用以比若與四字括之以即一率比即二率若即三率與即四率下仿此以加三月初二之經度二十二點五十二分三十八秒一二共為二十二點五十三分十四秒二零即所求經度也如求緯度亦查初二與初三兩日緯度之較為二十二分五十七秒六以二十四點比二十二分五十七秒六若三點五十二分與三分四十一秒九查兩日之緯度漸減以減于初二日緯南七度九分五十三秒六得緯南七度六分十一秒七即所求之赤道緯也若更窮其細依前法求兩日之每點較數比例之則愈密也因各曜之遲速在一日之内亦非平分必以漸而改日之半徑因距地遠近而異夏至後十餘日在其至高故半徑最小冬至後十日在其至卑故半徑最大每日列表如測日之高度若測其上環必減此半徑或測其下環則加此半徑或測日月相距度乃并日月兩半徑以加減之即得其中心之距度 第二頁時差表為平時改真時之用故其加減之号與真時條下相反兩數有微差者乃時差中亦應移之數實時差行也日之赤道經緯度亦同 既有平時如号加減即得真時設于是年四月初二日在該處之平午正時欲求其真時查此日午正時差表應減三分三十七秒七零以減初二日午正即為四月初一日二十三點五十六分二十二秒三零即所求之真時也又如在該處偏東一百零五度之地四月十五日平時為十五點即十六日午前之三點鐘時此系偏東處平時求真時偏東一百零五度應減七點是為英國之四月十五日八點查十五與十六兩日時差之較為十四秒七九因一為加一為減故相并為一日較以二十四點比十四秒七九若八點與四秒九三而十六為當加之日十五為當減之日其十五日表内減餘之數隻剩零秒四六少于應減之數乃以比得之數反減零秒四六餘四秒四七其号即變為加乃加于十五點共得十五點零四秒四七為所求處之真時 恒星時者乃每日該處平午正時午在線赤道經度距春分起點之數乃日之平分赤道經度也設太陽為不動則地軸每日旋轉一周又兼繞日之行視恒星所居之原點已西移三分五十六秒半也逐日累之則成恒是時矣 是書所載恒星時乃算家常用之表以明正午測望時距分點偏西之度分秒恒星時分點其差甚微故曰真恒星時而不名平恒星時如以日有平時而欲求恒星平時即日之平經度以十五約之即為平恒星時恒星之真時與恒星平時之較十九年中止差二秒三差甚微細故不另立表也算家測各恒星經度其表已悉訂正無誤是書因之倘欲變更測凡章動之數皆須改易也 凡測量以求日之平時即以平午正之恒星時為準如用恒星時求日之平時或用日之平時求恒星時俱用五百零四至五百零七頁之等時表查之即得設于是年正月初二日二十一點九分二十四秒零四之恒星時求該處午線相當之太陽平時 法以今有恒星時内減本日午正之恒星時十八點四十七分四十一秒餘為本日午正後之恒星時二點二十一分四十三秒零四檢等時後表即得其相當之太陽平時為二點二十一分十九秒八二即所求蓋以恒星時一點比太陽平時五十九分五十秒一七零四若本日午後恒星時二點二十一分四十三秒零四與所求之太陽平時二點二十一分十九秒八二與表數合 又如正月初二日二點二十一分十九秒八二之太陽平時求該處午線相當之恒星時 法以今有太陽平時檢等時前表即得其相當之恒星時為二點二十一分四十三秒零四以加本日平午正之恒星時十八點四十七分四十一秒共為二十一點九分二十四秒零四即所求蓋以太陽平時一點比恒星時一點零九秒八五六五若今有太陽時二點二十一分十九秒八二與所求之恒星時二點二十一分四十三秒零四與表數合即加于本日午正之恒星時是也 凡測算在該處之西者其平午正之恒星時每點照加九秒八五六五在該處之東者則減亦如之 設于該處偏西九點十分六秒之地十五度為一點求正月初二日平午正之恒星時乃以一點比恒星時長于太陽平時之較九秒八五六五若偏西九點十分六秒與一分三十秒三七偏西應加以加表内是日平午正之恒星時十八點四十七分四十一秒共為十八點四十九分十一秒三七即所求 每月第三頁列太陽黃道經度從春分點起而光行有差故所記經度真數為平午正時之數 設以囷為連半徑以四百九十七秒九八與囷相乘減餘為日之經度真處因光行之差其過見處較後于真處也 太陽黃道緯度乃自太陽中心成一弧線與黃道之面交股其弧度即為太陽黃道緯度也 考日之黃道緯度根于自轉日之本體想亦橢圓二十六日自轉一周與表内交終之率恰合因此悟及也 帶半徑之對數乃平午正時地心與日心真影相距之對數即黃道之長半徑即日距地心對數 以上諸條為量日之準而行星及彗星之行度皆藉以推測其距日心之處而求地之經度須查太陽經度而訂其光行差即可測算 光行差表見二百四十二頁黃道交角等表内每十日列一數餘詳五百三十二頁内 凡于太陽黃道經度既得其光行差數并其章動數可求諸恒星之位 月半徑者乃自月心至地心一如半徑則月之半徑如正切所成之角如從地心見之也 地平視差者乃自地心至月心一如半徑則地球半徑如正切所成之角如從月心見之也 凡測見月之外環而欲求其中心可用月半胫表至于地之各緯度望月求其視差必以月在地平時最大之視差為比例蓋以地為匾球則随處可以測月即高出地平之處其差亦能算故于地面測月可改為不異地心見月耳 海上測月常用赤道地平之視差表以算高出地平之視差不必以地為匾球惟欲細推月掩及日食之數則必以地為匾球 高出地平之視差有太陰高弧視差表合地平視差與蒙氣差為一表更簡見航海簡法 設于是年二月十九日常午前六點鐘時在該處東十五度之地求月半徑及地平視差數此書從午正起午前六點尚為二月十八日十八點鐘偏東十五度應減一點鐘為該處之十七點鐘是過子正五點鐘矣欲知五點較數當視十二點之較數為比例查十八日子正月半徑表為十六分二十九秒三十九日午正為十六分二十七秒三是十二點中之較為二秒以十二點比二秒若五點與十分秒之八乃于十八日子正之數内減之餘十六分二十八秒半即為所求月半徑數次查地平視差表二月十八日子正為六十分二十四秒六十九日午正為六十分十七秒二十二點鐘之較為七秒四以十二點比七秒四若五點與三秒一亦于十八日子正之數内減之餘六十分二十一秒半即為所求地平視差數 海上尋常測月可用此法如欲細窮其數法尚未密因秒數之減率不一也惟于所指之時前後各揀出兩半徑較之則其差亦不滿十分秒之二也法如左即所謂較中之較也 此半徑數名地平半徑外尚有每高度之加數因太陽去地甚近其高度愈多半徑愈大也 月半徑　　　　　　　　較　　　　　　　　　較中之較 二月十八日午正十六分三十秒四 子正十六分二十九秒三　　　　一秒一 十九日午正十六分二十七秒三　　　　二秒零　　　　　　　十分秒之九 子正十六分二十四秒五　　　　二秒八　　　　　　　十分秒之八 加秒０一三四六七八九０　　　　　　加秒一二三四五五六 一　　　　　　　　一一一一一一一 高弧０五０五０五０五０　　　　　　高度五０五００００ 度　一一二二三三四　　　　　　　　四五五六七八九 以兩項較中之較相加共一秒七折半得百分秒之八十五為中較再以八約之得百分秒之十一則所較不過差百分秒之十一也 照此細推視差其差為十分秒之四 每月第四夏月行黃道經度緯度之數其正交分點處乃自地心推算所載表數無益航海之人黃道經度乃專為章動而設蓋月之動也遲速不一欲于子午兩正外測月之黃道經緯二度則須較其秒數甚有較之三四次始得其準者月年者乃日月合朔一周之日數也如中曆每月日數月過子午圈者乃太陰中心每日過該處上子午之平時表數僅記十分分之一不更求其細依表測月可定行船經度并以推測潮信至欲求月出月入時候亦用此表而參以半弧表表中有○此記号者乃明此日太陰不過該處子午圈也蓋月行之數較多于日太陰行一過太陽尚未及一周太陽在月行一周之中故每月有一日不過子午圈者 如正月三十日月行多于日行五十二分三即兩次月過午時之較查其上次過午時乃在正月二十九日二十三點十五分六下次過午則在正月三十一日零點七分九是知中間之一日月尚未及一周也若日月相距在半周時每月有一日不過下子午 三百九十頁至四百二十八頁記月相近之星表内亦記月在何時常僅過該處午線一次如三百九十三頁記正月三十一日月僅過下子午一次三百九十四頁記二月十五日月僅過上子午一次之類 無論何處欲求月過子午圈之平時設其地在該處之東者則以昨今過午時相較如在該處之西者則以今明過午時相較乃以二十四點比兩次過午時較若所偏經度化時與所求之較在東者應減在西者應加蓋在東者太陰必先過午也 設于是年正月二十六日午前在該處之東六十度求月過子午圈之平時按二十六日在午前者為此書之二十五日查月過該處午為十九點三十六分三與前一日過午時之較為五十二分九以二十四點比五十二分九若四點即偏東六十度所變之時與八分八于十九點三十六分三内減之偏東故減得十九點二十七分半即所求設于是日再求偏西六十度月過午之平時則将十九點三十六分三與後一日過午時之較為五十四分三以二十四點比五十四分三若四點偏西度變時與九分一乃加于十九點三十六分三得十九點四十五分四即所求 以上算法似嫌未密然尋常用之差亦無幾不必過求其細也 每月第五頁至十二頁所記每日每點太陰所行赤道緯度并緯度每十分之較數其緯數時數地平經度月出月入等項可由諸頁檢算至表列之數乃從地心推出 設于是年正月十二日午後八點四十五分在該處東六十度之地求月之赤道經度 法以偏東六十度變為四點以減與八點四十五分為該處之正月十二日四點四十五分查是日四點表數為三點二十七分二十八秒八五五點表數為三點二十九分二十九秒八零兩數相減餘二分零秒九五以六十分比二分零秒九五若四十五分與一分三十秒七一加于四點表數得三點二十八分五十九秒五六即所求 求緯度亦同此法惟有時較中之較亦不甚小故有每十分緯度之較 如前所設時求赤道緯度查是日四點緯表每十分之較為八十六秒六九五點緯表每十分之較為八十六秒一四是四點二十二分半之中即四十五分折中之處其每十分之較應為八十六秒四八即将兩較中之較用六十歸之二十二分半乘之以減于四點下十分之較即得所求理與日一點較同以十分比八十六秒四八若四十五分與六分二十九秒二查表知緯度漸加以加于四點表數緯北十三度五十三分二秒三得緯北十三度五十九分三十一秒五為所求月之赤道緯度太陰形載每月第十二頁所記朔望兩弦時僅至十分分之一月之黃道經度與日無距度為朔距日九十度為上弦一百八十度為望二百七十度為下弦所列俱為該處之平時 月過其本天最高最卑二點為離地最遠最近所由分其所列表數亦為該處之平時 每月第十三頁至十九頁為月中心與日心及行星恒星之斜距度乃從地心推算逐日照該處平午正時起每越三列一數凡既測見月距星之斜距度則當依表加其視差而減其蒙氣差蓋推算之表數乃月與星之實相距度測得者為月與星之視相距度在月要推月之視差用太陰高弧視差表止能改月之視高為實高其斜距弧上實距與視距之較須再用三角形算蓋高弧視差即如高下差再推東西南北差也可以憑月心與何星之實相距度依下法推其為該處之何平時諸星自西徂東表以距月最西起列至最東為序西則在月之西東則在月之東 諸星距月度數每三點有較即列其比例對數用以較定度數而得該處平時法詳後 任于何日何時測得月與星斜距度按前法改為實距度乃查此表是日月與其星相距度與所測略近者取其前一數相距度與所測度相較餘求比例對數見航海表内減前一數之傍所列之比例對數餘檢比例對數表所對之時分秒加于前一數之時即得該處之平時比例對數表至三小時其數為[0]故省一三小時乘之也按此一比例不用對數算之亦易以表中前後兩距度化秒比曆時三點鐘若所出距度減前一數距度之較不足減反減之與所求之曆時恒加于前一數之時是也 加月星相距度數與前後比例對數之較其加減同率則照前法自無謬誤若其加減異率者欲求該處之時另應查一準數法詳下 一　如前法求　二　查表内某度前相近一數或後相近一數得兩項比例對數相減而得其較　三　于第四百九十八頁準數表内傍行查時即先依前法比出其零時分乃以所得零時檢此表而以比例對數之較于表上橫行查對檢其與零時分縱橫相遇之秒數即為所求之準數也　四　視比例對數漸減則加此準數若漸加則減此準數加減于先得之零時分可得該處之平時設于是年正月初十日測得月實距飛馬甲西名星四十四度十九分五十秒求該處平時查初十日該星表所測相距度在三點六點之間則三點為相近前一數算如下 三點月與星相距四十三度四十五分二十九秒其比例對數三千九百十九 今測月星相距四十四度十九分五十秒 兩距度之較為三十四分二十一秒　　　　　比例對數七千一百九十四 比例對數表所對之時為一點二十四分四十一秒　　　　　　減餘三千二百七十五 查三點與六點之表知前後比例對數之較為四十九再查第四百九十八頁準數表内一點二十分與所算之時為最近而以四十九即用四十八亦可行下查其縱橫相遇之準數為十五秒因其比例對數由漸而減故加于算出之時上為三點以後之零時故求得該處平時為正月初十日四點二十四分五十六秒也如不算準數即差經度三分四十五秒準數之表僅列至一百三十八凡遇比例對數之較有大于此者可折半以檢表查得準數後倍之理亦同設于是年五月二十一日測得月距飛馬甲星除去視差蒙氣差外實距為三十度零八分零二秒求該處平時 查二十一日該星表數所測相距度在十八點與二十一點之間則十八點為相近前一數算如下 十八點月相距為三十度三十六分三十一秒　　　　比例對數五千一百五十 今測距度為三十度零八分零二秒 兩距度之較為二十八分二十九秒　　　　　　　　比例對數八千零零七 檢表之時為一點三十三分十四秒 查十八點與二十一點之表其比例對數之較為二百五十二此數大于一百三十八故半之為一百二十六再查四百九十八頁準數表傍行内與所算零時分相近者為一點三十分次查上面比例對數之較第一百二十六之行與傍行時分縱橫相遇之準數為三十九秒倍之因較數以折半檢表故得數倍之為七十八秒因比例對數由漸而加故于所算之時分内減之即為十八點以後之零時分故求得該處平時為五月二十一日十九點鐘三十一分五十六秒也若不算準數即差經度十九分半然差多至此亦罕有也星之比例較數愈小則測之愈易緣月之向星或離星所行加速所測倍準且當比例對數漸減必其本數加大故對數漸減知月行漸遠而測之較便矣如是年正月二十日午正至三點鐘時土星最易測查是日之比例對數僅二千二百七十數較少于他星故土星表自二十起至二十六日止均易測算也又如是年七月十六日九點至十二點内以比例對數言之其易測者序如下 第一土星　　　　第二畢宿大星　　　　第三木星　　　　第四婁三　　　　第五火星 第六太陽　　　　第七金星　　　　　　第八河鼓二 以上諸星測不易準如欲驗其準否須測數星而比較之視其比例對數之小者庶可無差按各條用法皆測得星月相距以推該處之平時其用比例對數之較求準數一表乃巧而捷因月行斜距線遲疾漸改不可以平行馭故再求準數加減之所以齊其不齊也 每月第十九頁乃算家愛裡氏所定恒星準數乃用下頁甲乙等号對數及該處十二年星部算出西國算家以此法精于白水而氏故恒用之以其不用加減之号法省且便也列如表 下頁亦兼列白水而氏法各有其妙設于是年二月初五日在該處平子正時求某恒星距赤道經度及距北極度并歲差光行差章動準數等數分點過午之平時者乃春分起度之點每日過該處午線時之恒星時即恒星時當午正中時分點距午之時數故是表謂之恒星子午正中時凡已知恒星時而欲求太陽平時可用第五百零六七頁之等時表算之每月第二十頁乃白水而氏恒星準數表是表明恒星真處及其中處有方程式或用乘數不依恒星之處為衆星公共之數蓋惟憑日月黃道經度并月之交點也表内對數為公共對數算家用之随算一星可合方向照三百二十九頁之表已經于該處平子正時算合惟丙丁二号内除二式 是表與英會星曆合算可得彼曆所記恒星之處凡星曆内未及之星應先算其與他星相合對數而後用甲乙丙丁号内之數或即照第三百三十頁及三百三十一頁列之表推算亦可因是表不論何星皆合也其數系從三百二十九頁方程式算出列譬于左申明二表之法用星曆者其勿忘恒星赤道經度準數之号耳 設于是年二月初五日平子正時在該處求其星赤道經緯二度歲差光行差及章動之準數此星即英會星曆第一千六百八十七号之星 天ㄙ為經度準數　　黃ㄙ為緯度準數 舊曆日數表　是表乃英星士黑失而氏添入謂有此表可省天算家查數之煩分日平時者謂自春分後所過平時也以平午正時為則而記其日之分數是年正月初一日至三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一為一千八百六十九年之春分後自二十一日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一以後乃為本年春分年之始時因春分年為三百六十五平日又百萬分平日之二十四萬二千二百十六是年三月二十二日平午正相合春分時為三百六十五日又百萬分日之二萬七千四百六十五可知是年三月二十二日又百萬分日之二十一萬四千七百五十一乃春分年新舊之交也日分者乃春分年日之共分如是年正月十九日平午正時為三百零三日又百萬分日之二萬七千四百六十五以此例推直至三月二十二日春分年終乃改共分為百萬分日之二十一萬四千七百五十一是年三月二十三日平午正時為百萬分日之七十八萬五千二百四十九此共分數應加于每日春分時至明年而止 凡日到平春分時設在某處午在線此處午線之平太陽時适與春分時相合周而複始至明歲春分年終日已過某處午三百六十五次又二四二二一六則春分起點又應在他處午上矣是知春分之末每年必移二四二二一六即向西五點四十八分四十七秒四六是年與明年之間春分東過經度百萬分日之七十八萬五千二百四十九即該處西五點九分十四秒四八也 一千八百二十八年行海通書始附列此表蓋天下各處儀象台之子午遠近不一概以春分時則随處皆可得一同數之日而與日行遲速亦無異同故曆家觀象論時不必更詳何處之時如是年正月初五日彗星過最卑之點在英國平時為五點四十七分在潑立司法都平時為五點五十六分二十秒六而以春分時核之則俱為一千八百六十九年二百八十九日六點二十六分三十二秒九八蓋以兩地測之則有遠近不同之數而春分年乃天下共公之時也 凡已得太陽平時而求相合之春分時如于該處相合之平時内加此日該處平午正之春分時其總數即所求時如前彗星之譬潑立司在該處之東九分二十秒六于五點五十六分二十秒六内減去九分二十秒六為五點四十七分與該處平時相合以加該處正月初五日春分平午正時二百八十九日又百萬分日之二萬七千四百六十五約其分數即三十九分三十二秒九八故當日彗星過最卑點時為二百八十九日六點二十六分三十二秒九八即一千八百六十九年春分後之日時也 一千八百二十八年行海通書附用迪白而氏平黃道經度以定春分時所定之時每年長短一例俱系三百六十五平太陽日又二四二二六四以後推算太陽縱使加精此數亦無可更改嗣于一千八百三十四年至一千八百五十六年其行海通書則改用白水而氏平黃道經度以定春分時其時則每年長短不一英星士黑失而氏謂一千八百二十七八年至一千八百三十三四年間應将白迪二家之表不同之數較正自一千八百五十六年以後春分年應永定為三百六十五平太陽日二四二二一六若一千八百三十四至一千八百五十六年之春分年長短其差甚微可以不計蓋其差之最大者亦不過萬分日之二也 一千八百二十八年起至一千八百三十三四年止較正白迪二家表數如下 論年之日數　表列統年日數自正月一日平午正起故正月一日為零而以初二平午正為滿一日 論年之分數　此分數乃以萬分為一年而用三百六十五日又千分日之二百四十二分之逐日登記其數計日加二十七分半以便天算家也 第二百四十二頁列黃道與赤道相交之角每十日記其數記至明年正月六日止故于十二月則多六日為三十七日此角度數常改因有中減率并地軸施動也凡知星距此一面或黃道或赤道若幹數即可依表算得彼面之數如從黃道經緯度數可得赤道經緯度或從赤道經緯度算可得黃道經緯度是也設值表上未列之日而欲求是日之交角數則以前後所記二數求每日比例較分即中比例但其較甚微故平常測量止取表内相近之數用之 日之地平視差乃日心至地心為一直地之橫半徑上再出一斜射日心成一最大角形如從日心見之也是表亦十日一記地心距日心愈遠此角愈小視差之用乃人在地面測日可改到地心推算也 光行差光常流行地又常依軌道行故所見日廣非其真處真處較在見處之前是以有差所差之數表内亦十日一記凡已知日見之黃道經度而求其真處依表加此光行差即得如從地心推算一星之處而求日之真黃道經度亦加此光行差設是年四月十一日平午正時所列日見黃道經度為二十一度二十三分十一秒二加光行差二十秒四得二十一度二十三分三十一秒六即真黃道經度 歲差　春分點在赤道上所退之數即恒星東移之數十日一記用以正平春分之經度如是年四月十一日真春分之日見黃道經度為二十一度二十三分十二秒二光行差為此号為減二十秒四春分差為十六秒八反用&perp此别為加法加此二數得二十一度二十三分四十八秒四為四月十一日平春分日之真黃道經度相合之歲差十三秒八為二十一度二十三分三十四秒六為四月十一日之日真黃道經度但此數系以是年正月一日平春分算起者 春分差凡日月星所列黃赤諸表俱系平春分算定但平春分算定真春分點不符故有春分差所差之數十日一記于平春分之黃道經度内減此差數即得真春分之黃道經度 若所指一星黃道經度據真春分言則将此差數反用之即得平春分之黃道經度設是年四月十一日真春分所合太陽黃道經度為二十一度二十三分十一秒二相合之春分差為丁十六秒八反用&perp法得二十一度二十三分二十八秒即為此日平春分之太陽黃道經度 赤道經度之春分差亦照此法推算即得與黃道相交然其度分須燮點算變時表恒星等時亦同此 月正交點之平黃道經度０六十日一記以平春分算如值表内未列之零日可用表末在表之下每日計三分一八每日退行數算之如欲約算月将平掩何星亦須此表也 第二百四十三頁至二百五十頁日之縱橫線每日列該處平午正時日心與地心之縱橫用□天□地□人号記之○天為每日過真春分○地為赤道面向夏至之○人為赤道面交股向北之　算家以彗星難推故别列此表變真春分○天○地○人縱橫而用是年正月一日之平春分縱橫 第二百五十一頁至三百頁乃諸大行星之表以水金火木土及天王海王分列七表其赤道經緯度皆依該處每日平午正時從地心推算列表謂星之中心如從地心見之惟天王海王二星每隔四日列表　又各行星之黃道經緯度皆從日心推算謂星之中心如從日心望見之以平春分記之其地心之赤道經緯度有光行差故所記為其見處凡求緯度時羅[盤](盛)偏東偏西即可測望金火木土四星而得之蓋能見太陽時亦能見此諸星也　内金木二星尤易測量 行星過該處午之平時亦可藉此以推過他處午之平時然亦有一日内不過該處午者因行星日較長于平太陽日也行星如月亦有不過午之日表以○(＊)為記查是年四月十二日水星不過該處午是日水星日之始早于太陽日二分九在十二日午正之前而其終則遲于太陽日十分分之八在十三日午正以後故太陽一周日間此星不及過午也若如中法子正起算水星無日不過子午者 亦有一日過午二次者則以行星日較短于太陽日也蓋行星日之始在太陽日之後而其終則在太陽日之前故太陽一周日間行星必過午兩次矣表亦記之但與月有異因太陰日恒長于太陽日行星有退行時短于太陽日者如是年六月初四日水星過該處午在午正後一分再于是日之二十三點五十四分九即初五午前也複道午也 求行星過别處午之平時　查前後兩日過午之較為行星二十四點中之加速率或減速率既得此率再以距英國經度而比其較此較數謂之正數或加或減于行星過英國午時之上但布算者宜詳細審察如測處在英國之東則所有加速率乃行星過測處午早于英國若所有減速率乃行星過測處午遲于英國在英國之西者反是 設于是年二月初四日午後六點鐘測處平時在英國偏西三十度之處求水星赤道經緯度并水星過測處午遲之平時法偏西三十度應加六點鐘為英國之二月初四日八點鐘以算赤道經度查二月初四日水星赤道經度為二十點五十五分三十五秒九五二月初五日為二十點五十分五十三秒八一兩數之較為四分四十二秒一四以二十四點比四分四十二秒一四若八點與一分三十四秒零五查表經度漸減以減于初四日經度餘為二十點五十四分零一秒九零即為所求水星赤道經度也然其每點之減率不同須再算較中之較法見日減之得二十點五十四分零秒五八為所求赤道經度 再求赤道緯度　查二月初四日為南十三度三十三分二秒九二月初五日為南十三度五十一分二十五秒九兩數之較為十八分二十三秒以二十四點比十八分二十三秒若八點與六分七秒七加于初四日之緯度得緯南十三度三十九秒十秒六即所求赤道緯度再推較中之較應減七秒九法見日 求水星過測度午之平時　查二月初四水星過英國午為二十三點四十九分二二月初五為二十三點四十分九其較為八分三以二十四點比八分三若二點偏西三十度所化之時與十分分之七測處在英國之西且又減速率應減于初四之過午時為二月初四日二十三點四十八分五即得測處水星過午之平時尋常測算不必求精用此法則無大差第三百零一二頁乃水金木火土天王六行星之赤道地平視差及半徑越五日一記下載水土二星乘數為算極半徑之用木土二星極半徑等于赤道半徑乘千分之九百二十七 第三百零三至三百二十四頁記五星及天王海王過該處午時之赤道經緯度及每點較數每間日一記用以較算過别處午之赤道經緯度應推其相距英國之數用每點較數求之如所設經度在其東則取本日表數與前二日之表數核其較如所設經度在其西則與後二日之表數核其較以兩項每點較數相減得其較中之較以兩日共四十八點歸之乃以兩處相距之經度變時折半取其中數乘之視下一數每點較數比本日較數大小以别加減乃加減于本日每點較數為所求時每點較數之準數複以兩處相距度變時乘之即得裡差應移之赤經度理與日每點較數法同乃視下一日赤經度之進退以别加減加減于本日經度得測處之赤經度求緯度法仿此 設是年三月初二日在英國東六十度之地求過午之赤道經緯度　查三百零四頁内是日水星過英國午時其赤道經度為二十一點十三分四十二秒二五每點經度之較為&perp此代數記号西表作一譯改作&perp十一秒五七用上法推得四點相距六十度變時時之每點較數為十一秒五四與減西作十譯改作四點相乘得四十六秒一六以減于是日英國過午之赤道經度此逆推而上之法理亦同得二十一點十二分五十六秒零九為水星過測處午時之赤道經度也　再查是日水星緯度表為南表以南為數十六度四十七分三十七秒三每點較數為&perp二十八秒五如上法推得準數為&perp二十八秒二與四點相乘得一分五十二秒八以加是日緯南度得緯南十六度四十九分三十秒一即水星過測處午時之赤道緯度也再設在三月初一日算其經度準數應為&perp十一秒一八緯度準數應為&perp二十四秒七也 凡測度行星之環而欲推算其至中心之數可用半徑過午之恒星時表若推算其緯數則用半徑表地平視差表用以便觀象者改到地心推算也 第三百二十五至三百八十九頁記一百四十七恒星之赤道平經緯度以是年正月一日午正後千分日之四十八為起算之端并記其歲差　其赤緯南北各有記号惟以北緯為&perp凡緯北可依号加減南緯為在緯南者須反用其号 設于是年五月三十一日求畢宿大星之平赤道經度查經度歲差為&perp三秒又萬分秒之四千三百五十三再查五月第二十頁末行萬分年之分數表内其三十一日相合分數為四千一百零七依原表加萬分之二十六得萬分之四千一百三十三此數與三秒四三五三相乘得一秒四二此即正月一日又千分日之四十八以後至五月三十一日歲差之分例比數也既有&perp号應加于正月一日又千分日之四十八時候所記赤道平經度四點二十八分二十七秒七八二上共得四點二十八分二十九秒二零二是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平經度又查赤道緯度歲差為上七秒六二二如前法與萬分年之四千一百三十二相乘得三秒一五既為北緯度則依号加于正月一日又千分日之四十八時候所記之赤道平緯度北十六度十四分四十四秒一四内共得北十六度十四分四十七秒二九是為五月三十一日所求畢宿大星之赤道平緯度 又如是年六月初三日求帝星之赤道平經緯度查經度歲差為萬分秒之二千四百八十九再查六月第二十頁是日年之分數為萬分之四千一百八十九依原奏加萬分之二十六得萬分之四千二百十五此數與歲差相乘得千分秒之一百零五依号減于正月一日又千分日之四十八時候平赤道經度十四點五十一分六秒八五七減餘為十四點五十一分六秒七五二是為六月初三日所求帝星之平赤道經度 又查赤道緯度歲差為十四秒七五七與年之分數四千二百十五相乘得六秒二二依号減于正月一日又千分日之四十八時候平赤道緯度北七十四度四十一分十一秒二四減餘為北七十四度四十一分五秒０二是為六月初三日所求帝星之平赤道緯度 又如是年五月三十一日求心宿中心平赤道緯度查其歲差為減八秒三八七與是日年之分數為萬分之四千一百三十三見前相乘得三秒四七因為緯南度故歲差之号應反用遂加于所記正月一日又千分日之四十八時候該星緯南二十六度八分二十七秒六二共得緯南二十六度八分三十一秒０九是為五月三十一日所求心宿中星之平赤道緯度 每月第二十頁所載白水而氏之推方表已設譬于三百二十九頁此三百三十頁及三百三十一頁所用英會星部恒數定星表亦于五百二十九頁内詳其法勾陳第一星及第三星并逐日列表其餘一百四十五恒星皆越十日列一數所列之數皆以是日恒星過該處午時之經緯度表之上面所列赤道經度之點分數與緯度之度分數因一歲之中恒星赤道經度出入之數隻争在秒故其大數總計于上端止以秒數小餘記其下故其秒數即有過于六十外者亦不便收分仍以秒計如三百四十六頁是年十二月十七日屏星第二所見之赤道經度為四點五十九分六十秒四二其實則為五點０秒四二也　又如三百四十八頁是年十二月十七日廁星第一所見赤道緯度為南十七度五十四分六十二秒七其實則為南十七度五十五分二秒七也其不可移換大數者限于幅耳 每十日并列其經緯較數便求零日用中比例也 恒星亦有一日過該處午兩次倘遇其日亦即記其經緯度兩次如三百五十四頁七月三十日記柳宿第五星過午兩次者凡遇恒星過午兩次之日若非表列之日即于經度上下十日之中間别列小字指出十日内之何日此星過該處午兩次則太陽日十日内其星既過午十一次則其所記之較數亦應作十一分比例如三百四十八頁參宿第二星表内六月初十日與二十日之間傍注小字為十三以明六月十三日此星過午兩次也查表傍較數為０秒一二作十一日分之每日應為千分秒之十一其十三日之第一次過午為十日内第三次應用三因千分秒之十一而得其較十三日之第二次過午為十日内第四次應用四因千秒之十一而得其較其十四日之過午為十日内第五次也雖差數止微其理固如是也 如欲細算五極星所見位數須尋一準數此準數當以代數∥０求之 是表記星所見之位不算準數者緣星之００變率每日約二十六度所變甚大故不記也惟三百八十八九兩頁于月之黃道經度則每度記之表末申明其法正每日光行差之方程式記在序内 第三百九十頁至四百二十八頁乃近月之星謂其赤道經緯度距月不遠凡欲算地上東西二午之較即較所測見之星與月相距赤道經度而得之蓋月如不動則星與月赤道經度之較無論何處午皆可一例相同惟月常行動則過二處(之千)之午已自改其赤道經度所改度數加于二處之午較數内即知西邊午應移若幹度而月始至故知月赤道經度之較亦可算東西二午之較月明環之赤經度與月中心之赤經度在過該處之上下午時表列其數均有其天下字作記号甲乙二字記月之左右二環 星之等數表即記星之大小表之左行記其日數及十分日之幾 每隔一點即十五度月改赤道經度表即月過該處午時之每點較數也　如月自英東七度半至英西七度半兩處之較為一點此一點所移之數即從月之明環赤經度推測故其半徑亦常改也 凡東西二午之較不大謂在一二度之間可用近月之星算之若較數甚大謂相距十度以上而欲詳算其經度應以東什西二午之中間午為準求得月所移赤道經度之數而推得之　如欲約算月之明環過他處子午之赤經度用此測之　法以英國午與赤處午經度之較與月所移經度相乘得數視測處午距英國之東西以别和減在東者減在西者加乃加減于表内赤經度即為測處子午上月明環經度 設于是年六月十八日月過英國上午時其乙明環赤經度為二十二點四十七分四十七秒二四其每點較數為一百二十四秒五　而求乙環過潑立司法都上午之赤經度　查潑立司偏東九分二十秒六化為千分點之一百五十六與每點較數相乘得十九秒四二以減偏東故減表内赤經度餘二十二點四十七分二十七秒八二是為乙明環過潑立司午之赤經度 凡他處距英國不甚遠者其月之赤緯度亦可如法約算惟地偏于東及緯度在南者皆為負數即以前譬明之　是日月過英國上午為南十二度三分四十一秒八每點較數為除&perp六百二十三秒一此數與千分點之一百五十六相乘得一分三十七秒三此負數與緯南度相加月之緯南漸減因偏東故反減得緯南十二度五分十九秒一是為月過潑立司午時之赤緯度 星名表側有米号者指此星不論在赤道南北俱可與月同時測算并以定月之視差也 月半徑過午所曆之恒星時　此數因月距赤緯之南北而改變時時不等凡測見月之外環相切于午之時而加此數即改為中心過午之時 第四百二十九頁至四百四十三頁記日月交食在何地何時可以望見并記其算出之諸根數 第四百四十四頁至四百五十四頁記星之交食其數有五　其一記一等至六等之恒星于該處平子正時為月所掩在該處能測見者　其二記恒星或行星自一等至五等不論何處見其為月所掩者　其三記星與月應于該處何平時同一赤經度　其四記月與星合一經度時其緯度有何較數　其五記在何緯度外月不掩星 凡算月掩何星可用諸表表内所記星月之數皆從地心推算故地上不等何處皆可通用惟算須距其英國若幹經度變時以加減之在東者加在西者減即得月星相合時之測度平時 設于是年八月初四日月抵氐宿第三星在英國平時為十六點二十九分五十七秒而在潑立司平時為十六點三十九分十七秒六因潑立司在英國東九分二十秒六故也 緯限者謂自地上某度起至某度止得見月掩何星外此不見其掩是為緯度之限也 設有人自星望地而月界其中則地面幾分為月所掩而月自西至東移過時地面成一帶形闊與月徑相等若反言之則人在地面于帶形中望月則星為月掩在帶之上下兩限但見月與星相切而不相掩是為緯度限在其上者為上限在其下者為下限 緯限表以明星在何度應為月掩外此不必布算也 如英國在赤道北五十一度二十八分三十八秒即北極高出地平度設于是年八月内查四百五十一頁表自十六日起查末行緯限表至十七日掩&alpha星隻指一希臘字星名&alpha希臘字在赤道北二十六度之處起至九十度之間皆可見惟被掩之時在三點十一分四十四秒是在午後日光所逼仍不能見惟是日之十二點四分二十一秒月又掩０星在赤道北十四度至九十度之間八月十九日十四點一分十七秒月掩畢宿第五在赤道南四度之處起至赤道北六十八度之間又是日十四點三十五分三十八秒月又掩是星在赤道北六度之處起至八十五度查四百五十六頁表知已上三星之所掩其二在英國能見其一不能見也 第四百五十五六頁之表乃恒星與行星在該處地平上為月所掩記其不見至再見之恒星時及平時并記星于月環内始隐于某度複見于某度若以翻影鏡測之凡穿過月之北極與中心成一大圈與月環成一交點方近月環之星距交點若幹度當從角之北點數之穿過月之天頂與其中心成一大圈亦與月環成一交點方過月環之星距交點若幹度則從角之頂點數之用此角并可測量小星且當星之隐而複見時亦須先知此角不然難定鏡之方向表内月掩幾星時有在該處不得見者然離該處不遠即能見也 第四百五十七頁至四百七十六頁是表所記木星之月或食或掩或月過或影過等數皆準該處之平時并圖形以明其隐顯之處如自翻影鏡視之圖内之形雖舉望日之數然木星離地甚遠目力不及故其體與影一月内更變甚微除與日對峙時形狀有異外餘則通月皆然試以兩月圖形較之便可曉然當木星距該處地平上八度日在地平下八度時其月之食有此米為号明該處可以測望至木星在地平上日在地平下時有此十為記則亦能望見也 ○甲者指月木星月被星影所掩方隐之際也□乙者指月離星影再顯之時也此乃月距木星略遠則然若日星對峙時則月之食也近星之體日星對峙以前月之隐見在木星之西日星對峙以後月之隐見在木星之東用翻影鏡視之則東西相反日星對峙以前僅見第一月之隐對峙以後方見其顯至第二月被星影所掩時其隐見鮮能并見第三第四月或可并見雲 凡在别處求木星某月隐見之時即以測處經度在英國之東西推算在東加經度之較變時在西減經度之較即為所求時然亦須查木星之地平上下與日在地平上下如日在地平上光耀難見算之者應以半弧表自東至西日出入半弧也助以半天球始可定日星距地平之方向 測得木星月之食可定地上經度第一月最易測惟須詳悉測量之的确時刻此時與英國時之較即為經度之較化度測處之時早與英國為在其西遲于英國為在其東 設于是年七月二十四日在潑立司法都測得木星第一月之隐見時為十四點三分二十四秒九乃查第四百六十六頁表内英國平時為十三點五十四分四秒三其較為九分二十秒六即兩處相距之經度因所測之時遲于英國故知其在東也 凡測星月之掩木星與其月除表有差數外尚有别樣難處不能詳定地之經度且遠鏡測量各不同若欲詳算經度須用相類之鏡并算其地面蒙氣視差若不必詳算則以測見木星為某月所掩約計地上經度如某月之隐見俱能測得則更妙矣 表内約計月食月過之過所以便天算家預備測量推驗此表之差否因測此二事須用最妙之鏡而海上尤不易測也 入出二字記月初遇木星環面為入初離木星環面為出 第四百七十七頁至四百八十七頁　木星兩月毘連表内用數記之以代尋常之０号而不記其黃道緯度在上者記于上在下者記于下表右為東表左為西如見木星之月自西向東移動時則知木星在月與地之間而月行于後半軌道故有食有掩若見月自東向西移動時則知月在木星與地之間而月行于前半軌道故有月過與影過 設于是年正月二十七日在英國八點鐘時平時用翻影鏡測望木星月如圖其第一第二兩月實在木星之左從翻影鏡相之則在右第三第四兩月寔在右而反左　表首西東二字乃月實在木星之東西方向也木星常在該處天頂之南圖左之月應見于木星之西圖右之月應見于木星之東月之倒影故遂反其方向也乃自木星中心起一直遠近相等而左右互易以此驗圖可得月之真向 表内時分皆指該處平時觀表與圖可以辨木星之諸月而亦以别他星之近木星者 第四百八十八頁至四百九十頁　行星與月或與他行星合一赤經度及行星與恒星或合經度或合緯度皆每月一格記其日時行星當此時候最易測望又以便天算家考驗表之然否 第四百九十一頁　土星光環之位表中越二十日一記以明其能見與否０為光環之短軸距何赤緯度甲∣乙∣甲∥乙∥為光環所見大小之數醜醜∣之比以定能見與否蓋太陽與地同在一邊高過環面時其環自能測見若不能見之時則其故有三　一則環面平過日心則醜∣與０等 二則環面平過地心即醜與０等皆不能見　三則日在環之面而地又在一面亦不能見因環上無經光之面向地耳第四百九十二三頁記月之明環約于何平時側動最大并記火星金星之環在何月中光顯幾分至月之緯度側動之數則不論何時皆可照四百九十三頁計之 第四百九十四頁至四百九十七頁　系該處潮汐與中國無涉故不譯 第四百九十八頁之準數表　凡測見距星之度數業将蒙氣視差等推準可求秒數相較即比例對數之較于表内查一準數以加減之即可得該處相合之時其算之法見後五百二十五六頁内 第四百九十九頁至五百頁　表内之數算月之側動 第五百０一頁至五百０三頁　為測勾陳大星若不在午線時可用此表能算地上緯度法如左 先将儀差及蒙氣推準減于星之高點再照五百０四頁改測望之太陽平時為恒星時于此表内查得相合之第一準數為&perp按号加減于測見之高度得所求緯度之約數複以所算恒星時查第二第三表得相合之第二準數加此二準數于上約數内即得真緯度 航海通書改率說 是集從英國行海通書譯出考西人之航海來遊寔以此書為鄉導蓋海舶既駛遠洋茫無畔岸可紀羅盤祗可辨方向不能測其現行何地惟藉天度可認地球之經緯數理精蘊天上一度相當地面二百裡至三十六萬尺以天度之一秒當地面一百尺此論南北緯度則然若東西偏度不正當赤道下每度皆不滿大圈之裡數須依弧三角法算之晝則量日夜測月星輔以算術道裡之距了如指掌是以無遠弗屆故吾中國航海亦以翻譯此書為首務特延西士層解條分闡明理數撮要删繁譯成是集以引誘來學凡吾同志鹹宜家置一集朝夕講求引伸類長制備儀象随時測量并可驗其算法之疏密然否實為推步家特開門徑學者必由是而學焉則庶乎其不差矣 改率 考行海通書原依英都觀象台之中線立算諸星行度表悉照該處平午正時解見時差從地心起數其天周以春分起步與中國不同今譯改時遵　京都順天府為中線諸星皆從子正起天周以冬至起步中西同用平時共宗地心立算三百六十度為一周天中法又分為十二宮以冬至醜宮初度起逆行十二支每宮三十度每度六十分每分六十秒又一日二十四時此書從西例以一點鐘為一時便布算也故凡言一時皆一小時也每時六十分忡法又以十五分為一刻一時為四刻因多增位數不便布算姑從西例不命刻每分六十秒秒下小餘則随秒不以六十遞析 據西士實測得東西經線相距一百十六度二十七分變時見變時表為七點四十五分四十八秒蓋英國午正已為順天七點四十五分四十八秒也故用原書之本日午正星度再加四點十四分十二秒之星行度即滿半日十二時之數倘星之經緯有退行者則減即得明日順天之子正度也 中比例算法 星者算法也用星必先明算一二三四之四率比例為西算之大宗其法以已知推未知故以原有之數為一率二率今有之數為三率恒以二率與三率相乘數為實以一率為法歸除之得所求之四率數也 時差 推算所得曰平時通書表數俱按平時算定如鐘表之走平分時也中國又名實時日晷所測曰真時中國又名用時蓋時刻并宗赤道原系平分黃道與赤道斜交在赤道則度有闊狹日行黃道又有冬盈夏縮之異緣此兩端故生時差即平時真時與之較也兩數相減曰較其數列如表加減于平時即得真時也 鐘表宜開平時說 西書雲一晝夜地球自轉一周則宗北極一歲中地球繞日一周則宗黃極兩極相距二十三度二十七分西率尚有二十餘秒零數且每年有行分如歲差然蓋日晷測時皆依繞日之軌而出故與赤道自轉之率有異細數之且逐日不同用度時表候之表之極準者行船用以較偏度故又名行船表二十四時中即一晝夜甚有差至半分者故設時差加減也 然則鐘表但能走平分與赤道同率如太陽之盈縮黃赤道之升度差不與焉故必開準平時按号加減時差以求合于日晷測量之要事也 如先測得日晷午正求鐘表平時則将時差号反用加者減之減者加之以加減十二點即得平時 逐日測北極高度不拘何時 法候日晷将交午正之前後凡日晷至午可不問地之經緯何度節氣早晚器之密鹹可一概施之惟羅盤(正)指南钺與日影有偏向且随地不同中國恒偏于日影之東故測太陽高度宜過晷數分候之用紀限儀屢測太陽高度取其最高之度為本日午正太陽高度内減蒙氣差加地半徑差則改視高為寔高随查通書内本日太陽赤道緯度表數俱子正起求午正用中比例南加北減于太陽實高度得赤道距地平度亦即北極距天頂度再與一象限九十度相減得測處北極出地度　若測恒星高度赤緯加減與太陽同法