卷九十六 格物部二 算學
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之和必與長徑等也命橢圓之長徑為橫軸短徑為縱軸則任于圓周作縱為股所截長半徑之橫為句股羃乘長半徑羃與句羃乘短半徑羃之和恒與兩半徑羃相乘之數等其過心之倍股即長軸之通徑以長徑為連比例之首率短徑為中率則通徑為末率也股羃與所分長徑二分相乘之羃若短徑羃與長徑羃于長徑上作平圓則同句之平圓股若長徑與短徑矣任于圓周出二斜抵橫軸之兩端為正餘二通弦則二通弦對角正切相乘之羃即長徑羃約短徑羃之數自圓周作二斜與二通弦平行則橢圓切也引橫軸與切相交成句股形切為弦縱為股則其句為次切法以橫羃與長半徑羃相減為實橫為法實如法而一即次切也自切點作抵橫軸與切成直角是名法法為弦縱為股則其句為次法法以短半徑羃乘橫為實長半徑羃為法實如法而一即次法也橢圓法平分切點距二心之交角故切與距二心之交角亦相等矣二切既與二通弦平行則自二屬點過中點之斜徑亦與二通弦平行命之曰相切徑任于圓周作縱與一半徑平行截其又一半徑為橫與橫軸上之句股比例并同故相屬徑之二羃和與長短徑之二羃和恒相等也徑端距二心相乘之羃與半徑羃等相屬徑四端之四切成平行四邊形亦與長短二徑相乘之羃等若以二徑之平圓面積為首末率而求其中率即橢圓面積也
凡圓錐體依一邊之勢自對邊斜剖之至底成單曲形以此形橫置之作過心橫軸引長至頂點外如頂點距心度乃作垂與軸成直角即準也任于曲上作橫直交于準必與距心等任于曲上作縱為股截軸之橫為句以句為連比例之首率股為中率則通徑為末率通徑者過心之倍股也折取其半即心距準之度矣自縱上端作斜為曲之切引橫軸與之相交亦與次切成句股形又作法直交于切亦與次法成句股形單曲之次切倍于橫而次法恒為通徑之半以縱約次法或以次切約縱皆切與軸交角之正切也切點距心交法之角恒等于法交軸之角故法之兩端其距心亦相等切點距心交切之角恒等于切交軸之角故切之兩端其距心亦相等自心作斜直交于切即切點頂點兩距心之中率矣任作通弦與切平行又自切點作橫徑與軸平行必分通弦為兩平分半通弦為縱截橫徑為橫與橫軸上之句股比例并同若句股相乘取三之二即所截單曲之面積也
凡圓錐體依立垂之勢自一邊直剖之至底成雙曲形以此相等之二形橫置之其二頂點之相距即為橫徑任于曲上出抵二心二之較必與橫徑等也自橫徑之中作直交于橫徑即為縱徑中點距心為弦其距頂為句求得股為半縱徑自橫徑之上下截之複作相等之二曲形為相屬雙曲引縱橫二徑為二軸皆過曲之二心以橫徑為連比例之首率縱徑為中率則通徑為末率即橫軸上過心之倍股也任于曲上作縱為股截橫徑之引長為句股羃乘半橫徑羃與句羃乘半縱徑羃之較恒與兩半徑羃相乘之數等股羃與句加橫徑乘句之羃若縱徑羃與橫徑羃矣自縱上端作切法二亦與次法二成句股形其求切交軸之角與單曲之切平分切點距二心之交角故其法亦平分切點距二心之外角任于曲上出二斜抵橫徑之兩端為正餘二通弦二通弦對角正切相乘之羃即橫徑羃約縱徑羃之數自橫徑之中又作二斜與二通弦平行四端皆抵曲命之曰相屬徑以此二徑引而長之任于曲上作縱與一半徑平行截其又一半徑之引長為橫與橫軸上之句股比例并同故相屬徑之二羃較與縱橫徑之二羃較恒相等也相屬徑四端之四切成平行四邊形與縱橫二徑相乘之羃等縱橫徑四端之四切成長方形作對角二斜引而長之與四曲漸近而永不相合命之曰漸近以橫徑約縱徑即漸近與橫徑交角之正切矣任與曲上作縱與一漸近平行截其又一漸近為橫縱橫二相乘之羃恒為中點距心羃四之一引長縱以四曲為界補成平行四邊形恒為縱橫二徑相乘羃二之一任于曲上作切以二漸近為界必平分于切點上之相屬徑亦與切相等若以股乘半橫徑與句乘半縱徑二羃之和乘讷氏對數二七一八二八二以減句股相乘之羃即所截雙曲之面積也
此三曲皆圓錐之分形其離切之率當以合吻圓度之任于曲上作諸圓形與曲同切于一點則圓周之離切半徑小者較速半徑大者較遲而諸圓形中必有一圓周與曲吻合無間即合吻圓也命圓半徑為曲率半徑則各點曲率半徑之比同于法立方之比法立方為實半通徑之平方為法實如法而一即曲率半徑也橢圓二心相距之半之為兩心差以長半徑約之則為橢率置圓周率三一四一五九二六五以長徑乘之為實橢率自之為屢乘數遞取其四之一十六之三三十六之十五以減實即橢圓體之曲面積也法乘縱而以通徑約之于上法加縱而半之以乘讷氏對數加入上位即單曲之長也以通徑約圓周率四因三除以乘法次法兩立方之較即單曲體之曲面積也橢圓體積等于外切圓柱三之二單曲體積等于外切圓柱二之一單曲面所容最大長方其橫徑恒為軸三之二圓錐所容最大單曲面其軸恒為斜距四之三引而伸之觸類而長之曲之能事畢矣
靜重學記
顧觀光
重學之本始于權衡權與物均而衡平則左距與右距等若不均而衡平則左距乘左重與右距乘右重等比例之法由此起矣杆之異于衡者不惟其平而惟其定直杆或平或斜并與衡同曲杆則視力與杆之交角其角正得九十度比例同于直杆不正得九十度則左距乘左重與右角正弦若右距乘右重與左角正弦或有曲杆之折角而求左右兩角則左距乘左重為實右距乘右重為法實如法而一内減折角餘弦折角正弦除之即左角餘切也求右角者仿此
二力之引重而行也二相合則用其和二相對則用其較若不相合而未至于相對者以二力補成平行四邊形作對角為二力之合率三力以上其理一也
引重之器有七其助力各不同杆之助力為右距與左距之比輪軸之助力為軸徑與輪徑之比齒輪之助力為小輪齒數與大輪齒數之比單滑車之助力為一與二之比連滑車之助力為一與二依滑車數少一乘方積之比或為一與索數之比或為一與二依動滑車數乘方積少一之比斜面之助力為股與弦之比劈之助力為劈背與劈邊之比螺旋之助力為兩螺距與柄長為半徑所成圓周之比七者或分或複或單皆能以小力運大重其力與重皆若重動速與力動速也
獨體合體均有重心自重心作垂必與地平成直角凡三邊形各于半邊作對角三相交之點為重心其距角與距邊若二與一也兩兩相等四邊形于相等邊之半作聯兩相交之點為重心其距兩邊恒相等四不等邊以對角分為兩三邊形各以法求其重心兩重心聯為一則大形垂與小形垂若小形之重心距與大形之重心距也凡尖錐體先求底之重心自底心至尖作聯其四之一為底心距重心若去其尖則以上下兩重心作聯全體之重心必在此上矣設諸面體之角各為質點而以聯之又或斷而不連或動而不定亦必有此重心引重之器以力與重聯為一力降則重升而聯上必有定點即重心也既有重心可明定理體之定于一點者自懸點作垂必過重心體之定于一面者自重心作垂必與定點相合體之定于一點及一面者自重心作垂為一邊自面之定點作直交于面為又一邊面之定點距重心為底則兩定點相距為三角形之大分邊體之定于兩點者以此兩點引而長之必交于重心所作之垂也體之定于兩面者兩定點之抵力各與其面成直角引而長之亦必交于重心之垂也凡體已定而微動之或複原處或離其原處則固定與非固定之别也設小半球切于大半球之凸面其重心恒為球半徑八之五自切點作與地平成直角重心在此内者為固定在此外者為非固定法以兩半徑相乘為實兩半徑相并為法實如法而一為固定率若切于大半球之凹面則兩半徑相乘為實兩半徑相減為法實如法而一為固定率屋梁相定之理三梁相合成兩等邊三角形加重于頂自頂點作垂分為兩句股形則句為梁平力之率倍股為梁垂力與加重之率三梁相屬以次遞降自下梁重心作直引中梁與之相遇複自相遇點至下梁下端作斜則與地平成句股形句為下梁平力之率弦為下梁垂力之率四梁相屬長短輕重如一合地平成五不等邊形自頂點作垂則與垂成小句股小股對角之正切與大股對角之正切若一與三也
橋環相定之理先令諸劈之大小形狀左右俱等自橋頂作垂以諸劈之左右切面引而長之必與垂遇于一點此點即環心也各切面與垂之交角其切較為各劈重率割為各劈抵力率不合此率而又無面阻力橋必圮矣由劈之重心作垂自切面之中作直交于切面為抵力引而長之與左右兩垂相遇必在劈行之中若出劈外而又無膠固力橋必圮矣橋之下面為圓者自圓心作地平又以圓半徑為股橋頂至圓心之垂為弦取其句于垂上自圓心截之複作一地平此自中至邊漸與橋之上曲相近而永不相合任于此上作一垂交于下地平又自圓心作一斜乃取交點距橋頂之度于斜上自圓心截之即上曲所到也橋之上下面俱為地平者中間必為垂面各切面與垂之交角其切較為各劈重率即為各劈面積率抵力不出劈外與橋環同
凡糙面有二阻力一在平面一在斜面光面則祗有平面之阻力也任何面體行于平面其重即為抵力兩面俱木而紋平行者取抵力二之一兩面俱木而紋橫直相交或兩面俱金者取抵力四之一兩面一木一金者取抵力五之一各以乘抵力為面阻力斜面之阻力則置物于平面而以一邊徐徐舉起于物欲下未下之時測斜面與地平之交角其全數與角正切若抵力與面阻力也橋環諸劈之重不合于切較則抵力與切面斜交試于抵力之端作直交于抵力又于直交之中依斜面阻力角度左右各作一角即為斜交之大限切面在此二限之中環亦定矣
有小圓柱旋轉于大圓柱中其相切處亦生面阻力兩面俱木者取抵力十二之一兩面一銅一鐵者取抵力七之一各以乘抵力為面阻力輪軸滑車率皆準此
動重學記
顧觀光
凡動無他力加之則方向必直遲速必平若加以他力而方向異于本動者以二方向補成平行四邊形作對角為二速之合率力之加于物而生動也不論正加旁加其動力恒等于抵力故左重與右重若右速與左速二物相引則速之大者必減小者必增各以其重乘所增減之速其數亦相等也
凡球行于平面是平力二球相擊其體平而複凸是生凸力球之無凸力者或鉛或瓦擊時二速消盡二球必止而不行矣凸力有等于平力者謂之全凸力有小于平力者謂之朒凸力呢紗等球凸力為平力九之五象牙球為九之八玻璃球為十六之十五正相擊後二球分行于二對面各生新速其擊前速與擊後速若平力與凸力也設二球皆全凸力正相擊後小球之速必減而大球之速必增二重和與二重較為倍大重與減速之率又為倍小重與增速之率各以其重乘速而并之擊前與擊後亦等二球之凸力等而正相擊後小球止而不行其大球與小球必若平力與凸力也若以動球擊靜球而二體相等又皆為全凸力者其動靜必互相易動球小于靜球則小者返行而大者前行必小于小者之前速動球大于靜球則小者之速必大于大者之前速而大者随行其速小于前速三球在一上以次遞小而大中二球之較大于中小二球之較者大球由中球傳速于小球必大于直傳速于小球若中球為大小球之中率則傳速最大矣自擊點過二球心作交其合于球行之方向者為正相擊不合者為斜相擊二球方向一直一橫則擊後橫者斜行以擊前二方向引而長之補成平行四邊形作對角即斜行之也二求俱斜則擊後二方向與擊前二方向互為平行自方向之端作直交于交前後各成兩句股形其兩句必自相等又以擊前二方向引之相交則交角之對邊即擊時之兩半徑和也
二球相距必有重心至相擊時重心即為擊點二球相對而行則重心恒不動故左重與右重若右距與左距相随而行而後速大于前速則重心随而前行法以兩重各乘速而并之為實并兩重為法實如法而一即重心行也設二球平行于二斜重心必平行于一直以二斜引之相交取二速之度自交點截之為兩腰作聯為三角形之底則左速與右速若右分邊與左分邊乃自分邊處至交點作直即重心行也
凡有凸力之球斜擊于不動之面則擊後必斜行自擊點過球心作交又自方向之端作直交于交成前後兩句股形凸力全者兩句股形相等而方向與交之交角前後亦必相等凸力不全則後角與前角之正切為平力凸力之率後角與前角之正弦為前速後速之率無凸力者擊後行于面邊其前速與後速若全數與角正弦也
凡動有二一為平速一為漸加速動成長方形速為闊時為長則路為長方積加速動成塹堵形力為高時為長與闊則速為長方積路為塹堵形積物在空中為地力所引而下墜愈下愈速即漸加速也地形橢圓長徑過赤道短徑過兩極徑羃與地力為轉比例故兩極下地力與赤道下地力若百四十五與百四十四兩極赤道之間地力适中于一秒中測物之下墜凡十六尺又萬分尺之六百九十七倍之為一秒之地力依塹堵形求之速與路俱可得矣聲之行為平速一秒中凡千十七尺設投石井中曆幾秒聞水聲則以地力除二開平方為石過井率以聲速除一為聲過井率并之以比所曆之時即井口距水之深也大小二重懸于定滑車者大重必随地力而下二重和與二重較若地力與長加力物自斜面下行兩面皆為光面必相切而行非旋轉而下斜面之弦為重率股為力率力乘地力即斜面之長加力以塹堵形之比例通之地力乘股以除二弦羃實時羃也二地力以乘股即速羃也故不論弦之長短但股等則速亦等以重引重令行于斜面垂面之重大則重上行垂面之重小則重下行以垂重乘弦與斜重乘股之較乘地力為實并二重以乘弦為法實如法而一即長加力也設有圓面直交地平自頂點至圓界作諸通弦則物任行于何通弦自頂點至末點時刻俱等大小兩圓面之頂合為一點直交地平自頂點至大圓界作諸大通弦中有諸小通弦則物行于兩通弦之較自小圓界至大圓界時刻俱等凡此相等之理皆由地力而生也
抛物空中上行極則彎環而下其兩端恒相等是名抛抛與地平之交角适足四十五度者抛界最大其左右皆漸小而兩兩相等至九十度則無抛界矣若抛物于斜面則視斜面與九十度之交角抛中分此角者抛界最大其左右亦漸小而兩兩相等至九十度則無抛界矣以抛之切為弦則垂為股地平為句切生于平速之抛力故時速相乘而得弦垂生于漸加速之地力故半地力乘時羃而得股以平三角之比例通之抛交地平之倍角正弦乘速羃為實地力為法實如法而一即平面抛界也抛交地平角與抛交斜面角相并為和相減為較和角較角兩正弦之較乘速羃為實較角餘弦羃乘地力為法實如法而一即斜面抛界也九十度之抛即為抛高倍之為平面之最大抛界又以斜面交九十度角之大矢除之即斜面之最大抛界故平面之抛界視斜面為大矣自抛高上端作橫為規規距抛頂之度與抛頂距心之度等自心作橫直交于心距規兩端皆抵抛此必倍于心距規即末率也心距規以二抛高為最大故末率以四抛高為最大抛與平之交角自地平上以漸而小至抛頂則與平合而為一無交角矣垂所截之地平為實抛交地平角之餘弦羃乘二抛高為法實如法而一以減抛交地平角之正切即交角正切也若以同速抛各物而同在一平面者曆若幹秒各物所到之點聯之成平圓形若不在一平面成立圓形其抛點距圓心之度即若幹秒中地力下行所過之路矣
懸物空中左右限以曲令物一往一來則與曲乍合乍離而其行又成曲是名擺倍圓徑為擺長又倍之為擺周則圓周為擺之界即橫徑也于橫徑之中作垂必抵擺之底點以此垂為圓徑作平圓形則任于垂上作橫其所截平圓之弧必等于平圓外之橫而所截之擺周必倍于平圓内之通弦物自擺下行為地所引其速與垂等以測各處地力之大小至易見也一秒之地力為實圓周率三一四一五九二六五三自之為法實如法而一為秒擺長秒擺者一秒擺動一次也設地力為定數則擺長之平方根與時刻成正比例擺長為定數則地力之平方根與時刻成轉比例故以秒擺長除擺長或以地力除原地力平方開之皆為擺動一次之時刻也若以較數求之則擺長者動遲擺短者動速以擺長與秒擺長之較乘一晝夜八萬六千四百秒為實倍秒擺長為法實如法而一即一晝夜擺動加減次數地形高下處處不同高則擺動遲下則擺動速一晝夜加減次數為兩處高下差之率倍之為兩處地力差之率擺之用盡于此矣
有諸質點各以堅聯于平面力加一點則諸點随之而動此與獨動不同因諸質點各有抵力環軸時必互相感召或生動或阻動也距軸愈遠用力愈少力距相乘積等則速亦等自軸心作地平為句自諸點各作垂為股諸點之距軸為弦各以質重乘弦羃而并之即諸點之質阻率力乘距羃為實質阻率為法實如法而一即實生力也諸質點為地力所引亦各有長加力自軸心作直則分諸點為左右兩邊各以質重乘句視諸點在直之一邊者相加在兩邊者相減用乘地力又以所求點之距軸乘之為實質率為阻法實如法而一即所求點之長加力也諸質相距必有重心其距軸為弦垂為股所截之地平為句合各質重以乘重心之句與質重各乘距軸之句以相并者其數正等引重心距軸而長之即為擺心重心擺心兩距軸相乘即環軸半徑羃也自重心作直與距軸成直角亦分諸質點為左右兩邊而諸點之距重心為弦直為股所截之距軸為句各以質重乘句其在重心之兩邊亦相等也合各質重以乘重心距軸羃又以質重各乘弦羃而并之亦與質阻率等重心距軸與距擺心相乘即環重心之半徑羃合各質重乘之與質重各乘弦羃以相并者其數亦等重心為心軸心為界作平圓形任于圓上取一點為懸點擺次并同若以擺心為界其理亦同故懸點與擺心點可互易也
二重一加于輪一加于軸而在輪周者下行在軸周者上行輪軸之長加力各如其半徑之比三輪相屬或聯以索或銜以齒而二重一加于第一輪一加于第三軸輪軸之長加力如三輪半徑連乘之比不等二重加于杆之兩端者二重之長加力各如距重心之反比矣凡圓體有轉動有過面動此二動常相因也以索之一端于圓體一端過定滑車而以重懸之設等質之實圓柱則柱重乘地力以加懸重為實三因懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力懸重乘柱徑又乘地力為實三因懸重加柱重以乘柱徑羃八之一為法除之即轉動之長加力若圓柱空而極薄則柱重乘地力為實倍懸重以加柱重為法除之即過面動之長加力倍懸重以乘地力為實倍懸重加柱重以乘柱半徑為法除之即轉動之長加力設索之一端于圓體一端着于定點則過面動之長加力實圓柱為地力三之二空圓柱為二之一球為七之五也圓體由斜面而下兩面皆為糙面令圓體不為直動而為轉動則不用地力而用直動之長加力其比例并與此不等二重加于靜滑車者令大重下行之長加力即令小重上行之長加力若加于二滑車而一靜一動者動滑車之長加力為靜滑車二之一因速減半故也若加于連滑車而一靜數動者第一動滑車之長加力為靜滑車二之一第二動滑車為四之一第三動滑車為八之一既得諸器之長加力用和分法推之即可知諸器之動矣
凡二體相切相磨皆能生面阻力而動速漸減使牽力與面阻力等則物之行恒為平速矣車行于石路之牽力小者為物重千分之十六大者為二千分之三十九路極不平處至千分之二十四火石路為千分之六十四鐵軌路牽力或為物重二百四十分之一或為三百分之一平石路為七十分之一石子路為十五分之一若車行于斜而其所加之牽力等于股為實弦為法設斜面二丈最高一尺則比平面牽力加物重二十分之一也陸路不論速之大小阻力恒同水路則速羃漸大阻力亦漸大故車或五小時行十裡或一小時行十裡牽力并同而舟則一小時行十裡較五小時行十裡者牽力當加二十五倍也惟一小時十裡以上阻力增率甚小因舟速甚而高出水面耳生動之力有六曰定質重曰流質重曰定質凸力曰流質動力曰流質漲力曰人畜能力皆以力乘路為當程功定質重之動力斜面與垂面不同設自行車路高一百尺長四千尺輕車一千斤以重車四千斤下行之力引之上行面阻力為二百分重之一法以重較三千斤乘高一百尺得三十萬為當程功以二百除一千得五斤為上行阻力以二百除三千得十五斤為下行阻力并之以乘長四千尺得八萬為實程功是當程之功比實程為四倍弱也用于垂面則以重乘路當程之功即為實程之功矣流質重之動力以水言之其當程功與定質同而水中又有橫流之水互相推蕩不能用以程功故水激上半輪當程功與實程功若五與四水激下半輪當程功與實程功若十與三也捕鳥鼠之巧機能生暫動巧偶鐘表之發條能生長動皆凸力也發條動時抵力恒有改變故以繞軸漸卸時所過微路乘各秒中所加抵力之路為所程功風氣之力有二風槍用漲力風帆用動力水氣亦有漲力與動力其動力大小之比皆若速立方大小之比矣人畜能力以靜體為最大人力二十八斤又五分斤之四馬力一百四十四斤行則力必減小行至極速則力不能程功而一小時中極速之限人行六裡馬行十二裡故求人所程功者以一小時裡數與六裡相減餘數自之四因五除為人力求馬所程功者以一小時裡數與十二裡相減餘數自之為馬力各以裡數乘之為所程功也
車以平速行于平路其力必等于面阻力若有阻物如小石類而車體甚堅阻物與輪周僅遇于一點過此點時車必減速加力則速不減矣車過阻物上行時所加之力為重阻力車行忽改方向震動時所加之力為震阻力法以輪半徑除阻物高為第一數輪半徑羃倍之以除阻物高羃為第二數以此兩數之較乘平速羃為震阻力率地力乘阻物高為重阻力率并兩率以乘車重即車過阻物之加力也若阻物高小于輪半徑則平速羃為震阻力率輪半徑乘地力為重阻力率或以薄鐵片附于軸下取其凸力令輪心漸離直而不震動阻力可減大半也
以物擊物其受擊物之抵力由兩物相遇而生故鐵錘之力大于紗球鐵墩所抵之能大于軟枕而錘之能力消于墩之抵力其所曆之時刻又有不同時刻愈小抵力必愈大而物性受凹愈少者時刻亦愈小也鋼鐵凸力率九百萬尺如以鐵錘擊鐵墩則錘高加墩高以乘錘高又以錘下行數乘而倍之為實凸力率為法實如法而一平方開之即錘墩共凸之路錘高乘凸力率又以錘下行數乘而倍之為實錘高加墩高為法實如法而一平方開之即鐵墩之抵力也若以錘擊釘入木則力為平力而釘能動抵力必小釘長加錘高以乘木徑倍凸力率除之即釘入木之路錘高乘平行數木徑除之内減釘入木路即錘釘井凹之路也
流質重學記
顧觀光
物各有質木石之類為定質風水之類為流質而流質又有輕重之分輕如風氣重如水液其體皆得熱而大得寒而小而水之質獨異當寒暑表之四十度為極小之限更寒則反增大至三十二度而成冰矣成冰之時其體增大最速故瓶盆貯水每因冰而迸裂也流質在器為地力所引必皆平于地平地球旋轉生離心力地心下引生向心力二者又有并力而水面必直交于并力故海面當赤道則曲于球形當二極則平于球形月過處有引力又合地力而生并力必令水面改變即潮汐之理也水之小者同于平面故測兩地高卑以水為準若二處流質相通必升至于平面以法激之能令水自下而上能令水載大重而上升或不用水而用風氣理亦同也定質抵力惟在引力所加之方向流質抵力處處皆同設水在器中于其四周開相等之四xiao穴以短柱塞之令可進退一柱漸進則餘柱必漸退其抵力之比同于穴大小之比去其一柱器必向對邊而傾以一邊無抵力也流質愈深抵力愈大立方一尺之水抵力六十二斤半以乘體積即水抵力之重矣流質抵力必有重心設上下不等正方體水滿其中重心必近于大方令大方在下則重心低而抵力大大方在上則重心高而抵力小若有兩器同底同高不論方斜尖直其底之抵力并同旁面抵力必在重心之下設為平行四邊形則抵力心之高為三分高之一設為兩等邊三角形角尖在上則為四分中垂之一角尖在下則為二分中垂之一凡水閘當抵力心處必多加能力以阻水也
定質為流質所載重者必變而輕故竹木入水必升鐵入水銀亦升因等體積之流質重于定質故也定質重為向下之力流質重為向上之力二力同在一垂相等則物必定由此可得體積相等輕重不等之率如金重三十五分入水中則重三十一分所少四分即等于金體之水重是知水與金之重率為一與八七五矣若不合相定之理則物在水中或升或降令物升降之力即等體積之水重與物重之較也人入水中身重小于等體積之水重又胸中空處能大能小首昂則胸大而兩重較更大且以兩手入水必不沉也若手出水則身重大于等體積之水重而身必沉沉至水底抵力愈大身之體積愈小而不能複升矣人于桅端下墜入水必深以身重大于等體積之水重也殁則體漲大而複升以身重小于等體積之水重也氣球上升亦同此理其上升之力即球重于等體風氣重之較矣風氣又有冷熱之分而熱輕于冷又熱則體必加大而等體之冷風氣愈重二重之較即令熱風氣上升之力聚火處開煙囟令煙速出于上即此理也煙囟高則熱風氣向上直升恒高于頂數尺外風不能敵之低則熱風氣亦低或不能敵外風而回入室中矣
凡空處皆有風氣風氣漲力四面散行直至遇物攔阻而止設冷熱等則漲力大小與空體大小有轉比例如有長空圓柱兩端一通一塞以通之一端入水則柱中空體為水所逼漸下漸小而令柱下行之力必漸加大此即風氣之漲力以漲力與抵力恒相等也水熱至寒暑表之二百十二度其漲力與風氣等每方一尺抵力二千一百二十斤更熱則漲力極大雖至堅之物不能當之矣
地球外之風氣層層包裹近地最厚漸高漸薄至一百五十裡則無風氣矣用玻璃管長三十二寸内徑極小不過八分寸之一兩端一通一塞滿貯水銀倒植水銀器中則管中水銀必降最卑至二十八寸最高至三十一寸其不能再降者為風氣之所抵而風氣厚薄時時不等故升降亦時時不等也海面水銀高二十九寸九分二厘二毫在高山則必降風氣薄而輕也在深壑則必升風氣厚而重也大率高九百尺水銀降下一寸是又為測高之簡法矣水在器中或倒懸而水不出以口有風氣抵力也虹吸内兩邊倒懸之水俱欲下行在頂點有兩分之意而頂點無空勢不能分兩邊一短一長必令短者逆流而上所以無空者風氣抵之也若頂點高過三十二尺即有空矣極大虹吸高不得過三十二尺
風氣冷熱處處不同赤道之下日光正射而熱人必多斜射則熱少愈斜則愈少故一年熱氣中率赤道之下寒暑表八十四度兩極之下僅得四度然則赤道下之風氣較他處熱而輕故必上升而其下南北之冷風氣入之複受熱氣上升而其下之冷風氣又入之如水之流終古不斷遂生上下二潮上自赤道流向兩極下自兩極流向赤道而名之曰風風氣恒随地球而行地球右轉之勢近赤道者較速近兩極者較遲故上潮速恒而下潮遲及其降至地面遲則與地轉相逆而北半球為東北風南半球為東南風速則與地轉相順而北半球為西南風南半球為西北風其勢正相反也赤道下有飓風亦由于此上下方向相對遂成回旋之風矣擺用流質與定質同其動之比同于長平方根之比水自器中出口其速之比同于口離水面平方根之比設于器旁開二口一離水面一尺一離水面一百尺則一百尺之速必十倍于一尺之速如有少于此者面阻力為之也口在器底則水向下直行口在器旁則水依抛物行設為徑寸平圓之口則近口處徑一寸漸遠漸小小至八寸之五謂之截面此面距口有一定之度過此則形不變故測流質出口多少不用口面積而用截面積也
舟行水中阻力之比同于速羃之比而阻力又有大小之不同全在水中則大半在水中則小行于闊處則大行于狹處則小若于狹處一小時行十餘裡舟行愈速出水愈高其阻力必大減矣水行川中上面速于下面中流速于兩邊因底與兩岸有面阻力且多曲處故也曲處凹邊之流速于凸邊因各點有離心力能令水積于凹邊也上下行速不同方向或異甚至有對面者如海口潮來鹹水從下入淡水從上出以重者下而輕者上也浪乃略高之水行于水面與水行方向不同如桅上旗因風而生绮浪亦與旗行方向不同故水浮水面浪雖擁擊而水不行也浪每因風而生水闊二三百尺深三四尺浪高不過三寸深二三十尺浪高約尺半故可以浪之高低測水之深淺矣潮汐高卑由于日月攝力朔望時用其和兩弦時用其較而二攝力之大小時時不等因日月距地時時不等而攝力與距地之立方有轉比例也日力大小自十九至二十一月力大小自四十三至五十九故潮之最高與最卑若兩大數和與兩小數較即若十與三之比也各地早晚不同當考者有五事一為月過中差潮漲在月過中後若幹時刻日日不同大率當以朔望為準二為半月差月過中又因距日而生差當于日月赤道緯度及地心差為中數時測之此差半月而複故名半月差三為潮距朔望差潮之大汛不在朔望而在朔望後之三潮上潮距月過中之平數即潮距朔望也四為日差一日二潮高卑不等或早潮高或晚潮高當于各地測之五則日月地心差不同赤道緯度不同潮之高卑時刻亦因之而變測之既久乃知變者皆其常也有諸海港合而複分水道屢變有時成環繞之行水道變則遲速亦變是又當兼測水道矣
天重學記
顧觀光
日居中而不動地球環之其旋轉于本心而一日一周者晝夜之故也其循行于本道而一歲一周者寒暑之故也旋轉之勢依赤道循行之勢依黃道二道交角今為二十三度二十八分交點每歲西行五十秒一故地行黃道一周三百六十五日五小時四十八分四十九秒七再加二十分十九秒九而後複于恒星即歲差也黃道橢圓而日不正當橢圓之中兩心差００一六七八三六最高每歲東行十一秒八故地繞太陽一周三百六十五日六小時九分九秒六再加四分三十九秒七而後複于最高半周角度小于積度則實行差而遲最卑半周角度大于積度則實行差而疾故日距地之平方與速率有反比例日距地之面積與時分有正比例也中距日視徑三十二分三秒三高則變小卑則變大大小之比同于日距地之反比矣黃道橢圓而地形亦為橢圓長徑過赤道短徑過兩極二徑之比若二百九十九與二百九十八地之旋轉近赤道則漸疾而下引之力減近兩極則漸遲而下引之力增故物在兩極較赤道重一百九十四之一各度加重之比同于緯度正弦羃之比也地徑與日徑比若一與一百十一五地徑與黃道徑比若一與二萬三千九百八十四故日之地平視差為八秒六各度視差之比同于視距天頂正弦之比也赤極環繞黃極二萬五千八百六十八年一周為諸星所攝動而黃赤大距古大今小約百年差四十八秒其最大差為一度二十一分赤極又為月所攝動而成小橢圓之行長徑十八秒五短徑十三秒七四凡十九年一周長徑恒向黃極故大距又有微差矣地以二十四小時旋轉一周而考之鐘表亦有微差一為橢圓遲疾差近最高則行遲而自轉有減分近最卑則行疾而自轉有加分一為黃赤升度差近二分則黃道一度當赤道不足一度故自轉有加分近二至則黃道一度當赤道一度有餘故自轉有減分合二差以加減平時即真時也光行之速一秒凡五十五萬五千裡而地行黃道一秒僅五十五裡故光速率與地速率若半徑與二十秒五之正切是為光行差近地恒有蒙氣能令七政升卑為高地平視差三十三分地平以上漸小而其差又随時随地不同此必征諸實測非算術所能禦矣
月繞地而又繞日其旋轉于本心與環繞乎地球皆二十七日七小時四十三分十一秒五而一周故月向地之面終古不易也月行白道與黃道斜交其角五度八分四十八秒交點退行于黃道每日三分十秒六四故月行南北二十七日二一二一而一周即交終也白道橢圓而地不正當橢圓之中兩心差最大最小之比若三與二其中數為００五四八四四二最高每日順行六分四十一秒八故月行遲疾二十七日五五四五而一周即轉終也月行于橢圓周每日十三度一七六四亦以面積為平行角度為實行與太陽同中距月視徑三十一分七秒大小之比亦為月距地之反比矣月地之行每日差十二度一九０七五積二十九日十二小時四十四分二秒八七而複合是為一月地徑與月徑比若一與０二七二九地徑與白道徑比若一與五十九九六四三五故月之地平視差其中數為五十七分六秒也日月二半徑和加月地平視差其最大者一度三十四分二十七秒日月兩心距小于此數則地面必有見食之處故日食限之距交為十六度五十八分法自日體之兩邊各作與月體相切引長之成尖圓其尖或過地或不及地若以兩交互切月引長至地界内即生淡影人在淡影中則見食在尖圓中則見食既也月與内虛二心距等于月外虛二半徑和即月入外虛之時等于月内虛二半徑和即月入内虛之時故月食限之距交為十一度二十一分法自日體之兩邊各作與地球相切引長之成尖圓即内虛也若以兩交互切地引長之過月體即外虛也日光透過蒙氣則折而下其交外虛之角即倍地平蒙氣差其交内虛之角即倍蒙氣差與日視徑之較月八外虛為昏黃色入内虛則淺者為藍綠色深者為紅紫色也凡攝力之大小與相距之平方有反比例月距地心約地半徑之六十倍故地攝月力為地面攝力三千六百之一日之攝力甚大于地而日地距大于月地距約四百倍故日攝月力僅得地攝月力一百七十九之一也白道長徑與地之行每日差五十二分二十七秒二五積二百五日八九四而複合此一合中兩心差有增減長徑亦有進退而增減進退之差在最高者較大在最卑者較小大小之比若二十八與二十五矣朔望前二象限切力恒令速率增增則長徑變長朔望後二象限切力令恒速率減減則長徑變短又朔望左右各五十四度四十四分法力向外令曲率略小兩弦前後各三十五度十六分法力向内令曲率略大其最大差為一度四分一月而複名二均差也月受日之攝力朔時距日近而略大望時距日遠而略小故日心斜交地月之令月增減于橢圓行其最大差為二分名月角差也地行于橢圓周最高後距日漸近則日攝月力漸大最卑後距日漸遠則日攝月力漸小其最大差為十一分一歲而複名年差也二千年間地道兩心差恒變而小約百年差二萬五千分之一則年差亦微有不同而月之平速恒變而大約百年差十一秒九其一終之時甚久未能征諸實測也二體相距必有重心其距二體心遠近之比若二體輕重之比聯日地為一直其公重心在日體中聯月地為一直其公重心在地球中故月地之公重心繞日地之公重心而自人視之一若月繞地而地又繞日焉然因此而日之經度亦有微差一月而複因名之曰月差其最大者不能至八秒六八秒六者日之地平視差也白極環繞黃極十八年六而一周而赤道既退行于黃道又退行于白道則赤極所行方向恒正交赤白二極距故不成正圓而為次擺其速率亦時大時小二道所生二差之比若二與五矣
五星繞日而行軌道并為橢圓與地球同其兩心差各以長半徑準之水星０二０五五一四九金星０００六八六０七火星００九三三０七０木星０四八一六二一土星０五六一五０五距日中數以地道半徑準之水星０三八七０九八一金星０七二三三三一六火星一五二三六九二三木星五二０二七七六０土星九五三八七八六一地與五星周時平方之比各同于距日立方之比推得五星之恒星周水星八十七日九六九二五八金星二百二十四日七００七八七火星六百八十六日九七九六四六木星四千三百三十二日五八四八二一土星一萬七百五十九日二一九八一七其交黃道之角水星七度九秒一金星三度二十三分二十八秒五火星一度五十一分六秒二木星一度十八分五十一秒三土星二度二十九分三十五秒七其交點與最高點行皆甚遲故聯兩交點為一恒平分黃道焉外星之攝動内星也于内道上取距外星等于日距外星之兩點内星自等距點至交點者交點退而後自交點至等距點進而前内星之攝動外星也二道相距小于内道距日者于内道上取距日與外星相等之兩點其交點之進退與外星攝内星同二道相距大于内道距日者二星在交之兩邊交點退而後在交之一邊交點進而前若二星中有一星正當交點則交點不動矣二道漸相近而攝力又引之近二道漸相遠而攝力又推之遠則交角變大二道漸相近而攝力反推之遠二道漸相遠而攝力反引之近則交角變小引之近者交點退推之遠者交點進故交角之大小與交點之進退不相應也法力能變曲率向内則曲率增向外則曲率減切力能變速率順則速率增逆則速率減故法力向内而星近高點則長徑退近卑點則長徑進自高至卑則兩心差增自卑至高則兩心差減法力向外者反是切力順而星近高點則兩心差減近卑點則兩心差增自高至卑則長徑退自卑至高則長徑進切力逆者反是是兩心差與最高行互為消長而切法二力亦互為消長故五星之橢圓周古今不甚相遠也人視五星見其忽順忽逆忽留若無法者因地不在星道之心而又繞日環行故也若自太陽視之則有遲疾而無留退故求地心經緯度當以日心經緯度為根先用弧三角形直角為一角星道交黃道角為一角最卑交點二經度較為兩角所夾之弧求得對直角之弧以加減星距最卑度即星距交度仍以直角為一角星道交黃道角為一角星距交度為兩角所夾之弧求得對交角之弧即日心緯度又求對直角之弧以加減交點距春分度即日心經度也次用平三角形直角為一角日心緯度為一角星距日為對直角之邊求得緯度角角之對邊為星距黃道又求得兩角所夾之邊為星對邊又以星對邊為一邊地距日為一邊星地二日心經度較為兩邊所夾之角求得對角之邊為日對邊又求地距日之對角以加二日心經度較再加地之日心經度即星之地心經度又以日對邊與星距黃道為夾直角之兩邊而求星距黃道之對角即地心緯度也土木二星之互相攝動也二星一合為七千二百五十三日四積至三合則土二周木五周而多八度六分以除三百六十度又以一合日數乘之得三十二萬二千三百七十三日約八百八十三年然其差因積久而大故九百十八年而一周此一周中一星速率增而周時變短則一星速率減而周時變長其最大差土星四十九分木星二十一分二星經度之比若二星體積各乘長徑平方根之反比也金星之攝動地球也一合為五百八十三日九二積至五合則地八周金十三周而少二度二十四分以除三百六十度又以一合日數乘之得八萬七千五百八十八日約二百四十年而一周此一周中地速率減則日地中距變大地速率增則日地中距變小其差甚微然因此而月之速率亦有增減其最大差為二十三秒金星攝力又有直加于月者地轉三終則金轉五終而多二十七日十三小時七分三十五秒六較月轉終少十分五十六秒七約為三千六百二十五分月轉終之一凡二百七十三年而一周其最大差為二十七秒四是又在日地二攝力之外矣五星地半徑差并小于月測之甚難而聯日星與地為三角形則星距日與地距日若星距日度正弦與地道半徑差之正弦此差一年而周與光行差相似若以光行星與地道差為夾直角之兩邊而求地道差之對角即星所在之度也
彗星行法與五緯同而橢圓之長徑甚長兩心差甚大故或數十年而一見其差甚多不能盡知其根數也因格彗半長徑二二一六四兩心差０八四七四三六交黃道角十三度七分三十四秒凡三年一一而一周迪未谷彗半長徑三九九四六兩心差０六一七二五六交黃道角二度五十四分四十五秒凡五年一六七而一周勃陸孫彗半長徑三一五０二一兩心差０七九三六二九交黃道角三十度五十五分七秒凡五年二一六而一周比乙拉彗半長徑三五０一八二兩心差０七五五四七一交黃道角十二度三十四分十四秒凡六年二０二而一周飛彗半長徑三八一一七九兩心差０五五五九六二交黃道角十一度二十二分三十一秒凡七年一六一而一周達唳彗半長徑六三二０六六兩心差０七五六七二交黃道角三十一度二分十四秒凡十五年三二五而一周好裡彗半長徑一七九八七九六兩心差０九六七三九一交黃道角十七度四十五分五秒逆行凡七十六年一０六而一周又有乾隆三十五年之彗兩心差０七八五八交黃道角一度三十四分凡五年半而一周道光二十三年之彗最卑距日０００五五八交黃道角三十五度三十六分二十九秒逆行凡二十一年八七五而一周又有順治十八年之彗約一百二十九年而一周嘉靖三十五年之彗約二百九十二年而一周康熙十九年之彗約五百七十五年而一周上考往古有當見而不見者必近日而晝見有雖見而先後一二年則為他星所攝動也乾隆五十一年至道光十八年因格彗已十五周每周減百分日之十一洪武十一年至道光十五年好裡彗已六周每周增千分年之四百四十五增減之故未得而詳彗之頭如星氣漸近中心漸厚尾恒背日太虛中之薄氣故借日光而明有時隔彗能見恒星知其薄氣而非實體矣
代微積拾級序
李善蘭
幾何之學自歐幾裡得至今專門名家代不乏人粵在古昔希臘最究心此學爾時以圜錐諸曲之理為最精深亞奇默德而後其學日進至法蘭西代加德立縱橫二軸推曲内諸點距軸遠近自有此法而凡曲無不可推故曲之數多至無窮而以直為限一例用曲之法馭之既得諸曲依代數理推之可得諸平面諸曲面諸體其已推定之曲略舉其目曰平圜橢圜雙物半立方抛物薜荔葉蚌擺餘擺和音次擺弦切諸指數對數亞奇默德螺對數螺等角螺交互螺兩端懸葛西尼諸橢圜平行動而圜錐諸曲與他曲統歸一例無或少異此代數幾何學也自有代數幾何而微分學之用益大微分學非一時一國一人所作其源流遠矣數學有數求數代數無數求數然所推皆常數微分能推一切變數創法者不一家理同而術異求本之者日耳曼人也立界說曰以小至無窮之點積至無窮多推其幾何名為推無窮小點法難者曰無窮小之點雖積之至無窮不能成幾何解之曰但易無窮小為任何小即有積可推矣故其說雖若難解而其理未始不合也而英國奈端造首末比例法不用無窮小之長數乃用有窮最小長數之比例而推其漸損之限其幾何變大則為末限變小則為首限此法便于幾何而不便于代數後造流數術棄不用而謂萬物皆自變其變皆有速率凡幾何俱可用直顯之故速率之增損可用直之界顯之此說學者皆宗之嘉慶末法蘭西特浪勃造限法自雲不過用奈端首末比例耳而蘭頓别創新法凡微分一憑代數不雲任近限而雲已得限名曰剩理拉格浪亦造法多依附戴老之理大略與蘭頓同總論之微分不過求變幾何最小變率之較耳家數雖多理實一焉奈端來本之同時各精思造法未嘗相謀相師也奈端于元上加點以顯流數如申為甲之流數是也用以推算覺不便故用來氏之彳号以顯之積分者合無數微分之積也亦用來氏之禾号以顯之微分積分為中土算書所未有然觀當代天算家如董方立氏項梅侶氏徐君青氏戴鄂士氏顧尚之氏暨李君秋紉所著各書其理有甚近微分者因不用代數式故或言之甚繁推之甚難今特偕李君譯此書為微分積分入門之助異時中國算學日上未必非此書實基之也
代微積拾級序
偉烈亞力
中法之四元即西法之代數也諸元諸乘方諸互乘積四元别以位次代數别以記号法雖殊理無異也我 朝康熙時西國來本之奈端二家又創立微分積分二術其法亦借徑于代數其理實發千古未有之奇秘代數以甲乙丙丁諸元代已知數以天地人物諸元代未知數微分積分以甲乙丙丁諸元代常數以天地人物諸元代變數其理之大要凡線面體皆設為由小漸大一剎那中所增之積即微分也其全積即積分也故積分逐層分之為無數微分合無數微分仍為積分其法之大要恒設縱橫二以天代橫以地代縱以彳天代橫之微分以彳地代縱之微分凡代數式皆以法求其微系數系于彳天或彳地之左為一切面體之微分故一切面體之微分與縱橫之微分皆有比例而疊求微系數可得面體之級數曲之諸異點是謂微分術既有面體之微分可反求其積分而最神妙者凡同類諸題皆有一公式而每題又各有一本式公式中恒兼有天地或兼有彳天彳地但求得本式中天與彳天之同數或地與彳地之同數以代之乃求其積分即得本題之全積是謂積分術由是一切曲曲所函面曲面曲面所函體昔之所謂無法者今皆有法一切八求弧背弧背求八真數求對數對數求真數昔之視為至難者今皆至易嗚呼算術至此觀止矣蔑以加矣羅君密士合衆之天算名家也取代數微分積分三術合為一書分款設題較若列眉嘉惠後學之功甚大偉烈君亞力聞而善之亟購求其書請餘共事譯行中國偉烈君之功豈在羅君下哉是書先代數次微分次積分由易而難若階級之漸升譯既竣即名之曰代微積拾級時幾何原本刊行之後一年也
談天序
李善蘭
西士言天者曰恒星與日不動地與五星俱繞日而行故一歲者地球繞日一周也一晝夜者地球自轉一周也議者曰以天為靜以地為動動靜倒置違經畔道不可信也西士又曰地與五星及月之道俱系橢圓而曆時等則所過面積亦等議者曰此假象也以本輪均輪推之而合則設其象為大輪均輪以橢圓面積推之而合則設其象為橢圓面積其實不過假以推步非真有此象也竊謂議者未嘗精心考察而拘牽經義妄生議論甚無謂也古今談天者莫善于子輿氏苟求其故之一語西士善求其故者也舊法火木土皆有歲輪而金水二星則有伏見輪同為行星何以行法不同歌白尼求其故則知地球與五星皆繞日火木土之歲輪因地繞日而生金水之伏見輪則其本道也由是五星之行皆歸一例然其繞日非平行古人加一本輪推之其推月且加至三輪四輪然猶不能盡合刻白爾求其故則知五星與月之道皆為橢圜其行法面積與時恒有比例也然俱僅知其當然而未知其所以然奈端求其故則以為皆重學之理也凡二球環行空中則必共繞其重心而日之質積甚大五星與地俱甚微其重心與日心甚近故繞重心即繞日也凡物直行空中有他力旁加之則物即繞力之心而行而物直行之遲速與旁力之大小适合平圜率則繞行之道為平圜稍不合則恒為橢圜惟曆時等所過面積亦等與平圜同也今地與五星本直行空中日之攝力加之其行與力不能适合平圜故皆行橢圜也由是定論如山不可移矣又證以距日立方與周時平方之比例及恒星之光行差地道半徑視差而地之繞日益信證以煤坑之墜石而地之自轉益信證以彗星之軌道雙星之相繞多合橢圜而地與五星及日之行橢圜益信餘與偉烈君所譯談天一書皆主地動及橢圜立說此二者之故不明則此書不能讀故先詳論之
談天序
偉烈亞力
天文之學其源遠矣太古之世既知稼穑每觀天星以定農時而近赤道諸牧國地炎熱多夜放羊因以觀天間嘗上考諸文字之國肇有書契即記及天文如舊約中屢言天星希臘古史亦然而中國堯典亦言中星曆家據以定歲差焉其後積測累推至漢太初三統而立七政統母諸數從此代精一代至郭太史授時術法已美備惟測器未精得數不密此其缺陷也中國言天者三家曰渾天曰天曰宣夜然其推曆但言數不言象而西國則自古及今恒依象立法昔多祿某謂地居中心外包諸天層層硬殼傳其學者又創立本輪均輪諸象法綦繁矣後代測天之器益精得數益密往往與多氏說不合歌白尼乃更創新法謂太陽居中心地與諸行星繞之第谷雖譏其非然恒得确證人多信之至刻白爾推得三例而歌氏之說始為定論然刻氏僅言其當然至奈端更推求其所以然而其說益不可搖矣夫地球大矣統四大洲計之能盡曆其面者無幾人焉然地球乃行星之一耳且非其最大者計繞太陽有小行星五十餘大行星八其最大者體中能容地球一千四百倍其次能容九百倍也設以五百地球平列土星之光環能覆之而諸行星又或有月繞之總計諸月共二十餘設盡并諸行星及諸月之積不及太陽積五百分之一太陽體中能容太陰六千萬倍可謂大之至矣而恒星天視之亦隻一點耳設人能飛行空中如最速子亦須四百萬年方能至最近之恒星故目能見之恒星最小者可比太陽其大者或且過太陽數十萬倍也夫恒星多至不可數計秋冬清朗之夕昂首九霄目能見者約三千設一恒星為一日各有行星繞之其行星當不下十五萬恒星又有雙星及三合四合諸星則行星之數當更不止于此矣然此僅論目所能見之恒星耳古人論天河皆雲是氣近代遠鏡出知為無數遠鏡界内所已測見之星較普天空目所能見者多二萬倍天河一帶設皆如遠鏡所測之一界其數當有二千零十九萬一千設一星為一日各有五十行星繞之則行星之數當有十億零九百五十五萬意必俱有動植諸物如我地球偉哉造物其力之神能之巨真不可思議矣而測以更精之遠鏡知天河亦有盡界非布滿虛空也而其界外别有無數星氣意天河亦為一星氣無數星氣實即無數天河我所居之地球在本天河中近故覺其大在别星氣外遠故覺其小耳星氣已測得者三千餘意其中必且有大于我天河者初人疑星氣為未成星之質至羅斯伯之大遠鏡成始知亦為無數小星聚而成而更别見無數星氣則亦但覺如氣不能辨為星之聚設異日遠鏡更精今所見者俱能辨恐更見無數遠星氣仍不能辨也如是累推不可思議動法亦然月繞行星行星繞太陽近代或言太陽率諸行星更繞他恒星與雙星同然則安知諸雙星不又同繞一星而所繞之星不又繞别星耶如是累推亦不可思議偉哉造物神妙至此蕩蕩乎民無能名矣
割圜八綴術序
左潛
自泰西杜德美立割圜九術以屢乘屢除通方圜之率我 朝明氏董氏各立一家言以為之說而杜氏之義推闡靡遺顧八互求尚無通術未足以盡一圜之變夫非明董之智力不能因法立法以盡其變也其能窮杜氏之義也資于借根方其不能廣杜氏之法也亦限于借根方借根方即天元一之變術而借根方之不能立式究不如天元一之巧變莫測也是書祖杜氏而宗明氏又旁參以董氏之法八相求各立一式因式立法不煩審顧之勞因法入算不費尋求之苦向之不可立算者今皆能馭之以法即有不能立法布算者而其式終存則式能濟法之窮而度圜諸一以貫之無遺法矣推其立式之由所謂比例術即明氏定半徑為一率所有為二率或三率之法也所謂還原術即明氏弧背求正矢又以正矢求弧背之法也所謂借徑術即明氏借十分全弧通弦率數求百分全弧通弦率數借百分全弧通弦率數求千分全弧通弦率數諸法也所謂商除法又即還原術之變法也是故綴術之生因于明氏而又足以盡明氏之變明氏之未能立式也借根方法取兩等數其分母分子雜糅繁重而不可通也其多号少号輾轉互變而不可約也試取明氏書馭之以綴術其遞降各率頃刻可求則是書也其真能因法立法而更能樹幟于明董之後者與書為徐君青先生所作吳君子登述而成之顧詳于式而略于草惟弦求矢矢求弦弦求切切求弦弧求割小切求大切小切求大弦小割求大矢八式有草餘皆有式無草欲考其立式之原不可遽得學者難焉因于暇日一一盡為補草合為四卷書既成丁果臣先生以嘗習算于徐先生将以此書付諸梓因綴數語于簡端雲
綴術釋戴序
左潛
餘既補訂徐莊愍公割[圜](團)綴術丁果臣先生複以戴氏鄂士求表捷術見示圖解詳晰立法巧變于天地間自然之形數曲盡精微其中各式有足補徐氏之未備者如餘弦求各式有式同于徐術而立法不同者徐術先求差根此術先求乘法更為直捷法異而理不異也要皆祖杜宗明使割圜之理一以貫之雖各有創術而因法立法互相發明益足見明氏書之為通術而其理固無所不赅也原書算式繁重通分化分諸法學者驟難通曉餘因思綴術乃天元一之變法用以立式巧變莫測遂依法改演各草不一日而諸式立就且與書中細審諸草一一密合爰并取全書删繁就簡手錄成帙至求式各法已詳綴術草中茲不再述
綴術釋明序
曾紀鴻
易系曰極其數遂定天下之象則綜天下難定之象以觀于有定莫數若矣在昔聖神制器尚象利物前民其于數理必有究極精微範圍後世者代久年湮其數學漸至失傳近三百年泰西猶能推闡古法翻陳出新而中國之才人智士或反蹈其成轍而率由之孔子曰天子失官學在四夷正今日數學之謂也中國舊有弧矢算術而未标角度八之名未立八钤表則雖有用其理以入算者而無表可藉則每求一數必百倍其功而始得且得而仍非密率明代譯出泰西八表及八對數表核其立法之源得數之初甚屬繁難而成表之後一勞永逸大至于無外細至于無微莫不可以此表測之則其用之廣大可想然得表之後雖無事于再求而任舉一數何能較其訛誤若仍用舊術則非匝月經旬不得一數此明靜庵董方立推演杜德美弧矢捷術之可貴也向來求八者例用六宗三要二簡各法若任言一弧度必不能考其弦矢諸數至杜氏創立屢乘屢除之法則但有弧徑而八均可求董方立解杜術先取直之極微者令與弧合而後用連比例以推至極大又考諸率數與尖錐理相合故用尖錐以釋弧矢而弧矢之理以顯而數亦顯明靜庵解杜術先取四分弧通十分弧通弦直之極大者用連比例以推至千分萬分弧通弦之極微者考其乘除之率數與杜氏原術乘除之理相合故用綴術以釋弧矢而弧矢之數以出而理亦出董明二君均為弧矢不祧之宗無庸軒轾其間迩百年中繼起者如戴鄂士煦徐君青有壬季壬叔善蘭所著各書雖自出新裁要皆奉董明為師資也吾友左君壬叟湘陰相國之侄也英年積學于詩文賦字無不深純每應試必冠其曹而于數學一道尤孜孜不倦遇有疑難之題必窮力追索務洞澈其奧窔而後止嘗謂方員之理乃天地自然之數吾之宗中宗西不必分其畛域直以為自得新法也可曾釋徐君青氏綴術又釋戴鄂士求表捷術茲又釋明靜庵弧矢捷術而一貫以天元寄分之式于圓率一道三緻意焉可謂勇矣餘癸酉從丁果臣先生遊始識壬叟繼與共述粟布演草圓率考真二書相得甚歡不啻古所謂同方合志者孰意天厄良才壬叟竟于甲戌秋不永年而逝凡在同學諸人無不歎息不置餘與壬叟兩世神交能無怆切耶果臣先生為湖南數學之領袖所刊二十一種算書嘉惠士林良非淺尟茲文集壬叟遺書而彙刊之倩新化黃君玉屏宗憲任校之役訂正精審毫發無憾壬叟得此不朽矣若夫詩古文詞古人之門徑已搜括殆盡即附為壬叟之緒餘剞劂尚需諸異日也
圜率考真圖解跋
曾紀鴻
曩讀古今人數學書莫不言割圜之難數理精蘊中所載圜率與西人固靈所求三十六位之數相同皆用内容外切屢次開方之法欲求此三十六位之率不下數十年工夫亦綦難矣後有泰西杜德美特立屢乘屢除之法省去開方較舊法為稍捷然秀水朱君小梁用其術以求四十位圜率止有二十五位不誤其後十五位概行誤足見紛赜繁難易于淆亂果臣先生屬紀鴻等凝心構思幸得創茲巧法斂級甚速按等推求了如指掌迩日深于算者窮理之功多演數之功少反覺不切于日用今左君壬叟黃君玉屏竟用此術推得各弧背真數至百位之多庶幾息諸家之聚訟而為古之困于圜率者置一左券也
對數序
劉彜程
人莫不知對數之用世亦不乏求對數之書奚俟後有論譔顧是書之不容已于作也其要有二一則自來求對數者求一對數祗可得一對數今思得一法求一對數俱可得兩對數以前冊開方第二術求大于本數之對數較易正負相間之諸數為皆正即為小于本數之對數較以前冊開方第三術求小于本數之對數較易諸數皆正者為正負相間即為大于本數之對數較以此求諸對數以備立表視前人諸法不尤捷乎此首卷之所以要也一則近來西書求對數半較其法頗捷而立法之原不詳間以開方之理推之乃知亦系開方之法但此開方與前冊開方諸法不同以中方根求大小兩方根半較法也爰自平方至無量數九乘方各以率數闡之莫不顯然一貫而開方之說可以據為定論無疑此次卷之所以要也至是書中逐事逐節闡微抉隐于對數之理均覺似非小補然以視最要之端則猶為餘事矣
論對數根
劉彜程
第一問
問何謂對數根曰命單一下帶無數空位零一之數為方根求其無量數九乘方之積為真數次置方根零數即零一之一以一無量數乘之得單一為真數之自然對數由自然對數求得定準對數即對數根也法以十之自然對數為首率十之定準對數單一為中率求得末率為對數根十之自然對數與十之定準對數單一之比若以單一為自然對數與其定準對數之比而此所得定準對數用之乘一切方根零數可得一切數之定準對數以其為諸對數之所自出故曰對數根也
第二問
問以對數根乘一切數之方根零數而得一切數之定準對數其理若何且求一切定準對數舍對數根尚别有法乎曰一切數之方根零數既為一切數之自然對數則置本數之方根零數任以若幹數之定準對數乘之以若幹數之自然對數除之必得本數之定準對數顧此法須一乘一除不若有乘無除或有除無乘之便有乘無除者以對數根為乘法是也有除無乘者以十之自然對數為除法是也自然對數單一與定準對數對數根之比同于一切自然對數與一切定準對數之比而所宜置之一率系單一可以省除宜以單一為一率對數根為二率一切自然對數為三率求得四率為一切定準對數故以對數根乘一切方根零數即得一切定準對數又十之自然對數與十之定準對數之比同于一切數之自然對數與一切定準對數之比而十之定準對數系單一可以省乘故以十之自然對數除一切方根零數即得一切定準對數夫位少之數乘便于除位多之數除便于乘似以十之自然對數為除法較以對數根為乘法為便十之自然對數與對數根皆位多之數顧乘除方根零數乃乘除于得數之後得數即得方根也乘除所借之根單一為乘根于第一數之先第一數即連比例之第一數乘除于後與乘除于先原無少異則與其以十之自然對數除方根零數孰若以對數根乘借根單一之為便乎此求對數者所以恒置對數根為第一數之實也置對數根為第一數之實即如以對數根乘單一也
第三問
問求對數根共有幾法曰舊法以十為本積開五十四次平方然後以方根為真數以方根之零數為自然對數以單一折半五十四次為定準對數置單一以定準對數乘之自然對數除之得對數根此一法也戴氏以十為本積先開三十一乘方為用數然後以用數開無量數九乘方求得方根零數以三十一乘方之廉率乘之即三十二乘之得十之自然對數以十之自然對數除定準對數單一得對數根此又一法也李紉叔氏以二為本數求得自然對數三因之得八之自然對數又求得四與五之自然對數較命為八與十之自然對數較四五與八十比例同故對數較亦同以加八之自然對數為十之自然對數然後以十之自然對數除單一得對數根此又一法也夫舊法極繁不可為訓戴李二術因十之自然對數不可徑求故一則借用數以求之一則分二次以求之皆法之極善者也
第四問
又問求對數根别有法乎曰無論以若幹數之自然對數除本數之定準對數皆得對數根以對數根乘諸自然對數既得諸定準對數則以諸自然對數除諸定準對數必得對數根但諸數之自然對數與定準對數恒難兼而有之如二可得自然對數不能得定準對數十之平方根可得定準對數不能得自然對數試思何數可兼得自然與定準兩對數則得對數根矣間嘗于戴李二法外另立二法此二法比戴李之法亦大略相似前一法與戴法相似後一法與李法相似此法任取略大于單一之數皆可為求對數根之借端明乎此然後覺求之術途徑甚寬非一格所能限矣法如左
一任取略大于單一之數為借根屢自再乘至比十略大或略小而止為借積以十為本積視借根屢自再乘為若幹次即以十開若幹乘方得數為十之若幹乘方根次以此方根為本數以若幹乘方之廉率除十之定準對數單一為本數之定準對數複由本數求得自然對數然後以自然對數除定準對數得對數根
假如任取一一為借根自乘得一二一為平方以平方自乘得一四六四一為三乘方以三乘方自乘得二一四三五八八八一為七乘方以七乘方自乘得四五九四九七二九八六三為十五乘方又以七乘方乘之得九八四九七三二六七五為二十三乘方此法較以一一累乘二十三次略捷視二十三乘方之數與十相近而略小乃以此數為借積十為本積求之二十三乘方根法以借積減本積得０一五０二六七三二五為屢次乘法十為屢次除法置借根一一為第一數乘法乘第一數除法除之得０一六五二九四０五八以廉率二十四除之得００００六八八七二五三為第二數除法除之得０００００一０三四九三以二十五乘之四十八除之即廉率加一乘之二因廉率除之得００００００五三九０四為第三數乘法乘第三數除法除之得０００００００八一以四十九乘之七十二除之得００００００００五五一為第四數乘法乘第四數除法除之得０００００００００八以七十三乘之九十六除之得００００００００００六為第五數諸數相并得一一００六九四一七一四為十之二十三乘方根以上用開方第一術
次以十之二十三乘方根為本數以廉率二十四餘十之定準對數得００四一六六六六六六七為本數之定準對數仍以開方術求本數之自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得０一００六九四一七一四為較積即為屢次乘法置借根單一借積一借根必仍為一以乘法乘之除法除之得０一００六九四一七一四合以一無量數除之今不除寄為母即為第一數正本系第二數因但求方根零數故徑以第二數為第一數乘法乘第一數除法為單一除與不除無異故可省去得００一０一三九三一六一又一乘之二除之一乘二除與一無量數乘二無量數除等得０００五０六九六五八一為第二數負乘法乘第二數得００００五一０四八五又二乘之三除之得００００三四０三二三三為第三數正乘法乘第三數得０００００三四二六八五又三乘之四除之得０００００二五七０一四為第四數負如是求得００００００二０七０００四為第五數正０００００００一七三八為第六數負００００００００一五為第七數正００００００００一三為第八數負００００００００００一為第九數正諸正數相并并諸負數以減之得００九五九四一０四五六合以一無量數乘之因第一數已寄一無量數為母是此數已為一無量數與方根零數相乘之數故即為借積與本數之對數較又此對數較合加借積之對數為本數之對數而借積系單一無對數可加諸數之中惟單一無對數故此對數較即為本數之自然對數置本數之定準對數００四一六六六六六六七以自然對數００九五九四一０四五六除之得０四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第二術
一任取略大于單一之數為本數求得自然對數次以本數屢自再乘至比十略小或略大而止複求得此數與十之自然對數較次置先所求自然對數以屢自再乘之次數加一乘之以後所求自然對數較加之得十之自然對數然後以十之自然對數除十之定準對數單一得對數根
假如任取一一為本數求其自然對數法以單一為借積即為屢次除法以借積減本數得０一為較積即為屢次乘法置借根單一降一位屢乘法除法皆為一乘除所得之數但降一位而數不變故以降一位代乘除一次也得０一為第一數正此處寄母及得數後不複以無量數乘之之說俱已見前置第一數降一位一乘之二除之得０００五為第二數負置第二數降一位二乘之三乘之得００００三三三三三三為第三數正置第三數降一位三乘之四除之得０００００二五為第四數負如是求得００００００二為第五數正０００００００一六七為第六數負００００００００一四為第七數正０００００００００一為第八數負諸正數相并并諸負數以減之得００九五三一０一八為一一之自然對數以上用開方第一術
次以一一累乘二十三次得九八四九七三二六七五為一一之二十三乘方視此數與十相近而略小乃以此數為小積十為大積複開無量數九乘方求大小兩積之對數較法置大積自除得一為大借積以大積除小積得九八四九七三二六七五為小借積以減大借積得００一五０二六七三二五為較積乃以較積除小借積得六□五五四八０六七第二位為單數故志以□為屢次除法合以較積為乘法小借積為除法今以乘法除除法為除法則屢次乘法可以省去置大借積之根單一以除法除之得００一五二五五九八為第一數正除法除第一數一乘之二除之得００００一一六三七五為第二數負除法除第０二數二乘之三除之得００００００一一八四為第三數正除法除第三數三乘之四除之得０００００００以００一四為第四數負第一第三數相并以第二第四數相并減之得００一五一四０七八為大借積與小借積之自然對數較亦即為大積與小積之自然對數較大小兩借積皆寄大積除法為母同一寄母則與原大積小積比例仍同比例同故對數較亦同次置一一之自然對數以二十三乘方之廉率二十四乘之即是以累乘之次數加一乘之也得二二八七四四四三二為小積之自然對數以大小兩積之自然對數較加之得二三０二五八五二為十之自然對數置定準對數單一以十之自然對數除之得０四三四二九四四八二即對數根也以上用開方第四術
代數術序
華衡芳
代數術二十五卷餘與西士傅蘭雅所譯也傅君本精于此學餘亦粗明算法故傅君口述之餘筆