卷九十六格物部二算學

關燈小中大

一六六０一為第五數正０一八九七四六一五四四四０為第六數負０一三０一一一六四八七六為第七數正　九一０七八一五四一為第八數負　六四七六六六八七為第九數正　四六六三二０一為第十數負　三三九一四二為第十一數正　二四八七０為第十二數負　一八三七為第十三數正　一三六為第十四數負　一０為第十五數正　一為第十六數負乃　并諸正數得０三四八一七九六四０七０六九七二一五二又并諸負數得０００一三九四二０八五八三七四七五一四０以負減正得０三三四二三七五五四八六九四九七０一二為用數之對數以用數系降二位于乃首位加二得二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二為一百零八之對數以系借四乘再減四之對數得一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四為二十七之對數以二十七系三之倍大第三率乃以三除之得０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一即三之對數也求六之對數者以二三相乘即六乃以二之對數加三之對數得０七七八一五一二五０三八三六四三六三二即六之對數求九之對數者以九系三之倍大第二率乃以三之對數二乘之得０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二即九之對數用數　　一０八乘法　　００八第一數　００三四七四三五九八五五二二六０一四四九　乘法乘之一乘二除得二　　　　　一三八九七四二三四二０九０四０五八　同　　　二　三三　　　　　　　七四一一九五九一五七八一五五０　同　　　三　四四　　　　　　　　四四四七一七五四九四六八九三　同　　　四　五五　　　　　　　　　二八四六一五二三一六六０一　同　　　五　六六　　　　　　　　　　一八九七四六一五四四四０　同　　　六　七七　　　　　　　　　　　一三０一一一六四八七六　同　　　七　八八　　　　　　　　　　　　　九一０七八一五四一　同　　　八　九九　　　　　　　　　　　　　　六四七六六六八七　同　　　九　十十　　　　　　　　　　　　　　　四六六三二０一　同　　　十　十一十一　　　　　　　　　　　　　　　三三九一四二　同　　　十一十二十二　　　　　　　　　　　　　　　　二四八七０　同　　　十二十三十三　　　　　　　　　　　　　　　　　一八三七　同　　　十三十四十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三六　同　　　十四十五十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一０　同　　　十五十六十六　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一正數　　　　　　　００三四八一七九六四０七０六九七二一五二負數　　　　　　　０００一三九四二０八五八三七四七五一四０減得　　　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二首位加二　　　　　　二０三三四二三七五五四八六九四九七０一二内減四之對數　　　　一四三一三六三七六四一五八九八七三一一四三除之　　　　　　　四七七一二一二五四七一九六六二四三七一　三之對數内加二之對數　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０　六之對數二乘三之對數　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二　九之對數假如求七之對數法依前求得七之用數一００八減去單一得０００八為遞次乘法乃以乘法乘對數根得０００三四七四三五五八五五二二六０一四五為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四一為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得七四一一九五九一五七八二為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得四四四七一七五四九五為第四數負　如是遞求得二八四六一九二三為第五數正　一八九七四六為第六數負　一三０一為第七數正　九為第八數負　乃并諸正數得０００三四七四四二九九七七六六三九一五一　又并諸負數得０００００一三八九七八六八一五七四二九一以負減正得０００三四六０五三二一０九五０六四八六　為用數之對數以用數系降三位乃于首位加三得三０三四六０五三二一０九五０六四八六０為一千零八之對數以系二與八與九疊乘所得乃并二八九之三對數得二一五八三六二四九一０九五二四九六五三八減之得０八四五０九八０四００一四二五六八三二二即七之對數也用數　　一００八乘法　　０００八第一數　０００三四七四三五五八五五二二六０一四五　乘法乘之一乘二除得二　　　　　　　一三八九七四二三四二０九０四一　同　　　二　三三　　　　　　　　　　七四一一九五九一五七八二　同　　　三　四四　　　　　　　　　　　　四四四七一七五四九五　同　　　四　五五　　　　　　　　　　　　　　二八四六一九二三　同　　　五　六六　　　　　　　　　　　　　　　　一八九七四六　同　　　六　七七　　　　　　　　　　　　　　　　　　一三０一　同　　　七　八八　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　九正數　　　０００三四七四四二五九七七六六三九一五一負數　　　０００００一三八九七八六八一五七四二九一減得　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０首位加三　　三００三四六０五三二一０九五０六四八六０三對數　　二一五八三六二四九二０九五二四九六五三八減得　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二　七之對數按此用第二術開極多位九乘方法也舊法求二之對數亦以一０二四為用數而以單一下十五空位零一之一為一率單一下十五空位零一之對數即今所用之對數根為二率用數開平方四十七次以其單一下之零數為三率求得四率然後以平方四十七次折小率一百四十餘萬億乘之得用數之對數夫一率之一本可省除今既開極多位九乘方其折小之率分為一無量數而一無量數之一亦可省乘開方既用零數則第一數亦可置不用而竟以第二數為第一數止須求得開方零數以對數根乘之即得用數之對數而遞求數之例幹求得數後乘之與乘第一數得數必同故竟以乘法乘對數根為第一數也本應以對數根乘不用之第一數然後以乘法乘之而不用之第一數系單一故可省乘其求對數根用第一術而此用第二術者而此用第二術者對數根之用數系多位畸零凡多位畸零者除便于乘故以一次除代一乘一除既用除法則用第一術與第二術同一畸零除法不如第一術之降位稍易矣若今所求之用數均位少而無畸零不惟乘法止一二位抑且用第二術則除法即單一可以省除故雖降位稍難而終以第二術為便也假如有借數求二十三之對數法置二十三以五乘之得一百十五又以九乘之得一千零三十五降三位得一０三五為二十三之用數減去首位單一得００三五為遞次乘法乃以乘法乘對數根得００一五二００三０六八六六六一三八一三四為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得二六六０五三七０一六五七四一七第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得六二０六七九一九七０五三四０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得一六二九二八二八九二二六五第四數負　如是遞求得四五六一九九二０九八三為第五數正　０一三三０五八一０二九為第六數負　三九九一七四三一為第七數正　一二二二四七一為第八數負　三八０三二為第九數正　一一九八為第十數負　三八為第十一數正　一為第十二數負　乃并諸正數得０一五二０六五一八二二四五七一九九五八又并諸負數得００００二六六一六八四三一六三五四三八一以負減正得０一四九四０三四九七九二九三六五五七七為用數之對數以系降三位乃于首位加三得三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七為一千零三十五之對數以系五與九疊乘所得乃以五與九兩對數相并得一六五三三一二五一三七七五三四三六七九三減之得一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四即二十三之對數也用數　　一０三五乘法　　００三五第一數　００一五二００三０六八六六六一三八一三四　乘法乘之一乘二除得二　　　　　　二六六００五三七０一六五七四一七　同　　　二　三 -17-2- 三　　　　　　　　六二０六七九一九七０五三四０　同　　　三　四四　　　　　　　　　一六二九二八二八九二二六五　同　　　四　五五　　　　　　　　　　　四五六一九九二０九八三　同　　　五　六六　　　　　　　　　　　　一三三０五八一０二九　同　　　六　七七　　　　　　　　　　　　　　三九九一七四三一　同　　　七　八八　　　　　　　　　　　　　　　一二二二四七一　同　　　八　九九　　　　　　　　　　　　　　　　　三八０三二　同　　　九　十十　　　　　　　　　　　　　　　　　　一一九八　同　　　十　十一十一　　　　　　　　　　　　　　　　　　　二八　同　　　十一十二十二　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一正數　　　　　００一五二０六五一八二二四五七一九九五八負數　　　　　００００二六六一六八四三一六三五四三八一減得　　　　　　００一四九四０三四九七九二九三六五五七七首位加三　　　　三０一四九四０三四九七九二九三六五五七七二與九對數共　　一六五三二一二五一三七七五三四三六七九三減得　　　　　　一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　二十三之對數按求十萬對數前法為便以真數無畸零也若求八對數則真數本屬畸零當依求對數根之法為便矣大要求對數之法難于起始以後偏求各數審擇用之可耳又今所求之對數系十八位小除二位故須遞求多數若求十一二位更不必遞求多數也附對數還原論借用本數對數為真數之率數而恒以一０為本數第一率既有本數第一率又有率數則依以本數為根求倍大各率之法求之可矣然其中有窒而一０不可用為本數何也整率之第一數可截本數依本率乘數累乘而得若零率之第一數則累乘中無其數對數之為率數皆零率也故其第一數不可知不可知即不可求矣但不可知之中自有可知者在凡整率之首位單一者則任倍大若幹率而累乘所得之第一數必仍為單一而不變整率遇單一而不變則零率遇單一其第一數必仍為單一而不變無疑矣故凡零率而第一數可用單一者則可知而亦可遞求也第一數既必須用單一則以一０為第一率内減單一其減餘數大而不能遞求矣此借用本數之所由來也而借用之本數莫善于一０００００一何以言之用第二術則其首位之單一為通用除法既可省除而減去單一得０００００一為通用乘法隻須降六位亦可省乘而降位又易故以一０００００一為便也惟諸對數系以一０為第一率之率數今用一０００００一為第一率則率數不合矣法先求得一０００００一之對數用為除法凡諸對數以除法除之其所得數即以一００００００一為本數第一率之率數也假如以一０００００一為借用本數求其對數為除法法以對數根降六位得００００００四三四二九四四八一九０三三為第一數正　以第一數降六位一乘之二除之得一二七一四七二為第二數負　以第二數降六位二乘之三除之得一為第三數正　乃以第一第三兩數相并内減第二數得０００００００四三四二九四二六四七五六二為借用本數之對數即求率數之除法也本數　　一０００００一乘法　　００００００一第一數　０００００００四三四二九四四八一九０三三　乘法乘之一乘二除二　　　　　　　　　　　　　　　二一七一四七二　同　　　二　三三　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一得數　０００００００四三四二九四四八一九０三四減得　　０００００００四三四二九四二六四七五六二　一０００００一之對數論借用率數前言以一０００００一之對數除所設對數為率數而一０００００一之對數單位下有七空位諸對數至小者止一空位今以借用本數之對數除之其率數必甚大率數既大則每次通用乘法雖降六位而每次用率數之乘法且不止升六位則位仍不降而不可求矣故須參用舊法先求得自二至九自一一至一九自一０一至一０九自一００一至一０００００九各對數列為表視所設對數有首位者先去首位其餘足減何數之對數遞次減之減至有六七空位然後以借用本數之對數除之為借用率數則率數小而可求矣求得數後再以遞減對數之真數累乘之複視首位所減何數依數升若幹位即得所求之真數也求備減表自二至九各對數依前所求列之自一一至一九各對數内其一二與一四與一五與一六與一八均可加減而得惟一一與一三與一七與一九須仍前求得用數然後遞求若００一至一０九則原數即可遞求不必再用數至一００一至一００九則遞求各數與一０一至一０九相同止須逐數遞降一位并減之即得若一０００一至一０００九則再降一位并減之以後各數并同此法真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘二　　　　　　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九三　　　　　　　　０四七七一二一二五四七一九六六二四三七一四　　　　　　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八五　　　　　　　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一六　　　　　　　　０七七八一五一二五０三八三六四三六三二０七　　　　　　　　０八四五０九八０四００一四二五六八三二二八　　　　　　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七九　　　　　　　　０九五四二四二五０九四三九三二四八七四二一一　　　　　　　００四一三九二六八五一五八二二五０四一七一二　　　　　　　００七九一八一二四六０四七六二四八二六九一三　　　　　　　０一一三九四三三五二三０六八三六七六九六一四　　　　　　　０一四六一二八０三五六七八二四八０二七一一五　　　　　　　０一七六０九一二五九０五五六八一二四二二一六　　　　　　　０二０四一一九九八二六五五九二四七七九六一七　　　　　　　０二三０四四八九二一三七八二七三九二七八一八　　　　　　　０二五五二七二五０五一０三三０六０六九一一九　　　　　　　０二七八七五三六００九五二八二八九六一九真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘一０一　　　　　　０００四三二一三七三七八二六四二五六六五一０二　　　　　　０００八六００一七一七六一九一七五五九八一０三　　　　　　００一二八三七二二四七０五一七二二０四六一０四　　　　　　００一七０三三三三九二九八七八０三五四三一０五　　　　　　００二一一八九二九九０六九九三八０七四四一０六　　　　　　００二五三０五八六五二六六六八四一二六四一０七　　　　　　００二九三八三七七七六八五一０九六四０二一０八　　　　　　００三三四二三七五五四八六九四九七０一二一０九　　　　　　００三七四二六四九七九四０六二三六三三八一００一　　　　　００００四三四０七七四七九三一八六四０七一００二　　　　　００００八六七七二一五三一二二六九一二五一００三　　　　　０００一三００九三三０一０四一八一一四六一００四　　　　　０００一七三三七一二八０九０００五二九七一００五　　　　　０００二一六六０六一七五六五０七六七六二一００六　　　　　０００二五九七九八０七一九九０八六一二二一００七　　　　　０００三０二九四七０五五三六一八００七０一００八　　　　　０００三四六０五三二一０九五０六四八六０一００九　　　　　０００三八九一一六六二三六九一０五二一六真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘一０００一　　　　０００００四三四二七二七六八六二六六九六一０００二　　　　０００００八六八五０二一一六四八九五七二一０００三　　　　００００一三０二六八八０五二二七０六０九一０００四　　　　００００一七三六八三０五八四六四九一八七一０００五　　　　００００二一七０九二九七二二三０二０八二一０００六　　　　００００二六０四九八五四七三九０三四六九一０００七　　　　００００三０三八九九七八四八一二四九一九一０００八　　　　００００三四七二九六六八五三六三五四０八一０００九　　　　００００三九０八六九二四九九一０一三一０一００００一　　　００００００四三四二九二三一０四三０八四一００００二　　　００００００八六八五八０二七八０六二六三一００００三　　　０００００一三０二八六三九０二八四八九三一００００四　　　０００００一七三七一四三一八四九八０九二一００００五　　　０００００二一七一四一八一二四五一五五一一００００六　　　０００００二六０五六八八七二一五三九六九一００００七　　　０００００三０三九九五四九七六一三九八六一００００八　　　０００００三四七四二一六八八八四０三三三一００００九　　　０００００三九０八四七四四五八四一六七五真數　　　　　　　假數　　　　　　　　　　　　　　　　小餘一０００００一　　０００００００四三四二九四二六四七五六二一０００００二　　０００００００八六八五八八０九五二一八七一０００００三　　００００００一三０二八八一四九一三八八五一０００００四　　００００００一七三七一七四四五三二六六四一０００００五　　００００００二一七一四六六九八０八五三三一０００００六　　００００００二六０五七五九０七四一五０一一０００００七　　００００００三０四００五０七三三一五七七一０００００八　　００００００三四七四三四一九五六八七六七一０００００九　　００００００三九０八六三二七四八三０八三假如有００００００００七八三六０一七五九二八七八四求借用率數法置所設對數去首位一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四檢備減表足減二之對數乃以二之對數減之得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五又檢表足減一一之對數減得００二九三五一五五一九五三八六六四一八又足減一０四之對數減得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五又足減一００五之對數減得００００一０五七五四一四０　九八六一一三又足減一０００二之對數減得０００００一八九０三九二八四四九六五四一又足減一００００四之對數減得０００００一五三二四九六五九九八四四九又足減一０００００三之對數減得０００００００二二九六一五一０八四五六四前已得七空位乃以借用本數之對數四三四二九四二六四七五六二除之得０五二八七０八五九０二一二０為借用率數也一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　首位減一得０三六一七二七八三六０一七五九二八七八四　内減二之對數０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　減得００六０六九七八四０三五三六一一六八三五　内減一一之對數００四一二九二六八五一五八二二五０四一七　減得００一九三０五一五五一九五三八六六四一八　内減一０四之對數００一七０三三三三九二九八七八０三五四三　減得０００二二七一八一五八九六六０六二八七五　内減一００五之對數０００二一六八０六一七五六五０七六七六二　減得００００一０五七五四一四００九八六一一三　内減一０００二之對數０００００八六八五０二一一六四八九五七二　減得０００００一八九０三九二八四四九六五四一　内減一００００四之對數０００００一七三七一四三一八四九八０九二　減得００００００一五三二四九六五九九八四四九　内減一０００００三之對數００００００一三０二八八一四九一三八八五　減得０００００００二二九六一五一０八四五六四　以借用本數之對數０００００００四三四二九四二六四七五六二　除之得０五二八七０八五九０二一二０　　　　　　　借用率數假如有對數一三六一七二七八三六０一七五九二八七八四求其真數法依前求得借用率數０五二八七０八五九０二一二０乃以借用本數首位單一下加十九空位得一０００００００００００００００００００為第一數正　次以借用本數減去單一得００００００一為乘法以乘法乘第一數又以率數乘之得五二八七０八五九０二一二０為第二數正　乘法乘第二數又以率數反減一得０四七一二九一四一截用九位乘之二除之得一二四五九二九為第三數負　乘法乘第三數又以率數反減二得一四七截用三位乘之三除之得一為第四數正　乃并諸正數得一０００００五二八七０八五九０二一二一内減第三負數得一００００００五二八七０八四六五六一九二乃以前求借用率數時遞減各對數之真數一０００００三與一００００四與一０００二與一０五與一０四與一一與二累乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八五八棄零進一得二三又以前求率數時曾減首位之一應升一位得二十三即所求之真數也本數　　一０００００一乘數　　一０００００一第一數　一０００００００００００００００００００　降六位率數乘之得二　　　　　　　　　五二八七０八五九０二一二０　降六位率數減一乘之二除之得三　　　　　　　　　　　　　　　一二四五九二九　降六位率數減二乘之三除之得四　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一本數　一００００００五二八七０八五九０二一二一減得　　一００００００五二八七０八四六五六一九二　以一０００００三乘之得一０００００三五二八七一００五一七四四六　以一００００四乘之得一００００四三五二八八五一二００一四六七　以一０００二乘之得一０００二四三五三七五五六九七０三八六七　以一００五乘之得一００五二四四七五五二四四七五五二四四八　以一０四乘之得一０四五四五四五四五四五四五四五四四八一　以一一乘之得一一四九九九九九九九九九九九九九九九二八　以二乘之得二二九九九九九九九九九九九九九九九八二八　棄零進一升一位二三按此即用求倍大各率第二術也其第三數變為負者凡整率必大幹單一其減一減二皆為正減至率數減盡而止而無所為反減故逐數皆正今所用之率數小于單一其減一減二皆為反減反減則為負以為乘法故能變逐數皆正者為正負相間也又凡對數遞減得三空位已可遞求惟逐數用率數之乘法多位畸零不免繁重故須減至七空位然亦為求十八位對數之真數而設耳若求十一二位則一００一即可借為本數而對數遞減至四空位即可求借用率數矣割圜連比例術圖解序董佑誠元郭守敬授時草用天元術求弧矢徑一圍三猶仍舊率西人以六宗三要二簡術求八綿理密數繁凡遇布算皆資于表梅文穆公赤水遺珍載西士杜德美圜徑求周諸術語焉不詳罕通其故嘗欲更創通法使弦矢與弧可以徑求覃精累年迄無所得己卯春秀水朱先生鴻以杜氏九術全本相示海張先生豸冠所寫者九術以外别無圖說聞陳氏際新嘗為之注為某氏所秘書已不傳乃反複尋繹究其立法之原即圜容十八觚之術引伸類長求其絫積實兼差分之列衰商功之堆垛而會通以盡句股之變周髀經曰圜出于方方出于矩矩出于九九八十一圜弧也方弦矢也九九八十一遞加遞減遞乘遞除之差也方圓者天地之大體奇耦相生出于自然今得此術而方圜之率通矣爰分圖着解冠以九術原文并立弦矢互求四術都為三卷辭取易明有傷蕪冗其所未寤俟有道正焉割圜連比例後序董佑誠割圜解既成之二年朱先生複得割圜密率捷法四卷于锺祥李氏乾隆初欽天監監正明圖所解而門人陳際新所續成者其書釋連比例諸率分弦矢為二術皆先設百分千分萬分諸弧如本法乘除之棄其畸零以求合于矢之十二三十五十六弦之二十四八十百六十八諸數遂為遞加一數以為除法者特取其易知而便于記憶則其于立法之原似未盡也然反複推衍使弧矢奇耦率可互通隐探赜雜而不越師弟相承積三十餘年之久推其用心可謂勤且深矣陳氏序言圜徑求周及弧求弦矢三術為杜德美氏所作餘六術則明圖氏補之與張先生所傳互異又借弧借弦二術并見陳氏書中範氏所作其闇合欤餘以垛積釋比例而三角及方錐堆三乘以下舊無其術近讀元朱世傑四元鑒菱草形果垛疊藏諸問乃知遞乘遞除之術近古所有而遠西之士尚能守其遺法有足珍者爰并記之少廣缒鑿夏鸾翔開平方捷術一小初商為一借根　以一借根除本積得二借根　并一二借根半之為三借根　以三借根除本積得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與方根密合而止此術一四七十等借根恒微小于方根二三五六八九等借根恒微大于方根算例假如平積一百二十一求方根小初商□０為一借根　一借根除本積得一□二一為二借根　并一二借根半之得一□一０五為三借根　三借根除本積得一□０九五零多則棄之以便算凡借根借積皆然為四借根　并三四借根半之得一□一為五借根因前借根棄零故五借根适合方根即方根開平方捷術二大初商為一借根　以一借根除本積得二借根　并一二借根半之得三借根　以三借根除本積得四借根　并三四借根半之得五借根　以五借根除本積得六借根　下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止此術奇借根恒微大于本根隅借根恒微小于本根算例假如平積九十九求方根大初商一　為一借根　一借根除本積得□九九為二借根　并一二借根半之得□九五為三借根　三借根除本積得□九九四九七四借根　并三四借根半之得□九九四九八七此已消盡六位故六位下棄之也為五借根即方根開諸乘方捷術一小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與方根密合而止或置外根降一乘積本乘乘數加一乘之為遞次除法更捷算例假如平積五十求方根以□七一之平積五０四一為外積□七一為外根求得一□四二為遞次除法　小初商□七為一借根　一借積四□九減本積餘以除法除之得００七０四以加一借根得□七０七０四為二借根　二借積四□九九０五五六減本積餘以除法除之得００００六六五以加二借根得□七０七一０六五為三借根截去末二位得□七０七一０即方根開諸乘方捷術二大初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積内減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積内減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與方根密合而止算例假如平積八八求方根以□三之平積□九為外積□三為外根求得□六為遞次除法　大初商□三為一借根　一借積□九内減本積餘以除法除之得００三三三三三以減一借根餘□二九六六四八一為三借根截去末二位得□二九六六四即方根開諸乘方捷術三小初商為一借根　以略小于本積之積為内積其根為内根以内積與内根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借積内減本積餘以除法除之得數減二借根以下逐數皆一加一減相間為三借根　下皆如是求至借根小者漸小與方根密合而止算例假如平積五十求方根以□七之平積四□九為内積□七為内根求得一□四為遞次除法　小初商□七為一借根　一借積四□九減本積餘以除法除之得□０００六六五以加二借根得□七０七一０六為三借根截去末一位得□七０七一０即方根開諸乘方捷術四大初商為一借根　以略小于本積之積為内積其根為内根以内積與内根加一之積相減又減一為遞次除法　一借積内減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數加二借根以下逐數皆一減一加相間下皆如是求至借根大者漸小小者漸大與方根密合而止算例假如平積八八求方根以□二九之平積□八四一為内積□二九為内根求得□五八為除法　大初商□三為一借根　一借積□九内減本積餘以除法除之得　□三四四八二七以減根餘□九六五五為二借根　二借積□八七九四一九　減本積餘以除法除之得０００一００一七二以加二借根得□二九六六五為三借根　三借積□八八００一二二二内減本積餘以除法除之得　００００二一以減三借根得□二九六六四七為四借根截去末一位得□二九六六四即方根天元開諸乘方捷術一較數餘積用此術小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法借積凡天元借根求借積法以借根乘隅加減長廉以借根乘之加減平廉又以借根乘之加減立廉又以借根乘之至加減方後又以借根乘之即借積也外根之于外積亦然減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借積減本積餘以除法除之得數加二借根為三借根　下皆如是求至借根漸大與元數密合而止算例假如平方負積十六正方二正隅一求元數以□三二之積一□六六四為外積□三二為外根求得□八四為遞次除法　小初商□三為一借根　一借積一□五減本積餘以除法除之得□０一一九０以加一借根得□三一一九　為二借根　二借積一□五九六六一六一減本積餘以除法除之得０００四０二八以加二借根得□三一二三　為三借根　三借積一□五九九九一二九減本積餘以除法除之得００００一０三以加三借根得□三一二三一０三為四借根截去末三位得□三一二三即元數天元開諸乘方捷術二和數餘積用此術小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積于外根加一之積相減又加一為遞次除法　一借積減本積除以除法除之得數加一借根為二借根　二借積内減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根以後逐數皆一加一減相間　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數密合而止算例假如平方負積二九正方四負隅一求小元數以□一之積□三為外積□一為外根求得□二為遞次除法　小初商　九為一借根　一借積□二七九減本積餘以除法除之得００五五以加一借根得　九五五為二借根　二借積０九０七九七五内減本積餘以除法除之得□０００三九八七以減二借根餘０九五一０一為三借根　三借積□二八九九六一九九減本積餘以除法除之得□００００一九０五以加三借根得０九五一二０為四借根　四借積□二九０００一八五六内減本積餘以除法除之得０００００九二八以減四借根得　九五一一九　為五借根截去末一位得０九五一一九即小元數天元開諸乘方捷術三益積用此術大初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根加一之積相減又減一為遞次除法　一昔積内減本積餘以除法除之得數減一借根為二借根　二借積内減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根漸小與元數密合而止算例假如平方負積一百六十八負方二十二正隅一求元數以三０之積二四０為外積三０為外根求得三□八為遞次除法　大初商三０為一借根　一借積二四　内減本積餘以除法除之得□一八九四七三以減一借根餘二□八一０五為二借根　二借積一七□一五八一内減本積餘以除法除之得００九四二三以減二借根餘二□八０一０為三借根　三借積一六□八三四内減本積餘以除法除之得０００八九四以減二借根餘二□八００一為四借根　四借積一六□八０三内減本積餘以除法除之得００００七八九以減四借根餘二□八０００一為五借根棄零得二□八即元數天元開諸乘方捷術四翻積用此術小初商為一借根　以略大于本積之積為外積其根為外根以外積與外根減一　積相減又加一為遞次除法　一借積内減本積餘以除法除之得數加一借根為二借根　二借根積減本積餘以除法除之得數減二借根為三借根　下皆如是求至借根小者漸大大者漸小與元數密合而止算例假如平方負積二九正方四負隅一求大元數以□三之積□三為外積□三為外根求得□二為遞次除法　小初商□三為一借根　一借積□三内減本積餘以除法除之得００五以加一借根得□三０五為二借根　二借積□二八九七五減本積餘以除法除之得０００一二五以減二借根得□三０四八七五為三借根　三借積□二九００一二三四三内減本積餘以除法除之得００００六一七一以加三借根得□三０四八八一一七一為四借根截去末三位得□三０四八八一為大元數天元開諸乘方捷術五如前四術求得元數數位後再欲增求其位則即以求得數位為外根又求得除法　乃以前得數位演為借積與本積相減餘以今得除法除之又與前得數位相加減為元數可降數位如欲再求多位則又另求除法依此累求至數十位亦非難事算例假如平方負積十六正方二正隅一已求得元數三一二三欲增求之先用前除法□八四增求一位得０一二三一仍為借根演得借積一□五九九九九五三六一減本積得餘積□００００四六三九０乃用前得元數□三一二三　又為外根如前求得除法□八一四六二于末位加一數因前得元數微歉于元數尚非外根故必末位加一方是外根除法也得八二四六三為除法　除法除餘積得□０００００五六二五五五截去末二位以加前得元數得□三一二三一０五六二五為元數　如再欲增求則以現得十位數又為外根又求其除法以除餘積此餘積是現得十位數之積減本積之餘也得數又可消得九位矣按正諸乘方方可用右術天元開諸乘方捷術六方廉隅相并減以除本積得一借根　一借根步至方法步法以借根乘隅加減長廉又以借根乘之加減平廉又以借根乘之至加減方止以除積得二借根　二借根步至方法以除積得三借根下皆如是求至借根與元數密合而止算例假如平方負積十八正方二十□０九負隅一求小元數方隅相減得一□九九以除本積得□０九０四五二為一借根　一借根步至方法得一□九九九五四八以除本積得□0九００二　為二借根０二借根步至方法得一□九九九九以除本積得□０九００００九棄零得□０九即小元數凡天元開方其方太大猝不能得初商者必元數甚小于奇數有懸絕之勢也以右術求之降位頗易且無所用其初商若方不甚大者不可用此術用之則難于降位矣若元數與隅數同者一除而盡無畸零例如後又算例假如立負方積一億正方一億００十萬０一千負廉十萬０一千０一正隅一求元數方廉隅正負并減得一億以除本積得□一即元數也右題見汪氏衡齋算學謂一與十萬相去遠矣茫無進退之限初商何以下算而知其翻為同名與否據此則于本法亦未了然也今以此術求之其易如此天元開諸乘方捷術七以方為遞次除法　除法除本積得一借根　一借根諸數加減本積以借根平積乘第三層以借根立積乘第四層以借根三乘積乘第五層如是乘至隅而止逐數皆與本積同相加異名相減　以除法除之得二借根　二借根諸數加減本積以除法除之得三借根　下皆如是求至借根與元數密合而止右術亦方大者用之為便算例假如平方負積一百六十正方八十二負隅一求小元數以方除本積得□一九五一二為一借根　一借根乘隅得□三八０七一八加本積以方除之得□一九九七六為二借根乘隅得□三九九０四０加本積以方除之得□一九九九八八為三借根收零進一得□二為小元數又算例假如立方負積一千兆正方三百億廉空負隅一求元數以方除本積得三三三三□三為一借根　一借根立積乘隅得三十兆七０三五九二五九加本積以方除之得三四五六□七為二借根　二借根立積乘隅得四十兆一三０三三三０一加本積以方除之得三四七一０為三借根　三借根立積乘隅得四十兆一八一八０五六一加本積以方除之得三四七二□七為四借根　四借根立積乘隅得四十兆一八七九五三０一加本積以方除之得三四七二□九為五借根即元數又算例假如立方負積一千兆正方二百億正廉十萬負隅一求元數以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以方除本積得五萬為一借根　一借根平積乘廉得二百兆五以減本積一借根立積乘隅得一百兆二五以加本積減餘數以方除之得四三七五　為二借根　二借根平積乘廉得一百兆九一四０六二五以減本積一　借根立積乘隅得八十兆三七四０二三以加本積減餘數以方除之得四四六一□六為三借根　三借根平積乘廉得一百兆０九０五八七四以減本積三借根立積乘隅得八十兆八八一二０四以加本積減餘數以方除之得四四四八□七為四借根　四借根平積乘廉得一百兆九七九０九三一以減本積四借根立積乘隅得八十兆八０四三九一以加本積減餘數以方除之得四四五０□六為五借根　五借根平積乘廉得一百兆九八０七八四　以減本積五借根立積乘隅得八十兆八一五六七七以加本積減餘數以方除之得四四五０□三為六借根　六借根平積乘廉得一百兆九八０五一七０以減本積六借根立積乘隅得八十兆八一三八九四以加本積減餘數以方除之得四四五０□四為七借根即元數右二題舊用益實減實歸除得數甚難此術似較易也天元開諸乘方捷術八如前諸術先求得元數數位為一借根　前得元數數位又為外根又求得遞次除法　一借積減本積餘再為積變方廉隅一次以除法除之得次小根以加減一借根為二借根　次小根之積減變積餘再為積又變方廉隅一次以除法除之得三小根以加減二借根為三借根　三小根之積減次變積餘再為積又變方廉隅一次以除法除之得四小根以加減三借根為四借根　下皆如是求至借根與元數密合而止按正諸乘方亦可用右術天元開方至第五術捷矣然依次累求位數愈多乘法亦愈繁求至十餘位得借積已難再求不更難乎今用此術截求之每次得四五位即易一式乘法不緻過繁降位亦複甚易也算例假如平方負積一百億正方十萬正隅一已求得元數六一八０□三欲增求之以六一八０□三為外根如前又求得二二三六０因為遞次除法　六一八０□三為一借根　一借積九九九九九一０八０□九減本積餘八九一九□一此術不可割零為初變積負倍前得五位加前方得二二三六０□六為初變方正一為正隅　置初變積以除法除之得　三九八八七有奇截用四位得□０三九八八為次小根以加前得五位得六一八０□三三九八八為二借根　次小根借積八九一七□四二三一八四一四四減初變積餘一□六七六八一五八五六為次變積負倍前得九位加原方得二二三六０□六七九七六為次變方正一為正隅置次變積以除法除之得　七四九八九有奇截用四位得０００００七四九八為三小根以加前得九位得六一八０□三三九八八七四九八為三借根　三小根借積一□六七六六０三七六八九六七００００四減次變積餘０００二一二０八七０三二九九九九六為三變積負倍前得十三位加原方得二二三六０□六七九七七四九九六為三變方正一為正隅　置三變積以除法除之得００００００００九四八四八有奇截用四位得００００００００九四八四為四小根以加前得十三位得六一八０□三三九八八七五０七四八四為四借根即元數按右例所得十六位數即理分中末之大分數也截球解義徐有壬幾何原本謂球與同徑同高之圓囷其外面皮積等截球與截圓囷同高則其外面皮積亦等而不直抉其所以然檢梅氏諸書亦未能明釋之也蓄疑于心久矣近讀李風九章注乃得其解因釋之以告同志雖然以戴東原之善讀古書而猶謂風此注當有脫誤甚矣索解人之難也今釋幾何原本而風之注因是以明風用方今用圓其理則無二也述截球解義設如徑與高等之圓囷内容同徑之圓球此球必居圓囷三之二何以明之試将圓囷橫切為二則為扁圓囷内容半圓球又将扁圓囷十字直切為四則為圓囷八分之一内亦容圓球八分之一此圓囷上下兩平面俱為圓之一象限其外之圓立面為囷外面皮八分之一其湊心兩直立面本屬囷之半徑乘半高即球之半徑自乘羃因球在囷内球殼因直切處切成一象限是為球半徑羃内容一象限為此體之湊心立面各一圖略于此立面任意橫截則皆有正弦有餘弦有矢有半徑圖略于此體橫切之去其上截則高為餘弦圖略下半截上面截成兩象限一大一小圖略此下半截上下兩平行面仍為圓之一象限而上面一象限因有球殼在内界成一小象限其半徑即所截之正弦正弦者句也餘弦者股也半徑者弦也以句為半徑作一象限以股為半徑作一象限兩象限相并作一大象限必以弦為半徑　句方股方并為弦方句圓股圓亦并為弦圓句象限股象限亦并為弦象限以方圓比例推　其理易見然則截體上面之大象限球半徑弦為半徑内減球殼所界之小象限正弦句為半徑所餘環積必與餘弦股所作小象限餘弦股為半徑等矣立面一象限自高而下所截餘弦至不齊也上面大象限減小象限之環積亦至不齊也而餘弦為半徑作象限必與此環積等此環積總為弦上象限句上象限之較此無高無下無小無大無适不然者也又試依圓囷之底為底即球中腰大圓面以囷之半高為高即球之半徑作一圓錐體而十字切之為象限錐積以象限為底此錐之底兩旁之邊即圓囷半徑亦即球半徑也底邊之半徑為句錐高之半徑為股是為句股相等于此錐體任意橫截為各小錐莫不為底邊與高相等之錐苟以小錐高為半徑作象限面莫不與小錐底相等此亦無高無下無小無大無适不然者也小錐之高猶餘弦也小錐之底猶大象限減小象限之環積也小錐之高為半徑作象限必與小錐底等猶餘弦為半徑之象限必與環積等也餘弦之自大而遞小也截高則餘弦大截下則餘弦小極高則幾與半徑等極下則幾于無餘弦其長短有序不亂今各以為半徑作各象限層累疊積必成一象限錐與上錐等而餘弦各象限即球内各象限減圓囷各象限之餘也圓囷　薄切之皆相等之象限面圓球橫　切之各成正弦為半徑之象限面用此知球與圓囷相較必少一錐體矣是故一錐一球相并必與圓囷等而錐居囷三分之一球必居囷三分之二矣是故三倍圓球兩倍圓囷其積必等夫囷之求積以囷之外面皮積為底以半徑為高作立方為囷之兩倍球之求積以球之外面皮積為底以半徑為高作立方為球之三倍今既知球之三倍囷之兩倍為相等則兩方等矣又知兩立方之高同以半徑為高則其底亦必等矣是故球之外面皮積與囷之皮積必等是故球之中腰大圈乘圓徑即球之外面皮積再就前截體觀之以球心為心依球殼所截上面小象限弧為界以半徑周遭割之剜出一象限錐此錐以小象限為底此象限以正弦為半徑以餘弦為高是為内錐再依前法将截球殼外圓囷所藏之積割出準前論知此亦為一象限錐此錐以大象限球半徑為半小象限截球止弦為半徑之面積較為底即餘弦為半徑所作之象限亦以餘弦為高是為外錐内錐外錐相并為一大錐亦以餘弦為高即原截體之高而以大象限半徑即球半徑為底即原截體之底此錐必為原截體三分之一上下兩面平行體與錐體同底同高則錐必居三分之一而所餘者必為三分之二矣圓囷既剜去内錐則所餘為圓球截積空中如外面則上小下大必居圓囷三分之二求圓囷截積者囷外面皮截積為底半徑為高作立方為截囷之倍積求圓球截積者球外面皮截積為底半徑為高作立方為截球之三倍積今既知截囷與截球若三與二則截囷兩倍之立方與截球三倍之立方亦必等矣又知立方之高為相等之半徑則其底亦不得不等矣是故截球之外面皮積與截囷之外面皮積必等是故截球餘弦高乘球之中周大圓即截球之外面皮截積全球之外面皮積即圓徑乘周也半球之外面皮積即餘弦乘周也上截球之外面皮積即矢乘周也球徑求積術徑自乘再乘半之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　四分第三數之一又六分去一七分去二為第四數　四分第四數之一又八分去一九分去二為第五數　諸數相并即球積球徑求球殼積術徑自乘三之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相并即球外面皮積截球餘弦求截球積術識别得餘弦乘周又乘半徑為截球積之三倍　半徑自乘内減餘弦自乘餘為正弦自乘求其圓面又乘餘弦為截求内錐之三倍　兩積相并為截球積半徑自乘三之内減餘弦自乘又以餘弦乘之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相并為截球積截球矢求截球上積識别得矢乘周又乘半徑為錐積之三倍　矢乘矢徑差為正弦羃求其圓面乘餘弦為内錐之三倍兩錐相減餘為積矢減半徑又加全徑以矢自乘乘之為第一數　四分第一數之一又二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一又四分去一五分去二為第三數　諸數相并為截球上積附錄橢圜求周術橢圜求周無法可馭借乎圜周求之則有三術以為徑求大圜周及周較相減此項梅侶氏之術也以廣為徑求小圜周及周較相加此戴鄂士氏之術也餘亦悟得一術以橢周為圜周求其徑以求周即為橢圜之周術更直捷兼可貫三術為一術如後方堆垛術曰一為第一數　一乘三乘第一數四除之為第二數　三乘五乘第二數九除之為第三數　五乘七乘第三數十六除之為第四數　七乘九乘第四數二十五除之為第五數　九乘十一乘第五數三十六除之為第六數　依次列之為初表招差術曰廣各自乘相減四而一為乘法一次乘初表第一數二次乘第二數三次乘第三數四次乘第四數五次乘第五數六次乘第六數仍依次列之為表根招差又術曰以為除法一次除表根第一數三次除第二數五次除第三數七次除第四數九次除第五數十一次除第六數相并為袤徑較以減袤為借圜徑堆垛又術曰三因借圜徑為第一數　四分第一數之一二分去一三分去二為第二數　四分第二數之一四分去一五分去二為第三數　四分第三數之一六分去一七分去二為第四數　四分第四數之一八分去一九分去二為第五數　四分第五數之一十分去一十一分去二為第六數　遞求至若幹位相并為橢圜周右術分四層即用項氏術變通得之其圖說之詳已見項氏書中茲不複贅若用戴氏術通之前後三層均如舊惟第三層不同如下招差又術曰以廣為除法一次除表根第一數正三次除第二數負五次除第三數正七次除第四數負九次除第五數正十一次除第六數負遞求至若幹位正數相并内減負數餘為廣徑較以加廣亦為借圜徑此即戴氏術變通得之餘三層皆同前若移第四層為第一層先以求大圜周或以廣求小圜周後依初表表根及招差又術各得周較加減所得并同即項戴二君術也四元解序顧觀光四元之術至明而失其傳近得徐鈞卿羅茗香諸公相繼闡發始有蹊徑可尋然按法求之恒苦其難而不适于用約其大端有三焉天物相乘與地人相乘并用寄位則羃與羃乘推而上之幾有無方位置之處一也剔消之法以一式截分為二左右斜正初無一定之規非熟于法者安能無誤二也次式副式通式及上中下諸式之名任意作記易滋學者之疑三也翻閱之暇每欲改易算式而其道無由乙巳冬海李君秋紉以所著四元解示餘餘受而讀之見其以面體之自乘再乘定算式而相消所得直命為初消次消三消則向所難之三事均已無之作而歎曰心之神明固若是之日出而不窮乎非四元無以盡天元之變非天元無以盡少廣之變而非少廣之面體則亦無以定四元之位而直發明其所以然竊為一言以蔽之曰析堆垛成廣隅而已古法置太極于中心而環之以八又環之以十六其遞增也皆以八堆垛之式也新法置太極于一隅而附之以三又附之以五其遞增也皆以二廉隅之象也置太極于中心則上下左右動有牽制置太極于一隅則升降進退無往不宜由是四元相乘皆有位無寄位也四元為法皆可除無剔消也且其定位之圖既化諸乘方為平方相乘相消之圖又化諸乘方為立方反複辨論均能假象以達難顯之情何李君之心曲而善入如此李君又有弧矢啟秘對數探原諸書皆本天元之術而引而伸之實發前人所未發餘冀其悉合而傳之以為言算者一大快也對數探原序顧觀光對數探原者海李君秋紉所著也西人對數之表以加減代乘除用之甚易而造之甚難李君巧借諸乘尖堆以定其數又化諸乘尖堆為同高同底之平尖堆以圖其形由是遞加遞除而諸對數指顧可得精思所到生面獨開矣究其立法之原不越乎天元以虛求實之理是故尖堆之底即天元也尖堆之高即正數也平分其高為若幹分依分各作橫以截其積而對數之法由之以生何也對數之首位自一至九止矣一之對數為０而百億之對數亦為０故尖堆下之積不可求而總積亦不可求非無積也正以其大之極而一至九之數不足以名故反命為０此盈虛消息如環無端之妙也二至十之共積為一十一至一百之共積為一一百一至一千之共積亦為一推之至于萬億無不如是此尖堆漸上漸狹漸下漸闊之理也以加倍代自乘則二之積不得不同于三四兩之積以三因代再乘則二之積不得不又同于五六七八四之積此尖堆二以上積數相等之理也尖堆之底無盡積亦與為無盡而求兩對數較則所得皆為最上一之積故二十尖堆已足當億萬尖堆之用西人不達乎此乃用正數屢次開方對數屢次折半以求之亦識流而昧其原矣易不雲乎易則易知簡則易從李君渺慮凝思無幽不啟實有以通易簡之原而體神明之撰者西人見之應亦自悔其徒勞也數學跋顧觀光江氏數學繼梅氏曆書而作者也其于七政運行之故歲實消長之原曲暢旁通實足補梅氏之未備自錢竹汀謂宣城能用西學江氏則為西人所用且極诋其冬至權度如公孫龍之言臧三耳甚難而實非無識者往往惑之平心而論江氏之囿于西法固矣錢氏之說則又囿于中法而非實事求是之學也七政盈縮遲疾之原或曰小輪或曰不同心天世無陵雲禦風之人誰為正之然使小輪所用止在盈縮遲疾之間則謂其巧算而非真象無不可也無如日月在小輪之上半周則距地遠而視之亦小在小輪之下半周則距地近而視之亦大視徑有大小即地半徑差有損益而影徑分之多寡亦由之而殊是七政之有高卑不待盈縮遲疾而後信也有高卑則舍小輪與不同心天固更無他法矣兩心差之有大小西人早已言之日曆指再意罷閣于漢景帝時測兩心差為十萬分之四千一百五十一九執曆推定日法分一象限為六計其積差凡二度十四分以正切求兩心差得十萬分之三千九百江氏推劉宋大明時兩心差四０三五與意罷閣所測正相近唐開元時冬至減時大于今四刻有奇則較九執曆為稍赢耳錢氏謂兩心差古大今小仍是楊郭百年消長之法不知消長以定冬至為根而兩心差之加減則以平冬至為根根既不同算何由合元明以來歲實由消而漸長議者紛紛江氏妙解算理因授時曆議所述丁醜至庚辰四年冬至自相乖違而知其刻下小餘有三十分斷為長極而消之大界證佐甚明恐善辨者亦難為郭氏解也西法行之已久不能無差江氏之書誠有主持太過之弊然元嘉十三年甲戌冬至諸曆皆得癸酉大明五年乙酉冬至諸曆皆得甲申而江氏所推獨與古人吻合元嘉十八年己亥冬至則據隋志以正宋志之光大二年乙巳冬至則據太建四年丁卯冬至而疑其測之非真此皆由古籍中參稽而得非徒立異同錢氏考之不審乃以為辭窮而遁是算術不足信而史文必無一字之舛也有是理乎兩心差古大今小江氏未有定率而改最卑每歲東行為一分三秒則精思所到遂與噶西尼之新法不約而同可見考諸古而無疑者質諸今而自合若合于古而不合于今則其合也亦幸而已矣易不雲乎天地之道貞觀者也天有常行不以古今而異謂西人之術必不可以考古是古之天行異于今也謂古之天行異于今是古與今當各有一天也而豈其然哉江氏書世無善本七政小輪諸紛如亂絲恐其久而失傳無以為治曆者先路之導今特詳為校正書中精确不磨之處讀者當自知之惟無以是古非今之見先橫于中此則餘所旦暮遇之也夫歲實消長其故有二一由兩心差有大小一由黃赤距有遠近吳江王氏青州薛氏并嘗言之今薛氏天學會通未見足本曉庵新法又脫去補遺不知其說雲何江氏之說得其一而失其一考之未審矣夫黃極環赤極二萬五千八百六十八年而一周即歲差也黃道既退行于赤道則歲實必漸消惟是西人舊說皆以歲差為恒星東行遂與最高行兩數混淆無從分析中法知歲差為歲不及天矣而又不知最高之有行分宜乎歲實消長曆千餘年而未有定論也近日西人新測春秋分點每歲西行五十一秒最高每歲東行十一秒八兩心差古大今小約百年差二萬五千分之一黃赤道古遠今近約百年差四十八秒鹹豐庚申最卑過冬至十度二十八分五十三秒三０黃赤大距二十三度二十七分二十七秒三八五星歲輪與伏見輪之不同顧觀光西法步五星土木火用歲輪金水用伏見輪梅勿庵謂五星皆有歲輪而伏見輪即歲輪上星行繞日之圓象婺源江氏從之着金水二星發微繪圖立算縷析條分而征之等邊等角之兩三角形以着其理二家之說可謂詳且明矣餘嘗細譯曆書而知歲輪與伏見輪之算其不可強同者有四試詳言之土木火次引以初實行減太陽實行得之是次引大小一由于太陽之盈縮一由于本天之高卑而金水二星但以初均加減伏見平行不用太陽盈縮差其不同一也土木火以初實行減太陽實行則初均數為加者距日度反差而少初均數為減者距日度反差而多此緣上三星之行遲于太陽故如此立法若金水二星之行速于太陽初均數加則距日度亦加初均數減則距日度亦減而乃反用初均以加減伏見平行與上三星算同而理正相反其不同二也用歲輪則心在本道有升度差用伏見輪則心在黃道無升度差其不同三也土木火以正交行減初實行是用次輪心距正交度金水以正交行減初實行又加伏見實行而初實行而初實行與伏見實行相并之度即平行與伏見平行相并之度是從伏見輪言之為星距正交度從本天言之即本輪心距正交度矣其不同四也因此四事而知歲輪與伏見輪之用離之則雙美合之則兩傷矣然則梅氏江氏之說非乎曰未可非也所不同之四事曆書均已言之曰伏見輪雖以太陽為心實以太陽本輪心為心也曰伏見輪最遠點無定分其距平遠點之度必與初均等也曰伏見輪最遠點距伏見輪正交之度必與伏見輪心距本道正交之度等也之三者非征之實測未易決其是非惟謂伏見輪在黃道無升度差則即以伏見輪之理考之而知其必不可通何也伏見輪之心雖行于黃道而其面與黃道斜交半在南半在北惟正交中交二點與黃道合聯此二點過心成一直此必與黃道平行而其距伏見輪遠近之度時時不等設正交距最遠九十度則伏見輪之上下一南一北成偃卧之勢謂其無升度差理固然矣若正交與最遠合則伏見輪之左右一南一北成側立之勢與土木火本道之斜交于黃道者其象正同又安得無升度差乎斯時黃道如句視緯如股伏見輪面如弦自黃極出抵黃道及星在伏見輪之右者其度必差而東在伏見輪之左者其度必差而西曆書概置不論但以本道即黃道一語了之不思經度與緯度相待而成無升度差安得複有視緯此可以理決之不俟實測而後信也要之伏見輪之法本于歲輪自承用者逐影忘形遂至抵牾不合回曆五星并用太陽平行并無升度差歲輪與伏見輪通為一法西人于土木火三星屢改益精而金水二仍同回曆由泥于伏見輪在黃道之說而不複深思改法者已不知伏見輪為歲輪上星行繞日之圓象矣梅氏江氏之說悟絕倫表而出之以告天下後世之讀古人書而死于句下者幾何原本六和六較解顧觀光大分四正方十六　小分三四六四奇正方十二　兩正方較積四其邊二與大分有等　半小分一七三二奇正方三　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三闊一大小兩分相并得七四六四奇為第一合名第二第三同相減餘五三五奇為第一斷第二第三同設有比例八與大分有等　以乘矩形之長得二十四其邊四八九八奇以乘矩形之闊得八其邊二八二八奇兩數相并得七七六奇為合名自之得五九七一奇即第一合名乘比例之矩形兩數相減得二０七奇為斷自之得四二八五奇即第一斷乘比例之矩形設有比例六九二八奇與小分有等以乘矩形之長得二十０七八奇其邊四五五八奇以乘矩形之闊得六九二八奇其邊二六三二奇　兩數相并得七一九奇為第一合中自之得五一七一奇即第二合名乘比例之矩形兩數相減得一九二六奇為第一中斷自之得三七０九奇即第二斷乘比例之矩形設有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一其邊四五八二奇以乘矩形之闊得七其邊二六四五奇　兩數相并得七二二七奇為第二合中自之得五二二四奇即第三合名乘比例之矩形　兩數相減得一九三七奇為第二中斷自之得三七五二奇即第三斷乘比例之矩形大分四一二三奇正方十七０小分三六０五奇正方十三　兩正方較積四其邊二與大分無等　半小分一八０二奇正方三二五　大分上作少一正方之矩形與半小分正方等長三０六一奇闊一０六一奇　大小兩分相并得七七二八奇為第四合名第五第六同相減餘五一八奇為第四斷第五第六同設有比例八二四六奇與大分有等　以乘矩形之長得二十五二四奇其邊五０二三奇以乘矩形之闊得八七四九奇其邊二九五七奇　兩數相并得七九八奇為太自之得六三七二奇即第四合名乘比例之矩形　兩數相減得二０六六為少自之得四二六八奇即第四斷乘比例之矩形設有比例七二一奇與小分有等　以乘矩形之長得二十二０七其邊四六九七奇以乘矩形之闊得七六五其邊二七六五奇兩數相并得七四六二奇為比中方自之得五五七一奇即第五合名乘比例之矩形　兩數相減得一九三二奇為合比中方自之得三七三二奇即第五斷乘比例之矩形設有比例七與大分小分皆無等　以乘矩形之長得二十一四二七其邊二七二三奇　兩數相并得七三五一奇為兩中面之自之得五四０九奇即第六合名乘比例之矩形　兩數相減得一九０五奇為合中中方自之得三六二九奇即第六斷乘比例之矩形大分十五正方二百二十五小分十一一八奇正方一百二十五兩正方較積一百其邊十與大分有等　大小兩分相減餘三八二奇為第一斷　即以較積方邊為比例圓半徑以乘第一斷得三十八二奇開得斷六一八奇即圓内容十邊形之一邊大分十二五正方一百五十六二五小分五五九奇正方三十一二五兩正方較積一百二十五其邊十一一八與大分無等　大小兩分相減餘六九一奇為第四斷　有比例二十圓徑與大分有等以乘第四斷得一百三十八奇開得少十一七五奇即圓内容五邊形之一邊大分十七三二奇正方三百小分十二九一奇正方一百六十六六六兩正方較積一百三十三三三其邊十一五四奇與大分有等　大小兩分相減餘四四一奇為第一斷　即以較積方邊為比例球内容六面體之一邊以乘第一斷得五十０八九奇開得斷七一三奇即球内容十二面體之一邊大分十一一八奇正方一百二十五小分五正方二十五兩正方較積一百其邊十與大分無等　大小兩分相減餘六一八奇為第四斷　有比例十七八八奇容二十面體上五邊形之圓徑與大分有等以乘第四斷得一百十０四九奇開得少十０五一奇即球内容二十面體之一邊圓錐三曲記顧觀光凡圓錐體橫剖之成平圓斜剖之成橢圓平圓祗有一心其周之距心恒等橢圓則有二心自二心出抵圓周二