卷九十六 格物部二 算學

振興算學論 此論系友人金匮華世芳先生所撰錄登于報以供衆覽其文曰數為六藝之一權于隸首而詳于周官保氏孔門七十子之徒鹹通其理秦漢而降代不乏人如洛下張衡劉焯祖之輩各有著述号為專家唐時設明算科其書頒在學宮令博士弟子分年肄習沿及宋元其學大盛自明人崇尚八股始薄九章為小道或鄙夷而不屑或學之而不精唐顧諸人奮其私智纔學中堕我　國家右文稽古振興算學　　　聖祖仁皇帝聰明天亶幾務餘閑旁及象數　　禦纂數理精蘊五十三卷立綱明體分條緻用以點線面體為經以和較順逆為緯通中西之異同闡天人之微奧大哉　　聖人之制作固當超萬古而上一時承學之士若薛儀甫王曉庵梅征君類皆甄明八線洞曉六宗而梅氏著書至七十餘種闡明各法意境瑩然以故宗其學者益衆幹嘉以來人才輩出自戴東原表章古籍而算經諸書傳自張古愚李尚之羅茗香諸君核算細草而天元四元之術明自明靜庵董方項梅侶戴谔士徐鈞卿諸家發揮杜術而屢乘屢除之法精自李壬叔讀徐李之業而幾何曲線重學代數微分積分之學備算學之至今日古義既明新法日出斯誠極古今未有之奇萃中外一家之盛矣然以中國之大人材之衆而海内精此學者不過十餘家而嘉道時院文達公編輯疇人傳為書祗四十六卷羅氏續之得六卷然猶借才于異代借才于異地以中原文獻之邦曾不若泰西諸國之盛者何也西國算學列于書院月有考試等其高下而進退之大書院肄業者多至數百人夫聚數百人之心思才力相與計論而研究之其用力少而成功速也明矣中國則不然律令有天文之禁　朝廷無考試之條而欽天監率任世職默守成法習其所當然而不知其所以然功名之士誰肯舍其當務之急而為此不急之務即有一二笃志嗜學之人而或窮鄉僻壤既少書籍之考證又無友朋之講習冥搜暗索勞精疲神焉有不廢然中辍者乎同治中大臣有上書請　诏開算學科者格于部議未見施行觀禮部原奏雲昔康熙年間楊光先與湯若望賭測日影于　午門九卿中無一知其法者由是以推今若開科将不獨應試者人數不敷即主試者亦恐驟難其選籲亦可慨矣幸年來當軸諸公有見于西人制器之精無不以算學為本而尤惜從事于此者之少也思有以振興之由是京師設同文館閩中滬上兩船廠亦開學堂招緻生徒講明算法而學使歲科兩試始有錄取算學之例可謂求其本矣今兩廣張制軍講求實用為國儲才創建算學館廣緻算師誘掖而獎進之語雲城中好高髻四方高一尺吾知有志之士必争為有用之學行見家有其書人自為學實事求是精益求精将上以察天星之高遠下以辨地域之廣輪以制造測量之學西人所矜為獨得者更不難發其扃而辟其奧誰得目為小道而忽之哉 推廣算學議 禮樂射禦書數六藝之中算居其一正字通周髀算經二卷注雲數學始包犧氏周公授于商高以九數勾股重差算日月周天行度遠近之數算經雲黃帝定三數為十算命隸首作數以率其羨要其會隸首因以着九章周禮雲保[氏](民)養國子以道乃教之六藝曰九數注數即九章算術也漢平征天下曆算小學所在為駕一封又張蒼善算故以列侯居相位綜理上計唐李淳風明步天曆算制渾天儀着法象書七篇又江本撰三位乘除法位算法二卷宋祖之有度景量竿法皆本勾股重差為乘除元博極書凡天文地理曆算靡不研究明洪武定科舉格中式後十日以騎射書曆五術試之鄭善夫言漢宋以來皆設算學與儒算同科謂之四門博士古人往籍曆曆可征算學之行已非一朝一夕即列入考試令典亦早有所由來中朝成憲遵循近時經古中亦許諸生報考然勾股開方弦和測量等術仍不外周髀所遺且命題者非盡精通曆算不過抄錄前人之說依樣葫蘆故各處所出算學題苟幕無熟習之人大都不脫範圍千篇一律别無翻新花樣意見獨奇者自利瑪窦入中國與徐光啟譯幾何本而後知算學一門厥用甚廣一天文也行星之度晝夜之運行風雨陰晴推遷不爽一地輿也經緯之分明道路之遠近山川江海高下深闊皆有一定之理一制造也配合勾連大小輕重馬力則有多有少運動則有速有遲一軍戰也鎗炮之準頭藥彈之增損緯度之平直地勢之低昂以上四途僅以舊法應之必至臨事茫然格不相入而西學中無不需算欲求事之有濟非精于此藝斷不為功中興以後國家風化維新力除積習知西人之學實為富強之原于是竭其才智聰明有心效法十年以前又準臣工之奏特開算學一科将算學生咨送總署覆勘作為算學生員俟鄉試之年按冊咨取錄送順天鄉試每二十名取中一名會試則與諸士子仍歸大号既中貢士即為洋務人員如此破格取才朝廷已為鄭重然算法包羅甚廣羅茗香先生平生習算至不得遊息之閑嘗謂習算之人須精神充足由童時以至壯歲中無作辍方得旁通曲證參透精微若欲于文章八股餘閑兼習其藝以為此乃尋常小學不必甚專此大謬也夫人生記悟之功全在髫齡若使年華已富則心思渙散讵能深入顯出體會深微算學變化靡窮縱探讨甚勤尚恐不能精到若偶然涉獵其能造極登乎今天子求才崇尚有用之學張香帥雄才大略又能為國盡心宜算措餘資于各省設立公塾招集子弟專教西算西算既習考取之後将進取之生分隸各種學堂或習天文或習地理或習制造開礦各藝不必誦讀西文宜由　朝廷明定章程将已有西人各種算書欽定全集其不足者翻譯以補之務使簡括詳明一覽便能明曉最妙者各縣皆設時務西學書院其中另設算學一齋俾有志者肄業則人才易于培養而算學可推行矣或謂中國之大州縣之多若盡聘西師非惟經費太多抑亦有才難之歎然子弟啟蒙之始不必良師茲思得簡易之法天主耶稣教堂遍于中國皆中國為之保護該教士皆性情肫摯好學多才且立志大公毫無私弊既蒙吾朝恩寵豈無報之心今議各學堂即請若輩以充教師代為化導每縣各立學堂各延教士俟子弟學問已進擇尤送入省會學堂再求深造此則節糜費而成實效廣造就而養真才将來潤色升平棟梁大豈非國家之福自強之基哉 學算筆談序 華蘅芳 孟子言仁義禮智有四端吾謂算亦有端算之端何計較之心也兒童分果必争其大農夫行路必趨快捷方式計較之顯然者無論矣他若衣服之工補短截長奇袤合度則有面積之意也烹饪之工味鹹而和以水味淡而劑以鹽則有比例之意焉此皆能算之端具于生初者也是故有是端而不知擴充之則囿于一藝一能之末有是端而知所以擴充之則統乎萬事萬物之綱故凡天文之高遠地域之廣輪居家而布帛粟菽在官而兵河鹽漕以至儒者讀書考證經史商賈持籌權衡子母莫不待治于算此又算之切于日用斯須不可離者也夫以算之切于日用者既如此具于生初者又如彼宜乎夫人而知之夫人而能之矣而世之學者辄詫為絕業而苦其難明者何哉竊嘗論之上古之算本簡捷而易明也自後世事物日變人心智慮日出于是設題愈難布算愈繁而精其業者各以心得著書又好為隐互雜糅窮極微奧不屑以淺近示人甚或秘匿其根源以炫異變易其名目以托古此今古疇人之積習作者之恒情算學之境因是而益深而學算之人宜其望洋而興歎也鹹同以來風氣稍開四方向學者漸衆津逮初學之書亦漸出顧或力求簡易語焉不詳或稗販成書無足觀覽或硁硁然随問演草因題立術亦雲曲盡能事矣然無論說以疏達之貫澈之學者病其煩讀不終篇辄倦而思卧耳餘有鑒于此而重惜人人具有擴充之力而未得其用力之途也思有以誘掖而引進之因舉學算次第之大旨并胸中所欲言者一一達之筆而着于篇演為算式以習其數設為問答以窮其趣法由淺而入深語雖繁而易曉聊以擴充其能算之端雲爾至于辭句之俚俗體例之參差見哂高明所不計也刻既成因書其緣起于簡端以質海内遊藝之君子 總論算法之理 華蘅芳 人之心中若果懵懵然茫無知覺則亦不必談及算學若其稍有知覺而能思維計較者即已有算學之理與有生以俱來試觀孩兒嬉戲見果必争取其大者因其胸中已有一多寡之見存焉也由是知算學之理為人心所自有并非自外而入故取算書中不甚繁重之題以語不習算法之人彼亦能積思而得其所求之數惟遲速難易則與能算者大異焉此因算之未得其法則各數悉從心計而出故必甚難苟知算法則無論設數如何皆可以法馭之而心中可不必思索所以能事逸而功倍也夫一切算法其初皆從算理而出惟既得其法則其理即寓于法之中可以從法以得理亦可舍理以用法苟其法不誤則其理亦必不誤也 識數之法 物生而後有象象而後有滋滋而後有數則物之有數乃人之強立名目以記物之多寡者也故亦謂之數目 數目之名即一二三四五六七八九十是也然數可多至無窮若每數必立一名則不勝其繁且終不能盡紀其數故又立一簡便之法名其自一至九為單位之數滿十則為進一位之數仍以自一至九之各字記之而名之為當十之位滿百則又進一位亦仍以自一至九之各字記之名之為當百之位由此而百進為千千進為萬而十萬而百萬而千萬其位均以下一位之數滿十而進為一則任數之如何多皆可以此法記之 所以必以十進制者因人手有十指便于屈指計之也凡常用之數大抵以十進制者為多惟天文家度分秒之數則以六十進制 各位之數既俱可用自一至九之各數記之則其空位當以零字記之或作一圈以代零字亦可 凡學算法必先從識數起故識數為算學中第一步工夫不識數之人不可以學算也惟數目之字并無意義可尋其初必從強記而得所以人自孩提之時父母即教其識數聰明之人有數歲即能識數者愚蠢之人有數十歲仍不識數者識數之法先将自一至十之十個字讀至極熟能一氣貫注而不淩亂錯雜便能将十個物任取幾個數之知其為何數再從一十一讀至一百則能數一百個錢又知十百為千十千為萬等意則其人便可為識數之人 識數之工夫由于習練而成非但口中要熟亦須眼中看慣方能敏捷如将子五枚置于桌上則兒童不能随口即言其數必用手一一數過而後知之此因眼光未習練之故也及已看慣則物之不滿十個者平常之人皆能一望而知之惟因眼中亦能識數故數物可不必一個一數而可任幾個數之然亦各有數法譬如數錢數則以五個一數而口中呼一五一十十五為最便譬如數雞卵則手中不能持五個雞卵祗能兩個一數而口中呼一雙兩雙至末則雲幾雙或幾雙多一個此固尋常習用之法而其中已暗以加法乘法為妙用焉維不經道破則人亦不覺耳 大扺物之能随手運動者數之易其不能随手運動者數之稍難因不能将已數過者另置一邊也譬如入山林而數叢樹往往數之數次不得分明因其已數過者與未數過者易緻看錯非有遺漏則有重複故不能得其真實之數然此亦有法焉可将他物于每數過之樹次第作志則無志者為未數過之樹易于遍數而遍志之以得其的确之數其作志之意猶之另置一邊也 作志之法惟手所能及之物或手雖不能及而可用長竿及之者則可若其物非手與竿之所能及則此法不能用譬如欲數清天空之星則其事甚難因不能于星上作志也 人雖不能于星上作志然可于紙上作點以肖其星故可觀列宿之形而一一繪之于紙以成星圖則數圖上之星與數天上之星無以異也所以星亦有數此皆識數以後之巧思也算法亦為各種巧思故遇一難算之題則必有一法以解之及解去此難又有一難于此者在前必又有一法以解之如此由淺入深步步各有難處而步步各有巧法故無論題之如何深奧皆可于紙上寫之算之以與人共明之 論加減乘除開方之用 華蘅芳 算學中各種題若非用加減乘除開方等法以馭之則不能得其所求之數可見此五者實為算學中各種利器藉以攻堅入深者也有此五者則于尋常淺近之算學中已無不能推算之題 然學算之人每不以加減乘除開方為難而以用此五者為難因題中所言之各數但有其彼此相關之理而未明言其何數為實何數為法何數當加減何數當乘除開方也題之形狀萬變不窮知其一未必知其二通于此未必通于彼則加減乘除開方雖已習之極熟而不得其用之之道亦幾與不習者無異焉 然則如之何而後可惟有将從古迄今所有之各種算學題目由淺及深分門别類一一立術演草或加以圖說以明其何以當加減何以當乘除何以當開方則題意明而馭題之法亦明可不緻遇題束手矣 吾且掩卷思之古今來所有之算學書流傳于世者奚止數百種吾所曾經寓目者亦有數十種此數十種書何種非将算學之題由淺入深分門别類按題立術演草附圖以明其加減乘除開方之故者與其抄撮前人之書以侈吾之卷帙曷若請學算之人自觀各種算書以明其加減乘除開方之用也哉 果如此說則筆談之作即可從此而止矣然而仍不能已者何也餘于算學中寝饋者已數十年此中之甘苦知之最悉故欲将已曆過之境界已見到之地步為學者縷述之以助其觀書之功而省其枉費之力俾不緻如餘之盡從暗中摸索得來則吾願慰矣 吾于算學生平未嘗受業于人即與能算者相友善亦未嘗數數問難也惟樂觀各種算學之書自十五六歲時偶于故書中檢得坊本算法心竊喜之日夕展玩不數月而盡通其義吾父見其癖嗜此學必是性之所近也遂為之購求算學之書爰得周髀九章孫子五曹張邱建夏侯陽輯古海島益古演測圓海鏡俾縱觀之除益古海鏡二書以外其為常法所能通者以加減乘除開方之法馭之無不迎而解惟于天元之術則格格不相入者幾及一年始得渙然冰釋後又得秦氏數書九章梅氏曆算全書羅氏觀我生室季氏遺書董方立遺書衡齋算學焦理堂學算記駱春池遊藝錄始知算學有古今中西之異同而幾何原本當時尚未譯全其前六卷世無單行之本惟數理精蘊中有之及購得數理精蘊遂能通幾何之學而吾年亦已二十矣是時海内算學名家如項氏梅侶徐氏君青戴氏崿士李氏秋紉其所著各書尚未出因訪秋紉于墨海書館見其方與西士偉烈亞力對譯代數學及代微積拾級尚未告竣秋紉謂餘曰此為算學中上乘功夫此書一出非特中法幾可盡廢即西法之古者亦無所用之矣餘于是知天元之外更有代數微分積分之術爰從其譯稿中錄得數條視之迄不得其用意之處又閱數年其譯本先後刊竣惠我一編披閱數頁外已不知其所語雲何也其格格不相入者猶之初讀海鏡時也诘諸李君則雲此中微妙非可以言語形容其法盡在書中吾無所隐也多觀之則自解耳是豈旦夕之工所能通曉者哉餘信其言反複展玩不辍乃得稍有頭緒譬如傍晚之星初見一點旋見數點又見數十點數百點以緻燦然布滿天空是餘之于代數其明也以漸非如天元之術不悟則已一晤則豁然開朗也然後知代數之術其層累曲折多于天元故其緻用之處亦比天元更廣從此以後無時不究心于代數每覺李氏所譯之二種殊非易于入手之書故餘又與西士傅蘭雅譯出代數術微積溯源三角數理代數難題解法流播于世于是今之言算者皆知西法之代數即是中法之四元而其淺深難易則不可同日而語矣 或有問者曰如子之說則必先羅緻多書而後可以學算乎抑不必羅緻多書而亦可學算乎 答之曰學算不必多書也惟擇其要者觀之而已其最易入手者為程氏算法統宗屈氏九數通考此二書于加減乘除開方之用言之極詳故于初學最相宜且從此又可學得開帶縱平方及正立方之法亦可稍知西法中各種名目九章算術為中法最古之書其文義與古書相往來亦學者不可不讀之書也能讀九章則一切古算書無不能讀矣是書锺祥李雲門演有細草圖說極為詳細外間有刻本矣 幾何原本為西法中最古之書不言法而言理不言數而言象徹乎立法之源凡九章所不及者無不赅也不讀幾何則不能明點線面體之理而于加減乘除開方之用終不能了然于心目之間是書第十卷之理甚深非初學所能通曉但觀其前六卷可也 幾何之界說及各題字字齊力其釋題之語無一字不周到無一句無來曆學者讀慣此書其心思自能缜密則看各種算學之題如禹鼎燭奸可以無遁形矣 論看題之法 華蘅芳 初學之人于題中之各句句中之各字往往模糊看過不能字字盡見雖将其題看之多次算之數遍仍有一兩個最要緊之字未曾看清非真未見此數字也見之而不知其用意之所在則此數個最要緊之字依然漠不關心亦猶之乎不見而已 題中之字句有極其力者有不甚力者又有可有可無者惟其可有可無及不甚力之字往往皆顯露于面前一望即見而其極力之字則藏伏隐匿于各字之間而使人不易見是在乎看題之眼光能識别之其辭氣輕重之間最有關系故于虛字尤不可忽略看過也 凡看算學之題務将其每句每字俱看完全不可有一字遺漏亦不可有一字不從心上經過則可知題之所語雲何其注意之處何在即能知其某句某字力不力于是題中所暗藏之意思可以盡顯而各數相關之故亦确鑿可指而不至有遊移兩可之見夫而後題中之各數能為我所用而我之加減乘除開方等法亦肯為題中各數所用而不至于捍格不相入矣 算學中各種題譬如用線绾成各種花樣之結加減乘除開方等法猶之各種器具可用以解結者也惟欲用各器以解其結必先看清結之絲縷方能有下手之處看題之法亦如是而已 既能看清題中之絲縷則可将題中不要緊之閑字閑句逐漸删汰之而變為另自一種說法惟其各數相關之理則不可與原題稍有背謬 假如有題雲某日買筆二枝用錢十四文某日買墨一錠用錢十文某日買紙十張用錢二十文問共享錢若幹 題所問者為共享之錢而不計其用去之日故其筆墨紙三物雖非一日所買而其共用去之錢則與一日用去者無異也所以題中之三個某日二字俱與算法不相關可以删去之又因題之所問者為共享之錢非問筆之每枝墨之每錠紙之每張其價若幹也所以可改其題雲筆十四文墨十文紙二十文共錢若幹 然其所買之物實與所用之錢亦無相關因買筆買墨買紙之錢可作買茶買酒買漿之錢算之其共享之錢無異也即作一次買物二次買物三次買物算之其共享之錢亦無異也所以又可改其題雲先用十四文後用十文又用二十文問其用錢若幹則夫人而知當以此三數相加而得其共享之錢四十四文矣 惟有一種題其字句一氣呵成不能稍為删節則隻可看明題意而将題中各數别作一簡易之說法 假如九章之題雲五雀六燕集稱之衡雀俱重燕俱輕一雀一燕交而處衡适平并雀燕重一斤問雀燕一枚各重幾何 則此題之意言五雀重于六燕也其五雀六燕之共重為十六兩也又言一雀五燕與四雀五燕其重相等也惟因一雀五燕與四雀一燕相并即為五雀六燕所以可将十六兩分為兩個八兩一為一雀五燕之重一為四雀一燕之重則可改其題之說法雲一雀五燕共重八兩四雀一燕亦共重八兩問雀燕一枚各重幾何 凡看數題而覺此題與彼題相似者必将其兩題看至極其透徹究竟其中或有略異之處否題有面目雖異而算法則同者亦有面目相似而算法不同者 假如有兩題其一雲原有錢一千文已用去四百文今剩錢若幹其二雲原有錢一千文今剩去四百文已用去若幹 則此兩題之說法雖異而算法則同因用去之錢與今剩之數于原有之中減了今剩即是用去之數也 假如九章之題雲今有兔先走一百步犬追之二百五十步不及三十步而止問犬不止複行幾何步及之 又如代數術中之題雲有野兔為獵犬所追兔在犬前五十步犬每行三步兔能行四步而兔之三步等于犬之兩步問犬追若幹步可得兔　觀此知中西皆有犬追兔之題其說法及算法略有不同而所求之數則俱為犬之步數也其第一題不及三十步而止之句其三十是兔之步數若認作犬之步數則誤矣 算學之題大抵有比例者居多惟其相比之理每暗藏于所言各事之事其相比之數又颠倒錯亂和較雜糅于各數之内觀者最易為其混淆 即以四率比例之題而論其一率二率三率有順列于各句之内者亦有不依次序者試列六題如左 其一題雲原有錢二十千文買得米十石今有錢五十千文問可買若幹石 其二題雲先将米十石售得錢二十千文今又欲得錢五十千文問須售去米若幹石 其三題雲今有錢五十千文欲以買米先用錢二十千文買得米十石問其錢可共買米若幹石 其四題雲今有錢五十千文欲以買米已知每米十石其價為二十千文問可買米若幹石 其五題雲甲有錢二十千文乙有錢五十千文均欲買米甲将其錢買得米十石問乙錢可買米若幹石 其六題雲甲有米十石乙有錢五十千文甲以其米售得錢二十千文問乙錢可買米若幹石 則以上六題其比例之率均為二十與十之比若五十與二十五之比 總言之算學中所有之各題其平正通達簡明直捷者固多而其暗藏機械有意難人者亦複不少看題之人如聽斷疑獄如搜捕伏匿雖具明察之才精細之心苟非老成谙練洞悉此中故智者不能盡知其情僞也 更有一種難題其設題之時已将題中要緊之義藏匿于人所不易留心之處而将題中不應有之算理顯豁呈露以使人易于誤認若不遲回審顧而後下手鮮有不受其愚弄者 假如有題雲今有布一匹共長二十尺每日剪取一尺用之問幾日剪畢 則驟觀此題必答曰二十日殊不知其數已誤矣因題之所問者是幾日剪畢非問幾日用畢也若問幾日用畢則每日用一尺其二十之布當為二十日用畢今問幾日剪畢則每日剪去一塊其長一尺至第十九日已剪去十九塊計共已剪去十九尺其所剩之一塊适得一尺可為第二十日之用而第二十日取此一塊布時不必再動剪刀則是十九日剪畢也 由此可見前題中末句之剪字乃是最力之字斷乎不可輕忽者也看題之時若讀至末句不能将此剪字看出而以為與幾日用畢幾日可畢幾日而畢幾日乃畢無異則安得不誤算耶 其所以易誤之故因題中所言之各數俱為整齊易算之數其二十尺為一尺之二十倍而一日剪一尺又明明有一比例之理置于面前則觀者不及轉念已不覺脫口而出曰二十日是驷不及舌矣 假如有題雲今有竿高十尺有蟲從平地起緣竿而行每日能上二尺而夜間必縮下一尺問此蟲幾日能到竿頂 見此題而不細思其故必以為每日上二尺而下一尺則是隻上一尺也一日上一尺則十日必上十尺而到竿頂矣所以必答曰十日 殊不知行至第八日其蟲之足已至九尺之處及縮下而在高第八尺處過夜至第九日窮日之力再上行二尺已到竿頂矣題所問者是能到竿頂之日其已到而再縮下則不計矣 前題所以易誤之故由于始念之差但知其每日隻上一尺而忘其第一日上行之數已到二尺之處若以第一日為能到二尺而每日能上一尺固是九日到頂也 大抵看題之法不過是心思細密又能習練眼光令人不能乘我之懈耳非必每題每術一一能強記之也 論馭題之法 華蘅芳 學者既能看明題理即能用加減乘除開方等法以馭其題惟題之形狀萬變不窮則馭題之法亦當随機應變不能執一以論也 尋常之算學書其每題之下必有答數又必有專算此題之術或更有細草圖說附焉則依其術以演其數固是易易惟每題各有一術苦于不能記憶學算之人若非胸有成竹則一掩卷即不能算矣于是有将各術分明别類編成歌訣以便于記誦者殊不知所記者乃是呆法耳題目一變即無所用之矣 既明算理之人于書中所有之各題可不必觀其術曰如何自能立術以馭其題其所立之術或與本書之術合或出于本書之外而能殊途同歸惟但明幾何而未習天元之人其所立之術必枝枝節節而為之不能有一以貫之之理故其用心也苦而用力也勞 不論其題之如何變化而概用一法馭之者惟天元之術能之然天元仍籍幾何為用故雖有天元而幾何之理要不可以盡廢也 算學中有數種常用之法其理皆從幾何而出其法必由于學之而後能苟無其法則加減乘除開方無所施其技而天元亦不能用矣茲設數題以明其各法之用 一題　有大小兩數之和及大小兩數之較求其大小兩數 法以和較相加半之得大數以和較相減半之得小數 二題　有四率比例之一二三率求其第四率 法以二三兩率相乘一率除之得第四率 三題　有正方形或方形之縱橫兩邊求其方形之面積 法以縱橫兩邊相乘得方形面積 四題　有句股形求其面積 法以句與股相乘半之得句股形面積 五題　有平三角形求其面積 法以底邊與中垂線相乘半之得三角形面積 六題　有平圓之周徑求其面積 法以周徑相乘四除之得平圓面積 七題　句股弦面羃相等之理 凡句之平方與股之平方相并必等于弦之平方 八題　求正立方形及帶縱立方形之體積 法以長與相乘又以高乘之即得立方形體積 九題　求塹堵陽馬臑之積 塹堵之積居立方二分之一　陽馬之積居立分三分之一　臑之積居立方六分之一 十題　求高台之積 法以上長倍之加下長以上廣乘之又倍下長加上長以下廣乘之兩數相并又以高乘之以六除之得其台積 以上十題僅擇算書中最要者略舉數端耳讀者觸類旁通可也 論學算之法 華蘅芳 算學中門徑甚多歧途百出非備嘗此中之艱苦者不能洞悉其曲折所以學算亦不可無法也 學算之人其志向各有不同故其所學之事遂亦從此分焉綜而計之大約可分為兩類一為闡明數理以成著作一為推演各數施之實用 算學中可施之實用者皆無難為之事如推田畝之積步倉之積斛商功之積尺測量高深廣遠推步日月五星皆已有成法在前依其法而演之祗須知加減乘除及比例之法已綽乎有餘其須用開方者固不多見也 即進而論造表之法如八線與弧背互相求真數與對數互相求或從縱橫兩線求各曲線之長及其所函之面積皮積體積若既有其本題之級數式依其式而演之亦不過用加減乘除開方而已并無難為之事也 所以學算者之志向若隻求見用于當世為衣食名利之計則祗須熟習整數分數小數之三種加減乘除開方再從各書中摘錄測量推步各種成法藏之箧中便已無所不能算矣天元代數之術皆可不必究心也 若非急于求用而務欲闡明數理則其所學之事非株守成法者所可比因數學中深奧之理無窮則其明理之法亦非一端所能盡故必兼綜各法乃于理無障之處也 一切算法皆從條之理而生故算學中淺近之理皆可以幾何之法明之惟笃信幾何之人每自恃其點線面體之學而不信天元且不肯再習天元此乃為幾何所囿而不得自脫者也 用幾何之法以明算理每題必作一圖每圖必系以說有圖無說有說無圖皆不足以發明題義然至立方以上其條之理已不能繪圖則幾何之術窮矣天元之術不必處處言條而一切條之理無不包括于其中此益古演之所由名也至如積相消而條之理終不肯紊亂所以無論若幹乘方亦無論如何帶縱不必分别其形象而概以一例推之 惟演元之書其所設之各題大抵務為深奧而不适于用習天元者不能不習其題則從此又生魔障矣此非為天元所誤乃為天元書中之題所誤也 即如句股弦可以彼此相求又能以和較之互相求又能以和較之和較互相求亦可謂極其變化之妙矣猶不肯已則以同式之各句股又成和較而一一識别其彼此相關之理标名立目條分縷析以解之創之者自诩神奇傳之者共推絕學師以此授其弟官以此課其士萃古今能算之才使之困頓老死于句股之中而不自知悔悟者李栾城之力也 幾何之學從條以明題理故條明而題理亦明天元之學從題理以明條故題理明而條亦明惟幾何之條必藉夫圖天元之條則無藉乎圖也所以天元所明之理能比幾何更深 然天元但能将未知之數明其條而其已知之數則渾和于太極之中不能一望而知其條如何惟代數之術則無論已知之數未知之數其條之理莫不一二分明故代數所明之理又能廣于天元 學者既明代數之術則于數理之奧赜者固無不能明矣然猶有言之或甚繁求之或甚難而不得簡易之法以赅之者何哉因代數但能推一切常數而不能推其變數也惟微分積分之術則能推一切變數故有微分積分之術而代數之用愈廣矣 或有問者曰如子之說天元勝于幾何代數勝于天元微分積分又勝于代數則學者何不徑習微積而必從幾何元代以及微積耶 答之曰不習幾何則于如積之理不能盡明故不可徑習天元不習天元則于正負開方之理不能盡明雖從代數得其相等之式亦不易求其同數微分積分其算式仍籍代數為用不習代數烏能徑習微積所以幾何元代微積其學必循序而及不可躐等而進也 或又問曰微積之必由代數而出固無疑矣若謂習代數者必先知天元習天元者必先明幾何此乃欺人之論也夫天元中法也幾何代數皆西法也中西各創其法曾未彼此相謀則創天元者固不知有幾何也創代數者亦不知有天元也不知者尚且能創而謂反不能學者天下有是理乎 答之曰餘之所謂循序而及者言如此學之則易于入耳非謂舍此即不能學也創天元者固未見幾何之書而天元之理則無非幾何之理也創代數者雖未見天元之書而代數之理則猶之天元之理也然則幾何元代其明理之法雖異而其所明之理則同惟幾何為初學所最易明故必從幾何入手天元之書難于幾何而易于代數以其有數可核也代數之法繁于天元而其用則廣于天元故既明天元方可學代數 又有問者曰演數與明理既分為兩途則演數者固不必明理矣惟不知明理者亦能演數否且不知明理者所演之數有異于不明理者所演之數否 答之曰明理之人惟不喜演數耳非不能演數也使強明理之人為演數之事其演得之數亦無異于演數者所演之數也惟專門演數之人因已演之甚熟故速而且準為明理者所不能及耳 或又問曰算法之事所用者數也明其理而不善演其數則是能說而不能行矣又曷取乎明理為哉 答之曰演數者祗能用法而明理者則能創法凡演數者所用之法皆明理者之所創也算法古疏今密古拙今巧苟非明其理而精益求精安能至此乎明理之人譬如創業演數之人譬如守成其勞逸難易有不可同日而語者明理之人非但能創前所未有之法又能以因為創而将從前已有之法改之使更便于用故有至難之法一變而為至易者亦有至繁之法一變而為至簡者即如圓徑求周古時用割圓之法開方數十次僅能得數位密率今用屢乘屢除可任求若幹位密率而不必開方又如求八線之法古時用六宗三要二簡法而不能任求某角之線今則弧背與八線能彼此相求又如真數求對數古時用中比例之法以代開數十百次之方今用級數可以任求而不必用中比例其簡易不知幾何倍矣 或又問曰明理始能創法是創法之人無有不明其理者也吾見近時算學之書每有但言其所立之各術而于立術之理則不贅一辭豈其理祗能自明而不能與人共明欤抑秘其立術之理而惟恐人之得明欤 答之曰子所言之書其創法之時用天元之術以演各尖堆之積枝枝節節而為之此中曲折之故祗為創法者所自明若欲與人共明其理則取徑纡布算繁重演之非易言之甚難不能如微分積分之直捷簡明也卷帙既多則刊校均非易事故先刊各術而其釋術之書将俟續出後因已見微積之術覺己法不足以傳示後世遂焚棄其稿未可知也或身遭兵燹就義成仁而遺稿飄零散失亦未可知也 或又問曰有數種算學之書其所立之術雖未嘗自匿其理而觀其釋術之語終不能明白曉暢其故何也 答之曰立術之理若非從大公至正之軌悟入每覺可以意會而不可以言傳故自明其理則易欲使他人共明其理則難其人雖有深緻遠之心思而筆墨所達未能曲盡其妙則他人觀之仍不能明此亦由于觀是書者功夫尚淺未能領略其語耳 或又問曰今之算術密矣巧矣簡而易矣蔑以加矣吾恐從此以後即有鑽研數數之人亦未必能再創新術矣 答之曰他事皆有止境而算學無止境也古人創術之時何嘗不自以為巧密逮有功密于古術者則以古術為拙矣後之視今亦猶今之視昔安知此後更無再巧再密之術而視今之巧密者為拙耶 論比例之用 華蘅芳 中法之異乘同除即西法之四率比例也九章之中惟粟米一章真為四率比例之題方田差分商功均輸雖非全是比例而其中藏有比例之理故皆可以比例通之若少廣盈朒方程句股每章各有專術不必強以比例明之羅茗香作比例彙通将一切算法皆歸比例識者譏之 題中所藏之比例其理未必盡顯是在乎學者探索題意而得其相比之理則能将題中各數用加減乘除造成比例之率有祗用一次比例者亦有必用數次比例者所以比例之名甚多有正比例轉比例合率比例按分遞折比例遞加遞減比例超位加減比例和較比例等名名目愈多頭緒愈亂餘以為比例隻有一法乃二三兩率相乘以一率除之而得四率也其名目之多乃是造此諸率之法随題異形稍有分别耳 新譯幾何原本序代曾文正公 張文虎 幾何原本前六卷明徐文定公受之西洋利瑪窦氏同時李涼庵彙入天學初函而圜容較義測量法義諸書其引幾何頗有出六卷外者學者因以不見全書為憾鹹豐間海李壬叔始與西士偉烈亞力續譯其後九卷複為之訂其舛誤此書遂為完帙松江韓綠卿嘗刻之印行無幾而闆毀于寇壬叔從餘安慶軍中以是書子曰此算學家不可少之書今不刻行複絕矣會餘移駐金陵因屬壬叔取後九卷重校付刊繼思無前六卷則初學無由得其蹊徑而亂後書籍蕩泯天學初函世亦稀觏近時廣東海山仙館刻木纰缪實多不足貴重因并取六卷者屬校刊之我中國算書以九章分目皆因事立名各為一法學者泥其而求之往往畢生習算知其然而不知其所以然遂有苦其繁而視為絕學者無他徒眩其法而不知求其理也傳曰物生而後有象象而後有滋滋而後有數然則數出于象觀其象而通其理然後立法以求其數則雖未前人已成之法而設之若合符契至于探赜索隐推廣古法之所未備則益遠而無窮也幾何原本不言法而言理括一切有形而概之曰點線面體點線面體者象也點相引而成線線相遇而成面面相疊而成體而線與線面與面體與體其形有相兼有相似其數有和有較有有等有無等有有比例有無比例洞悉乎點線面體而禦之以加減乘除譬諸閉門造車出門而合轍也奚敝敝然逐物而求之哉然則九章可廢乎非也學者通乎聲音訓诂之端而後古書之奧衍者可讀也明乎點線面體之理而後數之繁難者可通也九章之法各适其用幾何原本則徹乎九章立法之源而凡九章所未及者無不赅也緻其知于此而驗其用于彼其如肆力小學而收效于籍者欤 象數一原序一 項名達 方圜率古不相通也徑求周以勾股衍算不易割圜弧矢率又甚西人八妙矣求八必資六宗三要二簡法非可徑求所以然者方有盡圜無窮勢難強合也自杜氏術出而方圜之率始通其術用連比例一率半徑二率通弦三率倍矢由是遞求諸率有徑即得周有弦矢即得弧有弧亦即得弦矣其算捷其數亦最真顧是術也梅氏赤水遺珍載焉而未釋明靜庵先生捷法解釋焉而未抉其原當自為一書非正釋也自董氏術出而方圜率相通之理始顯術凡四曰求倍分弦矢求析分弦矢審定乘除法以明率數倍分率圜所以通方也析分率分所以通圜也其釋倍分率以方錐堆而方錐堆實出于三角堆弦之二率即兩堆根相并數四率即兩立積相并數矢之三率即兩平積相并數五率即兩三乘積相并數四五率以下多乘積以還莫不如是故遞次乘除皆求堆積法也而即以之求弦矢弦之分有奇無偶矢之分奇偶俱全至析分率則三角堆無其數即假倍分之率較量而反釋之可為獨具隻眼矣所疑者堆積既與率數合何以有倍分無析分倍分中弦率又何以有奇分無偶分且弦矢聯于圜中于三角堆何與蓄是疑有年丁酉歸自苕南舟中偶念此恍然曰三角堆數起于一遞加一得堆根遞加根得平積遞加平積得立積遞加數也弦矢率由圜中兩等邊三角挨次比例而生亦起于半徑之一半徑即一率遞加一率得二率遞加二率得三率遞加三率得四率亦遞加數也數有整必有零起整分者曰整數遞加祗一式即三角堆相連兩根積相并與倍分矢率倍分中奇分弦率等數起零分者曰零數遞加有無量式不可以三角堆名依式推衍倍分中偶分弦率及析分弦矢率實參列其間不惟若是倍分者一分弧之幾常以一為分母析分者幾分弧之一常以一為分子今得零分則分子母不必定一任設幾分弧之幾無不可求因立此弧求他弧兩術以補所未備又不惟若是分子母既可任設則六十度通弦倍矢與與半徑等諸率齊同取為分母任設某度為分子并諸率本數可省去不求但求遞加差數即得逐度分秒之正弦正矢因更立半徑求弦矢兩術以備制表之用似便于用弧約言之弦矢諸率其比例生于兩等邊三角其數本于遞加兩等邊三角尖象也遞加數尖數也通方圜必以尖故自來割圜術不離勾股而得其象未得其數取數不無繁重自有零整分遞加而後象與數會分于是定率亦于是通分即遞加數之根率即遞加數之積分以子母管乎外圜涵方也率以奇偶應乎内方就圜也割圜術至此始無餘蘊爰乘數月暇着為圖說二卷友人王子琴逸嗜算術遍涉中西見是術愛之欲與杜董術合刊為一冊囑餘序其大意餘因詳術所由不嫌辭費者亦以此通貫方圜之率非董氏理無自彰非杜氏法無自立非句股割圜等法以為導亦無自察象稽數以底于至精然則古人創始之難其可忽哉 象數一原序二 項名達 向玩弦矢諸率會得遞加數複析圜得兩等邊三角其象适與數會因草成圖解一冊聊自達意而脫甚多丙午冬謝去紫陽講席筆墨就閑漸編定整分半分起度兩種弦矢率而梁楚香中丞複以紫陽大小課藝囑選辭不獲遂又見阻楊缃芸農都在京見舊刻割圜捷術序中言及圖解亟思一見丁未冬來杭見訪因示以所編缃芸謂書未半而君年垂邁是書斷不可不成且不可緩成克期以一載臨别尚諄切緻囑餘感其意為之定書名曰象數一原卷一曰整分起度弦矢率論卷二曰半分起度弦矢率論卷三卷四曰零分起度弦矢率論卷五曰諸術通诠卷六曰諸術明變随将卷三編定選課畢複阻于病今夏始将卷四着有六紙不料病軀重感濕熱兼肝乘脾幾不可救醫治兩月無起色乃又重感燥火緻髒腑無不病者遍體血脈不行醫盡束手自知殘燈微焰斷難久延而是書從此擱筆矣缺而不完世間事大都如是何必戀戀所歉者負缃芸諄囑之心耳然書雖未完而零分各腰率零分遞加數卷三中已衍成其式惟義赜緒繁拟分條詳論于卷四業論至易率法之相當率寄分畢則論用率寄分論定率寄分皆宜分别奇偶論之而易率法畢次論衍遞加數法亦論寄分論子母論正負論奇行偶行積子母互異論直行并行積子母互異而遞加數畢次論遞加數即各形腰率而正負不同論心角形腰與腰較率正負相反論并積即弦矢率易正負有定法論矢率弦率子母全半之不同而弦矢率畢末乃依半分起度式分六術以明其算特彼論全半此論子母異同處略一分别可也至卷五卷六皆有舊稿且經編定隻須照式錄之今将各卷總為一束設有本鄙意而續成者惟條論稍難六術則易于從事無續成者卷四作未完之書亦無不可 對數簡法跋 項名達 求對數舊法言之綦詳而數重緒多初學恒未易了鄂士先生揭其精要而變通之着為對數簡法首論開方自淺入深而約以七術繼複立累除法省數十次開方用表已備極能事尤妙者舍開而求假設數夫對數折半真數開方開至單一下空多位之零數于是真數對數遂得其會通此開方所由重也顧必累開不已始得會通何如徑就會通處假一數以通之迨展轉相通而七十二對數之等差已備具于假設諸數中一比例而定準之數出矣以是知數之為用帶零求整難設整禦零易憑所知課所求順推而入難借所求通所知逆轉而出易苟悟此可以得用數之方豈惟是對數一門有裨後學耶 對數簡法識 戴煦 對數以加減代乘除用之甚便而求之甚難舊法求諸對數皆先求自一至九遞至單一下九空位零一至九之九十九數而求之之法大略有三先定十百千萬之對數而其間之零數則用中比例累求而得以首率末率兩真數相乘開方得中率之真數以首率末率兩假數相加折半得中率之假數漸求漸近以至适合如舊法求九之假數用中比例求至二十六次而得八位之對數此一法也凡假數之首位因真數之位數而遞加以真數遞次自乘至多位而其位數即假數首位以前之數然後以自乘第幾率除之即得真數第一率之假數如舊法求二之對數自乘至一千三百餘億率除自乘之位數四百十餘億位而得十二位之假數又一法也既定十之對數為一乃以真數十開方五十四次三十三位以假數折半五十四次為逐次假數列為開方表乃以第五十四次真假兩數比例得單一下十五空位零一之假數為率于是以應求對數之真數開方四五十次求得十五空位與為比例然後以開方第幾次之率數乘之而得二十二位之假數或真數開方二十餘次求得九空位與表内九空位開方數為比例亦以率數乘之而得十三四位之假數如舊法求二與六之對數又一法也顧此數法布算極繁甚至經旬累月而不能竟求一數故言算者鮮不望之而生畏夫立泣太繁則較算不易深慮寖久而失其真也因複詳加探索始悟求十一二位之對數開方表祗須二十一次一十四位已屬敷用而既有開方表則求諸對數可不必更開方較之舊法省算數倍且不特此也凡諸對數皆定于十之對數而實生于單一下五六空位零一之對數今欲以十之對數求單一下五六空位零一之對數勢不得不屢次開方若借一算為單一下五六空位零一之對數轉求十之借數即可得其比例之率知累除之法可代開方而用二十一次之開方表猶屬舍易求難然是術也立法殊簡用意非深西士若往讷白爾之徒既能立對數慮無有不知此者意者彼時歐邏巴人故匿其易而術其難以誇中土欤茲為揭出俾求對數者有取焉 續對數簡法 戴煦 前歲之秋予以對數簡法呈梅侶項先生翼日謂予曰遞求數可開平方亦可開諸乘方會得二術屬稿未定予歸而思之亦得二術以呈先生而先生亦以定稿見示其逐數皆正一術與予正負相間者不同其第一數正而以下皆負一術則若合符節焉于是開諸乘方遂有三術予思既有三術必更有一術因補衍之将呈先生而先生适以補衍一術見示又若合符節焉惟先生以乘數加一為廉率謂諸乘方第一廉與末一廉之數也而予以連比例率推之複一一合因以其法用代累乘求積亦無不可通乃知廉率本生于連比例率也夫對數開平方多次以開方舊法至十二乘已屬繁重斷難開至億兆乘故以平方代開耳今開諸乘方既通為一法可不必代開由是因繁得簡複推得開極多位九乘方之法而對數之簡法出矣前術用假設對數乃立天元一術即西人之借根方但天元一可乘而不受除常寄除法為母今須累除數百次則寄母極繁不可算不得不徑用除法則數百次之畸零累積其差甚大故難求至多位不如連比例遞求數之所差極微也至對數還原即代累乘求積之法而變通之因亦類焉 對數生于連比例率如設一數為本數第一率命為方根則其自乘之積為倍大第二率再自乘之積為倍大第三率三自乘之積為倍大第四率故以本數之對數二乘之即自乘積之對數三乘之即再乘積之對數四乘之即三乘積之對數若反言之則設一數為本數第一率命為方積而其開平方之根為折小第二率開立方之根為折小第三率三乘方之根為折小第四率故以本數之對數二除之即平方根之對數三除之即立方根之對數四除之即三乘方根之對數推之多乘其倍大折小之率莫不皆然然倍大各率與連比例率相應而折小各率不相應者謂二率平方積自乘一率方根除之得三率立方積二三率平方立方二積相乘一率方根除之得四率三乘方積推之各率皆然析小各率則不然倍大之率率數也故求對數用乘法折小之率率分也故求對數用除法倍大不僅率數亦有率分如以二率之二除一率之一得０五即倍大第二率之率分以三率之三除一率之一得０三三三零即倍大第三率之率分折小不僅率分亦有率數如０五即折小第二率之率數０三三三零即折小第三率之率數其倍大折小同率之率分率數恒兩兩反對其每率之率分率數恒與第一率之一為三率連比例而必以一為中率故以率分除之或以率數乘之得數必同且不特此也率有整亦有零整率者如倍大折小一二三四第率非率分為整數即率數為整數零率者如有一數較本數開平方根則不足較本數開立方根則有餘其率分必為二而下帶畸零小餘或較本數自乘積則有餘較本數再乘積則不足其率數亦必為二而下帶畸零小餘而以此種帶畸零之率分或率數為首率一為中率求其末率必仍帶畸零是此種倍大折小之率分率數皆帶畸零而成零率矣若今所用之對數正真數之率數也非率分而其本數為一率為一０故一０之對數為一即一率之一而一００為本數倍大第二率其對數亦為二一０００為本數倍大第三率其對數亦為三若一以上一０以下自二至九則不滿一率故對數首位為０而下帶畸零一０以上一００以下自十一至九十九則不滿二率故對數首位為一而下帶畸零此即所謂零率也知對數之為連比例率數而求對數之法可得而言矣 倍大率 率數一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００ 一率 方根 二率 平方積 三率 立方積 四率 三乘方積 五率 四乘方積 六率 五乘方積 七率 六乘方積 八率 七乘方積 九率 八乘方積 十率 九乘方積 率分一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００ 折小率 率數一００００五０００三三三０二五００二０００一六六０一四二０一二五０一一一０一００ 一率 方積 二率 平方根 三率 立方根 四率 三乘方根 五率 四乘方根 六率 五乘方根 七率 六乘方根 八率 七乘方根 九率 八乘方根 十率 九乘方根 率分一０００二０００三０００四０００五０００六０００七０００八０００九０００十０００ 以本數為積求折小各率 第一術 法檢本率乘數之開方初商表取其較小于本數者以其根為第一數正　次以本數為除法以初商實減本數其減餘數為乘法其所求第幾率名為率分乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第二數正　以乘法乘第二數除法除之又以率分加一乘之二因率分除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之二因率分加一乘之三因率分除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之三因率分加一乘之四因率分除之為第五數正　如是遞求至應求位數乃并諸正數得所求 按此術項氏所定 第二術 法檢本率乘數之開方初商表取其較小于本數者以其根為第一數正　次以初商實為除法以初商實減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第二數正　乘法乘第二數除法除之又以率分減一乘之二因率分除之為第三數負　乘法乘第三數除法除之二因率分減一乘之三因率分除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之三因率分減一乘之四因率分除之為第五數負　如是遞求至應求位數乃并諸正數并又諸負數減之得所求 按此術予所定 第三術 法檢本率乘數之開方初商表取其較大于本數者以其根為第一數正　次以初商實為除法初商實内減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第二數負　乘法乘第二數除法除之又以率分減一乘之二因率分除之為第三數負　乘法乘第三數除法除之二因率分減一乘之三因率分除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之三因率分減一乘之四因率分除之為第五數負　如是遞求至應求位數乃并諸負數減第一正數得所求 按前開平方七術即此法 第四術 法檢本率乘數之開方初商表取其較大于本數者以其根為第一數正　次以本數為除法初商實内減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率分除之為第一數負　乘法乘第二數除法除之又以率分加一乘之二因率分除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之二因率分加一乘之三因率分除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之三因率分加一乘之四因率分除之為第五數正　如是遞求至應求位數乃并諸正數又并諸負數減之得所求 按前二術予所定與項氏所定暗合 以本數為根求倍大各率 第一術 法任截本數幾位依本率乘數累乘之為一數正　次以本數為除法本數内減截去數為乘法其所求第幾率名為率數乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數正　乘法乘第二數除法除之又以率數加一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數加二乘之三除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之率數加三乘之四除之為第五數正　如是遞求至單位下乃并諸正數得所求 第二術 法任截本數幾位依本率乘數累乘之為第一數正　次以截去數為除法本數内減截去數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數正　乘法乘第二數除法除之率數減一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數減二乘之三除之為第四數正　乘法乘第四數除法除之率數減三乘之四除之為第五數正　如是遞求至率數減盡而止乃并諸正數得所求 第三術 法任截本數幾位于末位加一依本率乘數累乘之為第一數正　次以截去數加一為除法截去數加一内減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數負　乘法乘第二數除法除之率數減一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數減二乘之三除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之率數減三乘之四除之為第五數正　如是遞求至率數減盡而止乃并諸正數又并諸負數減之得所求 第四術 法任截本數幾位依前術加一依本率乘數累乘之為第一數正　次之本數為除法截去數加一内減本數其減餘數為乘法乃以乘法乘第一數除法除之又以率數乘之為第二數負　乘法乘第二數除法除之率數加一乘之二除之為第三數正　乘法乘第三數除法除之率數加二乘之三除之為第四數負　乘法乘第四數除法除之率數加三乘之四除之為第五數正　如是遞求至單位下乃并諸正數又并諸負數減之得所求 按有本數求倍大折小各率本通為一法非有二義其第二數倍大用率數乘者緣率分率數與單一為三率連比例率分為首率則單一為中率率數為末率故以率分除之之數即同于率數乘之之數而折小各率率分整而率數零故用率分為便倍大各率率數整而率分零故用率數為便也其第三數以率數加減一乘之二除之者緣連比例首率與中率之比同于中率與末率之比前四術首率内加減中率乘之倍首率除之後四術中率内加減末率乘之倍中率除之其得數必同也以下各數義仿此其第二三術與前第二三術正負各異者緣乘法雖雲率數内減一實一内減率數其減餘為負算故乘為負乘既為負乘則乘後之正負必變故能變逐數皆負者為正負相閑變正負相間者為逐數皆正也其率數減盡而止者凡算例以适足為實任以正數負數乘除之必仍為适足或正負數為實以适足數乘除之亦為适足故率數減盡則以下無數也又按前四術可為開方捷法後四術所求止須以本數累乘即得而挨次遞求似乎較煩然開方與累乘但能求倍大折小各整率若前八術則凡第一數可知者雖零率亦可求用之對數為尤要也又按每數通用之乘法除法若先以除法除乘法用為遞次乘法則一次乘可代一乘一除若先以乘法除除法用為遞次除法則一次除可代一乘一除 論對數根 對數根者諸對數之所生即單一下無數空位零一之對數也舊法以一０為積開方五十四次以其方根單一下空位後所帶之零數為一率單一折半五十四次即一兆八千餘億除單一之數為二率單一下十五空位零一之一為三率求得四率為對數根夫以一０為積開方五十四次即以一０為本數第一率求折小第一兆八千零一十四萬三千九百八十五億零九百八十四萬一千九百八十四率也今有本數即可求折小各率則是第五十四次開方數可以徑求矣既可徑求則求第一兆八千餘億率不如求第一無量數率一無量數猶雲一千或一萬何也一兆八千餘億率為第五十四次開方數之率分其位數甚多用連比例求得率數亦有多位即第五十四次開方數之對數而布算甚繁一無量數數雖極大而仍為一不過一下有無數空位耳以為首率用連比例求末率必為單位下無數空位零一此即求對數根四率之二率數既為一可省多位乘法一次且一無量數較一兆有零為尤密也 今定一０之對數為單一求對數根 法先以一０開平方五次或開平方三次三乘方一次或平方一次三乘方二次皆可但取其降位易而已得折小第三十二率一０七四六０七八二三二一三一七四九七為對數根之用數用數見後第三十二率以前各率為用數則降位稍難若三十二率以後皆可為用數不必定用三十二率也置用數減去首位單一以除用數得一四四０三四一九二一八八六八六五三九為遞次除法用數為通田除法用數減首位為通用乘法此即前所雲以乘法除除法　遞次除法則一次除可代一乘一除也乃以除法除單一以折小率三十二乘之得二二二一六九四六九０二四九六三二六六為第一數正　除法除第一數一乘之二除之得七七一二三八六四０一０六七八三０為第二數正　除法除第二數二乘之三除之得三五六九七０一六四九二五一二二為第三數正　除法除第三數三乘之四除之得一八五八七七八二四九九八０五為第四數正　除法除第四數四乘之五除之得一０三二四０九四四二０八三為第五數正　如是遞求得五九七三一七三三七四一為第六數正０三五五四六一六三一三為第七數正　二一五九四一０四六為第八數正　一三三二六五三０為第九數正０八三二七一０為第十數正　五二五五七為第十一數正　三三四五為第十二數 正　二一四為第十三數正　一四為第十四數正　一為第十五數正　乃并諸正數得二三０二五八五０九二九九四０四五七七為首率單一為中率求得末率０四三四二九四四八一九０三二五一八一一即對數根也 用數　　一０七四六０七八二八三二一三一七四九七 除法　　一四四０三四一九二一八八六八六五三九 第一數　　二二二一六九四六九０二四九六三二六六　除法除之一乘二除得 二　　　　　七七一二三八六四０一０六七八三０　同　　　二　三 三　　　　　　三五六九七０一六四九二五一二二　同　　　三　四 四　　　　　　　一八五八七七八二四九九八０五　同　　　四　五 五　　　　　　　　一０三二四０九四四二０八三　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　五九七三一七三三七四一　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　三五五四六一六三一三　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　二一五九四一０四六　同　　　八　九 九　　　　　　　　　　　　　一三三二六五三０　同　　　九　十 十　　　　　　　　　　　　　　　八三二七一０　同　　　十　十一 十一　　　　　　　　　　　　　　　五二五五七　同　　　十一十二 十二　　　　　　　　　　　　　　　　三三四五　同　　　十二十三 十三　　　　　　　　　　　　　　　　　二一四　同　　　十三十四 十四　　　　　　　　　　　　　　　　　　一四　同　　　十四十五 十五　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一 得數　首率　二三０二五八五０九二九九四０四五七七 中率　一 末率　０四三四二九四四八一九０三二五一八一一 按此即以一０為本數第一率依第一術求折小第一無量數率也其第一數本為單一凡求極多率者初商恒為單一依對數例以單一下之零數為比例而截去首位故置第一數不用而竟以第二數為第一數也其以三十二乘之者緣用數系本數之折小第三十二率當于求得數後以三十二乘之為所求數而以三十二乘第一數其得數亦同也所異者求法既依第一術則第二數應以一無量數加一乘之二無量數除之而何以用一乘二除不知求極多率者無加一之差也今試以九乘方言之其率分為十其乘法十一與除法二十之比較一與二之比所差尚大若兩位九乘方謂九十九乘方其率分為百而一百零一與二百之比較一與二之比所差較微若三位九乘方謂九百九十九乘方其率分為千而一千零一與二千之比較一與二之比其差更微由是推之多位九乘方則其差必極微而可以不計矣苴非特不計已也譬之割圓有大弧弦求析分小弧弦每數乘法有分子之減差析之愈小減差愈微若求弧則有分母無分子并此減差而無之稍有減差則亦稍有觚棱而非真弧矣求對數根亦然必須開無窮無盡極多位九乘方并此加差而無之然後求至數百千位而無不合若稍有加差則必滞于第幾率而求至多位反不合矣即如開平方五十四次而所求之對數根不過十五六倍若欲增求一位必須再開[三四]次不能如前法之求幾位即得幾位者以其滞于一兆八千餘億率也然則一乘二除二乘三除正開無窮無盡極多位九乘方之法無以名之姑名其折小第一無量數率耳 論用數 前言有本數求折小第一無量數率可以徑求此立法也而法有所窮必須先求三十二率何也多率之開方初商表其數極繁惟初商單一則任折小至多率而初商實亦必仍為單一幸而求折小多率者其首位必為單一故用第一第二兩術其第一數必為單一而初商實猶可知若用第三四術則初商必為二而初商實即極繁而不可求矣然即用第一二術而其中又有窒今試以一０為本數依第一術求之則以一０為除法初商實一減一０得九為乘法乘除法相差甚微而位不降位不降即不能遞求依第二術則一除九乘位不惟不降而反升尤不能遞求是窒也夫求折小多率者其本數必須單一下有空位空位後帶零數則減餘數小而可求今本數一０既非單一又無零數則必假一單一下有空位帶零數之數以求之此用數之所由來也而求用數約有四法以本數先求折小第幾率為用數其第一數以折小率若幹乘之然後遞求此一法也以本數首位降為單位以自二至九自一一至一九諸數累除之為用數求得數後以除法對數加之視降幾位再首位加幾又一法也以本數先求倍大第幾率以首位降為單位為用數求得數後視降幾位則首位加幾然後以倍大率若幹除之又一法也置本數以自二至九累乘之以首位降為單位為用數求得數後視降幾位首位加幾然後以乘法之對數減之又一法也然第一法取數不易而有畸零惟求對數根不得已而用之第二法亦有畸零第三法雖無畸零而不得必得諸數之倍大率不能辄得首位為一而下有空位也惟第四法既無畸零且可必得故求用數可以倍大率求者則用倍大率其不可用倍大率者則用借數累乘法為便也 假如以倍大率求二之用數 法以二自乘九次得一千零二十四為二之倍大第十率降三位得一０二四為二之用數 假如以累乘法求七之用數 法以七用二乘之得十四又以八乘之得一百一十二又以九乘之得一千零八降三位得一００八為七之用數 假如兼用倍大率及累乘法求三之用數 法以三自乘再乘得二十七為三之倍大第三率以四乘之得一百零八降二位得一０八為三之用數 論借數 借數者自二至九共八數借為累乘之數也凡諸數擇八數内之數乘之皆可得首位為一而下有空位故借數不必廣求即八數而已足但由用數求得之對數必以乘法之對數加之則必先求借數之對數而借數雖有八數實止三數何也二五四八本通為一數三六九亦通為一數惟七則自為一數故有三數之對數而八數之對數已備有八數之對數而諸數之用數亦無不備矣 假如有對數根求二與四與五與八之對數 法依前求得二之用數一０二四減去單一得００二四為遞次乘法乃以乘法乘對數根得００一０四二三０六七五六五六七八０四三凡乘法在單位下則乘得數小于原數為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一二五０七六八一０七八八一三七為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得二００一二二八九七二六一０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得三六０二二一二一五０七為第四數負　如是遞求得六九一六二四七三三為第五數正０一三八三二四九五為第六數負　二八四五五四為第七數正　五九七六為第八數負　一二七為第九數正　三為第十數負　乃并諸正數得００一０四二五０六九四八六五六００六七又并諸負數得００００一二五一一二八四六七四八一一八以負減正得００一０二九九九五六六三九八一一九四九為用數之對數以用數系降三位乃于首位加三得三０一０二九九九五六六三九八一一九四九為一千零二十四之對數以一千零二十四系二之倍大第十率乃以十除之得０三０一０二九九九五六六三九八一一九小餘四九為二之對數也 求四之對數者以四即二之倍大第二率乃以二之對數二乘之得０六０二０五九九九一三二七九六二三０００ 求五之對數者００００相乘即十乃以十之對數單一内減二之對數得０六九八九七０００四三三六０一八八０三一即五之對數 求八之對數者以八即二之倍大第三率乃以二之對數三乘之得０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七即八之對數 用數　　一０二四 乘法　　００二四 第一數　００一０四二三０六七五六五六七八０四三　乘法乘之一乘二除得 二　　　　　　一二五０七六八一０七八八一三七　同　　　二　三 三　　　　　　　　二００一二二八九七二六一０　同　　　三　四 四　　　　　　　　　　三六０二二一二一五０七　同　　　四　五 五　　　　　　　　　　　　六九一六二四七三三　同　　　五　六 六　　　　　　　　　　　　　一三八三二四九五　同　　　六　七 七　　　　　　　　　　　　　　　二八四五五四　同　　　七　八 八　　　　　　　　　　　　　　　　　五九七六　同　　　八　九 九　　　　　　　　　　　　　　　　　　一二七　同　　　九　十 十　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三 正數　　　００一０四二五０六九四八六五六００六七 負數　　　００００一二五一一二八四六七四八一一八 減得　　　　００一０二九九九五六六三九八一一九四九 首位加三　　三０一０二九九九五六六三九八一一九四九 十除之　　　０三０一０二九九九五六六三九八一一九四九　二之對數 二乘之　　　０六０二０五九九九一三二七九六二三八九八　四之對數 以減單一　　０六九八九七０００四三三六０一八八０五一　五之對數 三乘之　　　０九０三０八九九八六九九一九四三五八四七　八之對數 假如求三與六與九之對數 法依前求得三之用數一０八減去單一得００八為遞次乘法乃以乘法乘對數根得０三四七四三五五八五五二二六０一四四九為第一數正　乘法乘第一數一乘之二除之得一三八九七四二三四二０九０四０五八為第二數負　乘法乘第二數二乘之三除之得七四一一九五九一五七八一五五０為第三數正　乘法乘第三數三乘之四除之得四四四七一七五四九四六八九三為四數負　如是遞求得二八四六一九二三