卷七 學術七測算上

己午未寅酉申十球子為上層辰醜卯為中層己午未寅酉申為下層試自子辰醜卯四球心作甲乙丙丁六邊形棱六角四平鋪之則面亦四如壬辛各成一等邊三角形試以乙丙丁一面為底取乙丙一邊為弦丁丙一邊折半為句求得乙戊股為底面之中垂線又以甲丙一邊為弦己丙中垂線三分之二為句求得甲己股為自尖至底中心之立垂線即六邊行之高亦即上層球心至中層球心之高亦即中層球心至層底球心之高故倍之加上下二半徑得垛頂至平面之高 又法以倍球徑為邊作六等邊形如前法求得立垂線加球徑即得如前圖甲乙邊倍則甲己立垂線必倍故加球徑即得 又法以每邊自乘三歸二因開平方即得自尖至底中心之立垂線如前圖戊丙為甲丙線之半則戊丙方為甲丙方四分之一甲戊方必為甲丙方四分之三亦十二分之九又己戊線為甲戊線三分之一則己戊方為甲戊方九分之一甲己方必為甲戊方九分之八亦即甲丙方十二分之八亦即甲丙方三分之二故以每邊自乘三歸二因開平方得立垂線 今有官司依平方招兵初日方邊四尺以後每日遞加二尺每人日給銀一兩二錢已支銀二萬六千零四十兩推招了幾日已招若幹兵 黎子祥 答曰共招十四日 招兵四千九百五十六名 *算式略 瓜豆同日發芽生蔓瓜蔓初日長一尺六寸以後每日所長遞減半豆蔓初日長一寸以後每日所長遞加半二蔓第幾日相等 蔡錫勇 答曰五日 解曰此即連比例率數瓜蔓初日所長為末率豆蔓初日所長為首率得若幹率數即二蔓相等日數以代數明之 *算式略 于此可見未之指數必比層數減一命層數于天則末率恒為●即●準代數之理上式可變為●為首率一之對數等于　故以二之對數一0三除瓜蔓初日所長一尺六寸之對數四0二一得四加一得五為相等日數 有平句有明股求圓徑 長秀 *算式略 有邊股有平句股較求圓徑 廷铎 *算式略 有底句有明股求圓徑 長秀 *算式略 有底弦較和有高句股較求圓徑 辛澤賢 *算式略 有斷句股較有大弦和和求圓徑 聯印 *算式略 有明弦有底句求圓徑 斌衡 *算式略 有明句有平弦求圓徑 巴克他讷 *算式略 有平句股較有弦求圓徑 李逢春 *算式略 有底弦和較有句弦較求圓徑 左庚 *算式略 有斷句股較有句弦較求圓徑 韓常泰 *算式略 有斷句股較有明弦較較求圓徑 王鎮賢 *算式略 有大差弦和較有斷句股較求圓徑 任敬和 *算式略 有斷句股較有大弦和和求圓徑 王锺祥 *算式略 有股弦較有明句弦較求圓徑 王鎮賢 *算式略 有虛句股和有大中垂線求圓徑 赓善 *算式略 有容方邊有[]句股較求圓徑 王鎮賢 *算式略 有圓城甲出北門東行二百步而立乙出南門直行回望見甲與城參相直複斜行至甲處其行五百六十步求城徑若幹 廷俊 答曰二百四十步 立天元一為半徑倍之即大弦和較甲行之路等于底句乙共行之路等于底弦明股和底句内減天元得甲[元]為大股弦較二底弦明股和内減二底句得　為二明三事和即二大句弦較以乘大股弦較得　寄左另以大弦和較自之得元　為同數與左相消得二　　開方得半徑倍之即全徑 *算式略 二明股弦較等于虛弦和較試作圖解 陳壽田 *圖略 如圖甲乙丙明句股卯丙午虛句股試自圖心己至切點作己戊線癸午與午戊等丙乙與丙戊等則丙午虛弦與丙乙午癸和等加卯丙午卯虛句股和得卯乙卯癸和為虛和和與乙醜等試取丁點令甲丁等于明弦則乙丁為明股弦較夫甲己與甲午等甲丁甲丙同為明弦以甲己減甲丁得丁己以甲午減甲丙得丙午為虛弦依顯丁己亦為虛弦複取己子令與丁己等則子醜亦為明股弦較與乙丁必等丁子必為二虛弦以乙醜虛和和減之得乙丁子醜二之虛弦和較亦即二明股弦較故二明股弦較等于虛弦和較也 虛句弦較等于句股較試作圖解 英铎 *圖略 如圖子醜虛句丁戊弦以子醜與醜戊句相加得子戊為平句以丁戊與地丁股相加得地戊亦為平句試于子戊平句内減去丁戊弦餘必等于地丁弦再于地丁股内減[醜戊]句餘即為句股較也 大股内減邊弦等于平句股較試作圖解 陳壽田 *圖略 如圖戊為圓心甲乙為大股作丁戊線與醜戊正交戊丁丙平句股甲丁壬為邊句股甲丁為邊弦丙丁為平句丙戊平股與丙乙等則丁乙即平句股較以甲乙減甲丁得丁乙即平較故大股減邊弦等于平句股較也 大股内減平句股較等于邊股平句和試作圖解 懿善 *圖略 如圖甲乙丙大句股甲己丁邊句股丁戊丙平句股甲乙大股甲己邊股丁戊平股己乙等取己庚如丙戊為平句己乙平股内減己庚平句即庚乙平句股較故甲乙大股内減庚乙平句股較等于甲己邊股加己庚平句 句股和内減虛股弦較等于弦試作圖解 承霖 *圖略 如圖庚壬丙為半徑為股之平句股其弦則庚己虛弦己丙弦和其股則庚戊虛股戊壬股和其股弦較必為虛股弦較股弦較和而丁辛乙辛同為半徑則平股弦較又等句依句股例和較小較相加為句則[虛]虛股弦較必等弦和較句股和減弦和較即虛小較故等于弦 明股句相乘等于虛句股積試言其理 王宗福 *圖略 如圖甲子己大句股外之丙天丁為虛句股今自圓心作甲己之垂線心地則丙地等丙辰明句地丁等丁戊股天辰内減天丙虛句餘為半虛較和天戊内減天丁虛股餘為半虛較較緣天辰天戊均為半虛和和故按較較乘較和等于二直積則明句之半虛較和乘股之半虛較較必等于虛句股積惟明句乘股原等于句乘明股故明股句相乘等于虛句股積 高股乘平句等于明股弦和乘句弦和試作圖解 胡玉麟 *圖略 如圖甲乙丙大句股乙丁容圓方自心至切點作戊己線正交甲丙則辛己戊為高句股戊己庚為平句股以半徑為勾半徑為股故己癸等癸寅己子等子醜則辛己高股為明句弦和己庚平句即為股弦和故明句弦和高股與句弦和比若明股弦和與股弦和平句比 大差句乘小差句等于虛句乘大股亦等于邊股乘倍股試作圖解 胡玉麟 *圖略 如圖甲乙丙大句股乙丁容圓方戊辰丙底句股癸午丙平句股子寅大差句己醜小差股自圓心至切點作甲丙正交線辛壬則戊壬辛為高句股辛壬癸為平句股以半徑為句半徑為股故壬癸等丙午壬丙即等丙辰則戊丙底弦減壬丙底句餘戊壬等甲庚庚乙原等戊辰則甲乙大股即為底弦較和又壬己等己未子壬即等子卯作己申線與丙乙平行作子酉線與丁醜平行則戊申等戊壬申辰即為底弦和較等申辰之己醜亦為弦和較子酉癸亦為平句股辛未等丁未則未癸為平股弦較未酉即為平弦和較等未酉之丁子亦為其弦和較夫寅丁全徑原為二平股内減丁子平弦和較則子寅大差句即平弦較和也故平弦較和大差句與底弦較和大股比若平弦和較虛句與底弦和較小差股比 又壬子等子卯寅亥等寅卯甲壬即等甲亥則壬癸即為邊股弦較壬癸原等癸酉則酉亥即為邊弦和較等酉亥之子寅亦為其弦和較又壬己原等己未醜辰原等醜未二壬丙即小差三事和内各減己丙小差弦[餘]二己壬股即為小差弦和較故邊弦和較大差句與小差弦和較[二股]比若邊股與小差股比 弦和較乘弦和和等于二直積試作圖明其理 汪遠焜 *圖略 如圖甲乙丙句股形以弦句為半徑各作圓引長乙丙股至己及丁末作甲己甲戊二直線則成甲丙己甲丙戊大小二同式句股形丁戊小句股較本形弦和較與甲丙[小股]本形句之比若丙壬丙己内減去等丙戊之己壬即