卷七 學術七測算上

為三之一又己甲為己癸三之二己壬必為己戊三之二辛壬與丁戊平行則辛己必為丁己三之二丙己五六六六六辛己一一三三三三 有膛徑尺五若以鐵較水重八倍求其子輕重若何 貴榮 法以方圓邊線相等體積不同定率立方一九　九八五九三一七為一率球積一　　　　　　　　　　為二率膛以一五自乘再乘得三三七五為三率求得四率一七六七寸又一九　九八五九三一七之二七八五八六八六一為球積再以水每方尺率七十六斤化為一千二百一十六兩以一千寸除之得每方寸十二線又二十五分之四以乘球積得二一二　四再八倍之得一六九六三二以十六　除之得一千六百斤強即子重 有鎗子向上直放二十秒始落求其升高若幹并作圖明其理 文續 答曰一千六百尺 法以二十秒折半自之得一百以初秒所過之路十六尺乘之得一千六百尺即所求之高 *圖略 如圖甲乙丙三角形甲乙等縱線為時乙丙等橫線為速十秒内所過之路即為甲乙丙三角形積 有物下墜數秒而末秒之路為全路三分之一試求其秒數 時永清 答曰七秒又一七八二 二方根為一四一四二三方根為一六四三一兩根較為二二八九乃有比例 一率　兩根較　二二八九 二率　三方根一六四三一 三率　一秒 四率　七秒又一七八二 *圖略 如圖甲乙丙為全路積甲丁戊積為三分之二戊丁乙丙積為三分之一甲乙為共時丁乙為一秒甲乙丙積與甲丁戊積比若三與二比甲乙丙積與甲丁戊積比又若甲乙方與甲丁方比即三與二比若甲乙方與甲丁方比亦即三方根與二方根比若甲乙與甲丁比故三方根二方根較與三方根比若甲乙甲丁較之丁乙一秒與甲乙共時比 有一其最遠界二十裡移于高山頂高出平地四十裡下測一敵營須用四十五度方向方能及之求營距若幹遠 王宗福 答曰四十裡 *圖略 如圖甲為甲壬為四十五度方向醜為拋物線頂點甲辛即山高丁為敵營醜未五與丙未方一百比若醜未加己丁四五與己未方九百比得己三十即得甲己[即]辛丁距四十裡 今有台六百九十七尺長對面有敵國兵船從此頭視之成角八十四度四十分從彼頭視之成角八十六度三十分求船距二處及台與船最近之處相距各若幹 楊樞 答曰船距此頭四千五百三十一又距彼頭四千五百一十九尺台與船最近之處相距四千五百十一尺 *圖略 先求乙角法以丙角八十四度四十分與丁角八十六度三十分相并以減半周一百八十度餘八度五十分為乙角度數 次求乙丁邊 一率　乙角正弦　九一八六二八 二率　丙丁邊　　二八四三二三 三率　丙角正弦　九九九八一一 四率　乙丁邊　　三六五五　六 檢表得乙丁邊四千五百一十九尺 次求乙丙邊 一率　乙角正弦　九一八六二八 二率　丙丁邊　　二八四三二三 三率　丁角正弦　九九九九一八 四率　乙丙邊　　三六五六一三 檢表得乙丙邊四千五百三十一尺 末求乙戊中垂線 一率　半徑　一0000000 二率　丙角正弦　九九九八一一 三率　乙丙邊　　三六五六一九 四率　乙戊垂線　三六五四三0 檢表得四千五百一十一尺即台與船相距最近之處 今有兄弟三家欲掘井使距各家維均甲乙相距二十丈乙丙二十二丈丙甲二十四丈試推其井應在何處與距各家之遠近若何 左秉隆 答曰井與各家相距十二丈五尺有奇 *圖略 如圖以甲丙為一率甲乙乙丙和為二率甲乙乙丙較為三率求得四率為底邊較三丈五尺與甲丙相減半之為句以甲乙為弦求得股十七丈四尺餘為甲乙丙三角形之中垂線次以中垂線為一率甲乙為二率乙丙為[三]率求得四率二十五丈有奇為圓徑半之為井與各家相距數 今有弧矢田試作一界線平分為二分 杜法孟 *圖略 如圖丙乙甲弧矢田先作乙甲直線自乙甲弧折半丁點至壬作丁壬小矢自壬至丙作壬丙線以丁壬丙[為界](乙)即分弧矢田為兩平分 解曰丁壬甲等于丁壬乙自壬與乙丙平行作壬戊線與甲丙平行作壬辛線則成壬戊甲壬戊丙辛壬乙辛壬丙四句股形等式等積甲壬丙乙壬丙皆得二句股積故等 又解曰丁壬甲等于丁壬乙甲壬丙乙壬丙二三角形其底等甲壬等于乙壬其高又等同以壬丙為高故其積等 弧矢形内求任作相切二圓其心俱在弧背其周俱切弦其法若何 楊兆鋆 *圖略 法自大圓心作心甲半徑取甲點作戊辛之垂線甲丙以甲為心甲乙為度作圓乙即甲圓周切弦之一點引長甲丙線至丁作丁甲半徑甲即甲圓心切弦之一點自丁至戊作丁戊線割甲圓周于己即二圓切點乃作甲己線引長至弧背得庚點即為庚圓心以庚己為度作圓其切弦點為壬即丁戊線交弦之點也 三角内求作相等相切六圓 懿善 *圖略 平分三邊形之三邊于一二三作乙一丙二甲三三中垂線相交于丁平分丁甲一角作分角線遇丁一線于子以丁為心以丁子為度度于二三兩線遇于醜與寅則醜子寅為所求之三圓心而子一為其半徑若過子點作線與甲丙邊平行遇甲三丙二兩線于卯辰又自卯與辰各作線與甲乙乙丙兩線平行則得又三圓心 有長橢圓體及圓錐體橢圓短徑等于錐之底徑長徑等于錐高此二體和即等徑等高之圓柱試解其理 蔡錫勇 *圖略 如圖甲乙丙丁為圓柱積其長甲乙戊己丙丁并同即戊己庚辛橢圓體之長徑戊[乙](己)丁錐體之高其闊甲丙庚辛乙丁并同即橢圓體之短徑錐體之底徑夫渾圓本得同徑圓柱積三分之二錐體得三分之一橢圓亦然今以甲丙短徑求得甲壬丙癸圓面甲乙乘之為柱積三歸之為戊庚辛半橢圓積亦為戊乙丁圓錐積則戊庚己辛全橢圓積必得圓柱積三分之二戊乙丁圓錐積必得圓柱積三分之一故相并即圓柱積也 大球截積内求所容相等相切三球 蔡兆熊 *圖略 如圖子辰午為大球截積子午為截積通弦己午為正弦取醜未倍己午作醜未寅等邊三角形其中垂線寅己引長己申至卯今申卯等于半己申以卯為心寅為界截辰卯線于酉則酉己為小球全徑乃于截積平圓内面以圓心己為心酉己為邊作等[邊](趨)邊三角其三角點即小球切點也 又圖設三球心為乙為丙為甲作三線相連成乙甲丙等邊三角形其心為戊丁為大球心作丁戊丁丙成戊丙丁句股乃立小球半徑為天以代數求之 *算式略 依式是三正弦為方正字上大矢為長闊較開四個方得小球半徑三大矢為長闊較開一個方為小球全徑寅己方三倍午己方己卯為半較得酉己即為小球徑 六面體内容八面體其二體比例若何 汪鳳藻 *圖略 如圖甲乙正六面體先求作内容八等面體法取子乙乙醜醜卯卯子四面之心丙丁戊己四點作丙己己戊戊丁丁丙四線成丙戊直角四等邊形即内容八面體半錐體之底面次取子醜乙卯二面之心庚辛二點作庚丙庚丁庚己庚戊辛戊辛丁辛己辛丙八線成庚辛丁己八等面體其六角均切六面體之面心欲明二體之比例命六面體之一邊為甲八面體之一邊為乙以數明之 *算式略 不等面立三角求重心其法若何 汪鳳藻 法任以一面為底面求得其重心點自此點至頂角作線必過立三角重心複取一面如法作之得二線交點即所求準此自底面取重心線四分之一即重心 今有正圓球三角垛共十球球徑一尺求垛頂至平面高若幹 杜法孟 答曰二尺六寸三分強 *圖略 法自上層一球與中層三球四球心作六線成六等邊形邊與球徑等以一邊為弦半邊為句求得股為每一線之中垂線又以一邊為弦中垂線三分之二即分角線為句求得股為六等邊自尖至底中心之立垂線倍之加球徑為垛頂至平面之高 如圖子醜辰卯