卷七 學術七測算上
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算學捃華百篇
任測一恒星欲定北極度其法若何
汪鳳藻
*圖略
如圖甲己乙丙子午圈甲乙為地平丙為天頂丁為所推之北極則戊己為赤道任測一星如子欲定北極出地度法先測得子庚赤道北緯度戊庚星距午線赤道經度及子辛高度乃取丁子丙斜弧三角形用垂弧法作子醜垂弧高弧交地平點近子點則垂弧在形内出地度少近午點則垂弧在形外出地度多分原形為丁子醜子醜丙二正弧三角形有丁子弧象限減北緯子丙弧象限減高度丁角即戊庚赤經度及醜直角先求子醜垂弧次求丁醜及醜丙二弧相加得丁丙以減丙甲象限餘丁甲即所推北極出地度
金星二百二十五日一周某日與地同行試推須俟若幹日複[與地同行](推北極出地度)
蔡錫勇
答曰五百八十四日又五分日之二
按金星繞日一周為地球繞日一周八分之五乃有比例
一率 八五
二率 三六五四之一
三率 一 四率 五八四五之二
地距日一萬二千地徑求所受光熱有幾分
馬呈忠
答曰二十三億零四百萬分之一
法以天球面積除地球面積即得
*算式略
以地徑為一日徑為百零六日距地一萬二千月距地三十當月食推地影尖距月若幹遠
貴榮
答曰八十四又七分之二
*圖略
如圖甲乙為日徑丁戊為地徑壬辛為月徑丙己日距地一萬二千兩心相距己子月距地三十兩心相距命己醜為天乃有等數
*算式略
求得己醜一一四又一0五之三0約之得一一四又七分之二内減己子月距地三0餘子醜八四又七分之二為地影尖距月之度
已知月地距測日食東西視差以推日地距其法若何
楊兆蓥
*圖略
如圖甲乙為地面二測處丙為月人在甲見月在日面醜人在乙見月在日面子法先測兩處月過太陽面出入時刻以二處時刻之較變為角度量得子甲醜或子乙醜視差角又以甲乙二處距弧求得通弦甲乙而甲丙等乙丙皆為地面距月心故有甲乙丙三角形有三邊求得丙角與半周減得甲丙子角既得甲丙子角即可得丙子甲角乃以子角正弦與甲角正弦比若甲丙月距地與丙子月距日比得丙子加[乙]丙即日地距
測月地距其法若何
王宗福
*圖略
如圖子為月甲為地面測處心為地心心子甲角為視差角乙為天頂子甲乙角為月距天頂角其外角為子甲心角法用心甲子三角形有三角及甲心邊地半徑求得子心邊即月地二心距也
日月二視徑相等以何法測其真徑
徐廣坤
法以半徑為一率地心距日月心為二率視角即地心視日月以日月半徑為對邊之角正弦為三率求得四率倍之即日月真徑
*圖略
如圖甲為日心甲丙為日半徑乙為地心乙甲為地心距日心之遠自乙視甲成甲乙丙三角形乙角可測而知丙為直角求甲丙邊有比例
一率 半徑
二率 乙角正弦
三率 甲乙邊
四率 甲丙邊
求得甲丙為日真半徑倍之得日徑測月
同置閏之法與理試詳言之
陳壽田
考之閏者日月不齊之數聖人立四仲中星以定之在璇玑玉衡以齊之職此之故乃參贊化育之道調燮四時之理不可不慎也蓋其法以歲實三百六十五日四分日之一太陽每日行天一度太陰每日行天十三度十九分度之七以定三年一閏五年再閏十九年七閏萬古不易之理也今以法計之以每日日行一度與月行十三度十九分度之七相減餘十二度十九分度之七為一日之月距日度用通分法通為二百三十五分為法以周天三百六十五度四分度之七亦通為六千九百三十九分小餘七五為實以法除實得二十九日二百三十五分日之一百二十四小餘七五約為二十九日九百四十分日之四百九十九小餘七五為朔策乃以每歲三百六十日與歲實三百六十五日四分日之一相減餘五日四分日之一通為五日九百四十分日之二百三十五為一歲之氣盈以朔策二十九日九百四十分日之四百九十九與三十日相減餘九百四十分日之四百四十一為一月之朔虛以十二月乘之得五千二百九十二分以九百四十分收之得五日九百四十分日之五百九十二為一歲之朔虛乃以一歲之氣盈朔虛日數相并得十日九百四十分日之八百二十七即一歲之閏率遞加之得逐歲之閏率視某歲某月無中氣即可定閏月也此即置閏之法至于其理乃氣盈朔虛所積[而](面)成何謂氣盈氣中氣也盈有餘也朔月與日會光盡而複蘇也虛不足也夫歲有十二月月有三十日三百六十日一歲之常數也太陽行黃道一周日與天會則三百六十五日五時三刻三分奇較常數多五日五時三刻三分有奇是謂氣盈此系用時刻分與前同以周日分之得前法之氣盈月與日會一月則二十九日十二時二刻十二分有奇若十二會三百五十四日三刻三分有奇較常數少五日十五時十一分奇是為朔虛是以置閏必以氣盈朔虛為主然三年何以一閏因尚不足以盡餘分五年再閏則又太過須至十九年七閏其閏餘已足朔策之七倍則氣數分齊乃為一章其數有常而不變此皆以平行言之也今節氣合朔皆日用之實行以無中氣之月為閏月凡閏月必準一節氣日有盈縮月有遲疾其節氣合朔有進退故置閏之遠近較平行複有參差然至十九年則盈縮遲疾已過數周合而計之實行與平行之數亦得近合矣
有半球體求重心
王锺祥
*圖略
如圖子醜寅為半球體作醜子醜寅二線成醜子寅圓錐形取醜辰四分之一午點為圓錐重心既得圓錐重心以反比例求之即得半球之重心有比例如左
一率 半球體積
二率 圓錐體積
三率 圓錐重心
四率 半球體重心
半周有質弧線求重心
王宗福
*圖略
如圖甲丙乙為半周有質弧線丙心為半徑半徑自乘以象限周除之得重圓二心距丁心丁點即重心
*算式略
有半圓面截去六十度截線正交圓徑求殘積之重心
王宗福
*圖略
如圖甲丙乙半圓面丙乙六十度丙丁正交甲乙徑求甲丙丁殘積之重心先作心丙半徑将殘積分為甲心丙丙心丁二分丙心丁句股之句為半徑之半求得丙心丁之重心為卯複求得半圓重心比例得一百二十度甲心丙積之重心如子作子卯線甲丁丙積與丙心丁積比若子卯與子醜比醜即所求重心
有端硯一塊長一尺寬五寸厚二寸作一圓池距三邊各五分深一寸二分求重心距各邊若幹
博勒洪武
*圖略
如圖甲乙丙丁為硯丙戊庚丁甲乙庚戊二正方相等壬子圓池圓距丙戊丙丁丁庚三邊皆五分法先求得壬子積與丙戊庚丁積相減餘三二四八甲乙戊庚積亦為五十方寸則有比例如左
一率 共積
二率 共長
三率 丙戊庚丁殘積三二四八
四率 丁心一九
求得丁心一九則距甲乙邊三寸四分強距丙丁邊六寸六分距甲丙乙丁皆二寸五分
有杠杆長二十七尺以人力百斤欲移動千二百五十斤之石試推其倚所當在何處
杜法孟
答曰距石二尺内
*圖略
法以力重相加為一率杆長為二率力為三率求得四率得倚所
有鐵錘四其重如三四五六之數按次分懸于直杆每錘相距一尺試求定點
楊兆鋆
*圖略
如圖甲乙丙句股面取甲乙句三分之一于丁甲丙股三分之一于戊各作垂線丁己戊庚交點心即句股面重心切心點正交乙丙作線辛壬作辛點為合弦平地平之點而戊辛等甲丁戊心辛與本形同式故比例如 句與戊心句三之一一相乘股除之得戊辛以加戊丙得辛丙大分減甲戊得甲辛小分又法用心庚己形求之有等式
*算式略
求得辛丙即大分減股得小分
有句八股十五句股面于弦取二點令懸之一句平如地平一股平如地平其法若何
席淦
*圖略
如圖先求句股重心甲自甲作句股之垂線引長至懸弦于丙辛二點則句股合地平丙己為弦三之一辛己為弦三之二何也甲丁為庚丁三之二乙丁必為戊丁三之二丙乙與戊己平行丙丁必為己丁三之二而丙己必