九章錄要卷十二

欽定四庫全書 九章錄要卷十二 松江屠文漪撰 借徴法 衰分盈朒方程之外更有借徴之法蓋借衰原於衰分疉借原於盈朒而觸類通之可以窮難知之數此九章法外之巧也故以次九章之後 借衰互徴　借衰者本無正衰而借立虛數為衰以相例也或自有正衰可用衰分法而别取借衰亦從其便假如商販不知其母初往獲息當母十之三以并入母再往獲息當母五之三以并入母又往折閲四之一又往獲倍息〈母一子亦一也〉以并入母又往折閲六之一亦不知實在總銀?何隻雲更須銀十兩即所獲子銀為原母數者二問原母及總銀其法任意借一數為原母且如原母十兩如前計之當得總銀二十六兩若論母一子二則不足四兩以四兩之原母及總銀推之而不足十兩者可知也 一率　四〈借衰不足兩數〉 二率　十〈借衰原母兩數〉　二十六〈借衰總銀兩數〉 三率　十〈所問不足兩數〉 四率　二十五〈所問原母兩數〉六十五〈所問總銀兩數〉 又如出兵大小船數相等大船每三隻載五百名小船每四隻載三百名共載兵四千三百五十名問大小船各?隻試借大小各六為船衰計總載兵一千四百五十名以一千四百五十名所須之船推之而四千三百五十名所用船可知也 一率　一千四百五十〈借衰兵數〉 二率　六〈借衰船數〉 三率　四千三百五十〈所問兵數〉 四率　一十八〈所問船載〉 按右例用借衰法較之衰分章用互乗者倍?〈右一條新增〉 又如漏壺注水三時而滿洩水八時而盡問且注且洩?時滿一壺即借十二時推之凡注四壺洩一壺半相減得二壺半 一率　二壺又二分壺之一 二率　十二時 三率　一壺 四率　四時又五分時之四 又如依前三時注水滿一壺八時洩水盡一壺且注且洩問五時又三分時之一可滿?何亦借十二時推之注洩相減得二壺半 一率　十二時 二率　二壺又二分壺之一 三率　五時又三分時之一 四率　一壺又九分壺之一 又如商販不知其母但雲每度俱獲倍息即於中用銀三百兩如是三度子母俱盡問原母?何即任意借一數算之且如借銀二兩加三度倍息得一十六兩為用銀之衰於十六兩内減母二兩餘十四兩為母銀之衰 一率　十六兩 二率　十四兩 三率　三百兩 四率　二百六十二兩五錢 右例說見衰分章參觀自解其意也〈若四度五度而盡者即加四度五度倍息如法算之　以上四條並已見衰分章〉 疊借互徴盈數最難知則兩借虛數以徴之蓋彷彿盈朒之法然原數初無盈朒而盈朒生於借數乃因其盈朒推求眞數立法尤為竒巧假如米每石價二兩麥一兩六錢總銀七十四兩買米麥共四十石問各?何試借米三十石用價六十兩則麥一十石當用價一十六兩計價總七十六兩以比原總盈二兩列左又借米十五石用價三十兩則麥二十五石當用價四十兩計價總七十兩以比原總不足四兩列右盈不足相并為法米麥各以所借石數及所借用價數左右互乗盈不足數相并以法除之即各得所求正數若兩盈兩不足者為法之數及互乗得數皆相減〈與盈朒章同〉 右例借衰或據價原總數算之而以總石數較原總以得盈朒如法乗除亦合 又如總銀八百兩買綾一百匹羅二百匹絹二百匹其價綾多於羅每匹六錢羅多於絹每匹八錢問三物各價?何試借二兩為綾價一兩四錢為羅價六錢為絹價計價總六百兩比原總不足二百列左又借三兩為綾價二兩四錢為羅價一兩六錢為絹價計價總一千一百兩比原總盈三百列右三物各以所借價數互乗盈不足數如前法求之即各得正價又如賞軍每馬兵五名給紬三匹每歩兵四名給布六匹總馬歩共八千一百名給紬布共九千匹問馬歩各?何紬布各?何試借馬兵四千給紬二千四百則歩兵四千一百應給布六千一百五十計總紬布八千八百五十比原總不足四百五十列左又借馬兵五千給紬三千則歩兵三千一百應給布四千六百五十計總紬布七千六百五十比原總不足一千三百五十列右馬歩紬布各以所借數互乗兩不足數如法求之即各得正數右例借衰或據紬布原總數算之而以馬歩總數