九章録要卷五

依法得一百二十為總衰更以每等之較四乗之得四百八十為總實也〉 一數遞加減衰分以總實求等　假如總實一百二十以一數遞加分之得幾等法倍實開方除之得十五而餘實亦十五即十五是等數又如總積物三百欲作倚牆一面尖堆倍積開方得二十四而餘實亦二十四即二十四是下廣數〈前一分遞加法若每等隻一人者亦可用此以求等數但須先以每等之較數為法除實而後依上法求之假如銀四百八十兩每一分四兩遞加分之則先以較四除實得一百二十乃依法求得十五為等數也〉 右二法謂首等數起於一者故比之倚牆一面尖堆若不從一數起即各等俱以一數遞加但謂之同較衰分不在此例如倚牆一面平堆每層亦俱較一而當依同較衰分法也〈前一分遞加衰分亦謂首等所得之一分同於各等所差之一分也如其不然即是同較衰分矣〉 又右二法不可用之同較衰分而下同較諸法〈凡七法〉則可用之一數遞加衰分也〈亦可用之一分遞加之每等隻一人者　右一條新增〉 同較衰分〈不論較數幾何但甲乙之較乙丙之較丙丁之較各等俱同者是也〉 假如總實九十九作十一等分之各等俱較一數問各幾何法以等數減一存十與等數相乗折半得五十五以較一乗之仍得五十五〈較一則乗猶不乗也而於法不可無此一乗者為較不止於一者而設也〉以減總實餘四十四以等數除之得四為首等數或以并總實得一百五十四以等數除之得十四為末等數餘以次推之 同較衰分以等及較與首數求尾數與尾數求首數求總實　如前例十一等每等各較一法以等數減一存十以較一乗之仍得十并首數四得尾數減尾數十四得首數并首尾數以等數乗之折半得總實 同較衰分以較與首尾數求等求總實　法以首尾數相減得首尾較以較除之加一數得等數如前法求總實 同較衰分以總實及較與首尾和求等求分　法以首尾和折半為法除總實得等數即以等數減一乗較數得首尾較和較相減半之得首數相并半之得尾數 同較衰分以總實及等與首尾較求較求分　法倍總實以等數除之得首尾和如前法求之再以等數減一除首尾較得各較 同較衰分以總實及等與首幾等和或尾幾等和求較求分〈言或者首尾不必並舉〉法以帶和之等數乗總實以全等數除之〈所得數乃首尾幾等應得均平之數也因衰分而多少不均近尾者必盈近首者必不足而此盈彼不足其數必相當故下但雲與和相減而不必問其首尾也〉與和數相減減餘以帶和之等數折半為法除之再以全等數減帶和等數為法除之得各較〈右一條新增〉 同較衰分以等與首幾等和尾幾等和求較求分求總實　假如甲乙丙丁戊己庚辛八人分銀甲乙丙三人共一百一十一兩庚辛二人共四十一兩問各較幾何各分幾何總實幾何法以三互乗四十一得一百二十三以二互乗一百一十一得二百二十二相減餘九十九又以二三相并得五折半為二又二之一以減人數總八餘五又二之一又以二三相乗得六以乗五又二之一得三十三為法以除九十九得三為各較數乃以甲乙丙和三除之得乙數加較得甲數減較得丙數或以庚辛和并較半之得庚數減較半之得辛數次求丁戊已數并八數為總實〈右例但取首尾並舉而或舉首尾各二人或各三人或各四人或首三人尾五人或首七人尾一人任意多寡於法皆通即總數滿百人而但舉首尾兩三人亦無不可也〉 同較衰分令多寡齊數法　假如有銀二百七十兩作甲乙丙丁戊五等分之甲乙二人數與丙丁戊三人數齊問各幾何法如一分遞加減列衰甲五乙四丙三丁二戊一乃并甲乙衰得九并丙丁戊衰得六相減較三以二人三人相減之較一為法除之仍得三〈較一則亦不必除而言除者為較有不止於一者也〉卻於五等衰各加三數為各衰并之為總衰列三率求之 一率　三十〈總衰〉 二率　二百七十〈總實　一率除二率得九〉 三率　八〈甲衰〉七〈乙〉　六〈丙〉　五〈丁〉　四〈戊〉 四率　七十二　六十三　五十四　四十五　三十六又如有銀七十兩作甲乙丙丁戊已庚七人分之甲乙二人數與丙丁戊已庚五人數齊問各幾何法列衰甲七乙六丙五丁四戊三已二庚一并甲乙衰得十三并丙丁戊已庚衰得十五相減較二而此乃五人之數多於二人與前二人之數多於三人者不同亦以二人五人相減之較三為法除之得三之二卻於五等衰各減三之二為各衰并為總衰如前求之一率　二十三又三之一〈總衰〉 二率　七十〈總實　一率除二率得三〉 按一數遞加一分遞加衰分隻三人甲數與乙丙數齊而餘皆不能故此法獨不可以相通也 同較衰分又法　前同較衰分八法皆謂每等隻一人者據實與等與較及首尾數更互相求於法止可每等一人耳（?艹石）但欲衰分則雖每等之中復有人數多寡不齊非無法以分之　假如銀三百二十四兩甲乙丙丁四等人分之每等較三兩甲等二人乙等四人丙等六人丁等十人問各幾何法以較三乗乙四人得十二倍較為六乗丙六人得三十六三乗較為九乗丁十人得九十并之得一百三十八以并總實得四百六十二以甲乙丙丁總二十二人除之得二十一為甲等一人所得數遞減較得各等數〈右一條新增或以較三乗丙六人較六乗乙四人較九乗甲二人并得六十減總實得二百六十四除得十二為丁等數〉 母子差分〈此謂商賈以母銀得息非帶分之母子也〉假如三商共得子銀四百兩甲母三百兩經十箇月乙母六百兩丙母八百兩俱不知月其子銀則甲得二百兩乙得一百二十兩丙得八十兩問乙丙出母銀經幾月 一率　二百〈甲子〉 二率　三千〈甲母乗月數〉 三率　一百二十〈乙子〉　八十〈丙子〉 四率　一千八百〈乙母兼月數〉　一千二百〈丙母兼月數〉各再以母除得月數乙得三丙得一又二之一 又如三商共得子銀一百三十八兩甲出母二百兩經十二月乙母二百四十兩不知月丙經十箇月不知母其子銀則甲得六十乙得四十八丙得三十問乙月丙母 一率　六十〈甲子〉 二率　二千四百〈甲母乗月數〉 三率　四十八〈乙子〉　三十〈丙子〉 四率　一千九百二十〈乙母兼月數〉一千二百〈丙母兼月數 乙再以母除　丙再以月除得得八月　一百二十兩〉 又如三商共得子銀一千五