九章録要卷五
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有數不齊者亦依前法茲仍具例於左以備參觀
假如有銀七兩零八分欲買銅一停錫二停鉛三停其價銅每斤一錢八分錫一錢三分鉛五分問三物各幾何
一率 五十九〈總衰一銅價二錫價三鉛價并〉
二率 七百零八〈總價 一率除二率得一十二〉
三率 一〈銅衰〉二〈錫〉 三〈鉛〉
四率 一十二〈銅斤數〉二十四〈錫〉 三十六〈鉛〉
右總衰總價俱化兩錢為分者既得三物斤數各以價乗之得各總價數或以銅總衰一十八分錫總衰二十六分鉛總衰一十五分為三率即先得各總價乃各以價除之亦得各斤數
又如有銀五百九十四兩糴米一停麥二停豆三停共三百九十六石其價米一石抵麥一石六鬥抵豆二石問三物及價各幾何此須用重測法先以米衰一麥衰二豆衰三并之得六為總衰為一率三物共石數為二率各衰為三率求得三物各石數〈米六十六麥一百三十二豆一百九十八〉然後别求各價其法置三物停數以三物相當抵之數乗除之或益貴物以從賤則用乗或減賤物以從貴則用除以為各衰仍并之為總衰為一率三物共價為二率各衰為三率求得三物各總價乃以前所求三物各石數除之即得每石價〈米二兩四錢麥一兩五錢豆一兩二錢〉
一率 三又四之三〈總衰〉
二率 五百九十四〈總價兩數 一率除二率得一百五十八又五之二〉三率 一〈米衰〉 一又四之一〈麥〉 一又二之一〈豆〉四率 〈一百五十八 一百九十 二百三十七兩四錢米八兩麥兩六錢豆〉右以米為主而減麥與豆以從之米衰一得一麥衰二以一又五之三除之〈即一六也米一抵麥一六故〉得一又四之一豆衰三以二除之〈米一抵豆二故〉得一又二之一并之得三又四之三
又式
一率 七又二之一〈總衰〉
二率 五百九十四〈總價 一率除二率得七十九又五之一〉
三率 二〈米衰〉 二又二之一〈麥〉 三〈豆〉
四率
右以豆為主而益米與麥以從之豆衰三得三米衰一以二乗之得二麥衰二以一又五之三除之〈先除以從米〉再以二乗之〈次乗以從豆〉得二又二之一并之得七又二之一
又式
一率 六〈總衰〉
二率 五百九十四〈總價 一率除二率得九十九〉
三率 一又五之三〈米衰〉二〈麥〉二又五之二〈豆〉四率
右以麥為主而益米減豆以從之麥衰二得二米衰一以一又五之三乗之得一又五之三豆衰三以二除之〈先除以從米〉次以一又五之三乗之〈次乗以從麥〉得二又五之二并之得六
右例或不復用米一麥二豆三等衰但就三物各石數而取一數為主其餘則益貴減賤以從之為總衰以除總價即得其物每石之價依法復損益之得餘二物每石之價如以米為主米六十六麥一百三十二以一又五之三除之得八十二又二之一豆一百九十八以二除之得九十九并之得二百四十七又二之一以除總價得二兩四錢即米每石價也仍以一又五之三除之得麥價以二除之得豆價若以麥豆為主法並倣此〈右一條新訂〉
合率帶分母子衰分 合率衰分其間等差各帶母子分數者自有帶分之法假如有銀七百九十五兩甲乙丙丁四人分之乙得甲十之七丙得乙十四之三丁得丙十二之十一問各實數幾何其法先并各衰分數并各子以乗各母從小數并起惟丁衰十一無并其丙衰係十二又係三則以十二并三用三除十二得四即以四乗乙之十四得五十六為乙衰乙係五十六又係七則以五十六并七用七除五十六得八即以八乗甲之十得八十為甲衰并之得一百五十九為總衰
一率 一百五十九〈總衰〉
二率 七百九十五〈總銀 一率除二率得五〉
三率 八十〈甲衰〉五十六〈乙〉十二〈丙〉十一〈丁〉
四率 四百二百八十 六十 五十五右法或遇不可并者如雲丁得丙十三之十一則丙衰係十三又係三欲以十三并三用三除十三除之不盡即不用除卻以十三乗乙之十四得一百八十二為乙衰依法推得二百六十為甲衰其丙之十三丁之十一轉須用三乗之以為衰丙得三十九丁得三十三也
合率帶分匿總實以較求衰分 假如四人分銀不知總實但雲乙得甲六之五丙得甲四之三丁得甲二十四之一十七其丙與丁差四兩問各幾何此三母皆甲也用并母法累乗得五百七十六為甲衰乃以乙丙丁之原子乗之原母除之以求其子而得四百八十為乙衰四百三十二為丙衰四百零八為丁衰以丙丁二衰之較為一率丙丁之較為二率各衰為三率〈不用約法覽之易曉〉
一率 二十四
二率 四
三率 五百七十六〈甲〉四百八十乙四百三十二〈丙〉四百八〈丁〉四率九十六 八十 七十二六十八右例帶分與前例母子不同其法互見而可相通前亦可以較求分此亦可以總實求分也又凡以前諸衰分法若匿其總實任舉一等所得之數或兩等所差之數皆可倣二例而求之
合率帶分匿總實以餘實求分 假如四人分銀不知總實但雲甲得八之三乙得四之一丙得五之一丁得六之一尚餘五兩問各幾何此四母皆銀也用并母法得九百六十為總衰乃以甲乙丙丁之原子乗之原母除之而得三百六十為甲衰二百四十為乙衰一百九十二為丙衰一百六十為丁衰以四衰減總衰餘八為餘銀之衰為一率餘銀為二率各衰為三率〈率式不贅但求得總實即得各分數矣〉
右例四母皆據總實言之故可以餘實求總實求分若以前諸衰分法不可以餘實求也
右例亦可任舉兩等所得之較以求之〈又右二例俱可用借徵法葢用并分法亦借衰也〉
一數遞加減衰分以等求總實〈與一分遞加減相類而不同者一分為不定之數一數則一而已又自此以下及同較衰分共十法皆謂每等隻一人者與以前諸法自别〉凡一數遞加自一而二而三四此不難於衰分須求總實?法耳假如欲分十五等問總實幾何法以首等一〈以少者為首〉并末等十五〈等十五則末等所得數亦十五也〉得十六以等數乗之折半得一百二十為總實又如有物倚牆一面尖堆下廣二十四枚以首層一并下層二十四得二十五以層數〈即下廣數〉乗之折半得三百為總積〈前一分遞加法若每等隻一人者亦可用此以求總實但依法所得數須更以較數乗之方得總實若未經較數相乗止得總衰而非總實也假如每一分銀四兩遞加分十五等