第十四章 天文曆法的演進
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已經發現春分點每百年沿黃道西退1°的現象，我國古代最早發現類似現象的是東晉天文學家虞喜，他在330年左右，對歲差現象作了與古希臘人在形式上迥異而實質相同的表述。
在虞喜之前，我國古代天文學家已經發現了冬至時太陽所在恒星間的位置發生變動的情況，但這未導緻對歲差規律的探讨和總結。
一直到虞喜才充分注意到實際上已為天文學界熟知的這一現象的重要天文學意義，并着手對歲差現象作數量化的論述。
他由“日短星昴，以正仲冬”［45］句推知，昴星于堯帝時在冬至日黃昏時中天。
再由實測，他得知，當時冬至日黃昏時昴星與子午方位的偏離度值。
又考知自堯帝到其時的年距。
最後虞喜算得每經50年冬至點沿赤道向西移動一度的數值，這就是我國古代經由特殊的途徑獨立地得到的第一個歲差值，雖然發現年代遠遲于古希臘，但該值的精度已略優于依巴谷值，為歲差值的進一步探索開拓了新路。
在此基礎上，虞喜“使天為天，歲為歲”［46］，即把恒星年（太陽兩次通過同一恒星的時間間隔）與回歸年（太陽兩次通過冬至點的時間間隔）兩者區别開來，并為曆法有關問題計算精度的提高準備了條件。
後秦天文學家姜岌約于380年發明了月食沖法，［47］其方法是在月食時測量月亮所在宿度，這時太陽正與月亮相差半周天度，于是能較準确地推知冬至時太陽所在宿度。
這為後世歲差佳值的頻頻出現提供了切實有效的基本方法。
19年7閏的閏周前後沿用達千年之久，到北涼趙的元始曆（412）才出現了轉機，趙給出了600年221閏的新閏周，［48］這是他對回歸年和朔望月長度認識深化的結果，即他對于回歸年長度應小于365.2468日，和朔望月長度應在29.5306日左右均深信不疑，而這兩個天文數值絕非19年7閏法所能協調，所以隻有改革舊閏周，方可符合他已經确認無疑的如上事實，别無出路。
當然要邁出這一步仍需極大的勇氣。
元始曆所取回歸年長度的精度較前代曆法有大幅度的提高，趙對閏周的改革正與此相輔相成，是一大膽的和明智的創舉。
自此以後，新閏周輩出，呈現了不斷求索、改進的可喜局面。
六、陳卓星圖及其他 由于漢以來觀測儀器的日漸改善，促進了恒星位置觀測工作的開展，又由于天文學自身和占星術等的需要，厘定一個相對完整的全天星官系統，繪制比較完善的星表和星圖，成為一種社會的需求。
三國時期吳國太史令陳卓出色地完成了這項任務。
他整理、彙總當時流行的甘氏、石氏和巫鹹氏三家星官，并同存異，總結出283星官、1465顆恒星的全天星官系統，［49］并繪成星圖，奠定了我國古代星官系統的傳統模式。
劉宋時，錢樂之在元嘉十三年（436）和十六年（440）兩次鑄造渾象，采用的就是陳卓的星官系統。
隋代丹元子著《步天歌》，［50］以詩歌的形式介紹陳卓星官系統，因易于記誦，遂廣為流傳。
《步天歌》還把全部天空分作31個大區，即所謂三垣（紫微垣、太微垣和天市垣）二十八宿分區法。
這一分區法和陳卓星官系統都一直沿用到近代，是我國古代天文學别具一格的又一表征。
在這裡，我們還要順便提一下這一時期在天象記錄方面的兩個特點：一是，各種天象的記錄趨于齊備，除前述已有的天象記錄外，還出現了明确的太陽黑子和超新星記錄。
如漢成帝河平元年（前28年）“三月乙（己）未，日出黃，有黑氣大如錢，居日中央”［51］，對太陽黑子出現的時間、形象、大小和位置等均作了明确的記錄。
又如漢靈帝“中平二年（185）十月癸亥，客星出南門中，大如半筵，五色喜怒，稍小，至後年六月消”［52］，這是世界上最早的超新星記錄。
二是，天象記錄日趨詳盡、精細。
如對日食的觀測，不但有日期的記載，而且開始注意了食分、方位、虧起方位及初虧和複圓時刻等的描述。
關于彗星記事，對于彗星運行路線、視行快慢以及相應的時間，都用生動而又簡潔的文字加以描繪。
這些表明古老的天象記錄的傳統不但相繼不辍，而且在這時已經具備了成熟的形态。
第四節 南北朝隋唐五代時期天文曆法體系的完善 這一時期天文學發展的主要特征是，一系列天文數據趨于精确，一批新的天文現象的發現，曆法中的數學計算方法，向着嚴密化和公式化方向演進，這些使我國古代天文曆法體系從内容和形式，都達到了較完善的境界。
一、祖沖之及其大明曆 祖沖之（429—500），字文遠，祖籍範陽（今河北涞水縣），是劉宋時期傑出的科學家。
他對圓周率的研究，使他聞名遐迩，其實他對科學技術的貢獻遠非止于此，在天文曆法上，亦堪稱一大家。
463年他撰成大明曆，内中多所創新，是為我國古代最著名的曆法之一。
把歲差現象首次引入曆法，是祖沖之的一大貢獻。
由于我國古代曆法在計算日月五星的位置時，是以冬至太陽所在恒星間的位置作為基準點的，所以歲差概念和數值的引進，就使得這一基準點的位置得到較好的校正，從而使日月五星位置推算的準确度得到根本的保證。
［53］ 大明曆取回歸年長度為365.2428日，誤差僅46秒，這是我國古代所用的最佳值之一。
［54］該值的取得，與祖沖之巧妙、正确地應用東漢劉洪等人在173年的日影測量結果有關，還與祖沖之發明的冬至時刻測算法密切相關。
該測算法是在測量冬至前後數日午中的日影長度的基礎上，并在假定這前後數日影長的變化是均勻的前提下，用線性比例的方法求取冬至的具體時刻，它嗣後成為我國古代冬至時刻的經典測算法。
［55］ 在回歸年和朔望月長度精确測算的基礎上，祖沖之還很好地選定了十分準确的新閏周：391年144閏，這是我國古代得到的最佳閏周。
在大明曆中，祖沖之還第一次明确地指出了交點月（月亮相繼兩次通過同一個黃白交點的時間間隔）的長度值：27.2122日，誤差僅1秒左右，已達到了相當高的精度水平。
［56］ 對于五星會合周期，祖沖之也進行了重新測量，得木星398.903日（誤差0.019日），火星780.031日（誤差0.094日），土星378.070日（誤差0.022日），金星583.931日（誤差0.009日），水星115.880日（誤差0.002日），［57］從總體上看，其精度達到了前所未有的高度。
為争取大明曆得以頒行，祖沖之曾與守舊派戴法興辯論，寫下了駁議之文，是科學思想史上的名篇。
他堅持改革，反對“信古而疑今”的思想，他“願聞顯據，以核理實”的實事求是态度，他“考影彌年，窮察毫微”［58］的實踐精神，至今仍閃爍着熠熠光芒，照耀着人們在崎岖的科學道路上攀登。
二、張子信的三大發現 張子信，清河（今河北清河縣）人，是北魏、北齊間著名的天文學家。
他花了三十多年的時間，隐居于一海島，專心緻志地用渾儀觀測日月五星的運動。
570年前後，他獲得了在我國天文學史上具有重大意義的三大發現： 一是關于太陽視運動不均勻性的發現。
張子信由觀測得知：太陽視運動從平春分到平秋分（時經半年）所曆的黃道度數，要比從平秋分到平春分（亦時經半年）所曆度數少若幹度，于是，前半年太陽視運動的速度自然要比後半年來得慢，這是他導出這一發現的途徑之一。
途徑之二，是循着與東漢劉洪當年相似的方法達到的。
張子信指出：欲使交食發生時刻的預推值與實際相吻合，除慮及月亮運動不均勻性的影響外，還須加上某一改正值（稱為“入氣差”）［59］，該值的正負、大小與二十四節氣有密切和穩定的關系。
這是劉洪“消息術”的再發現。
更重要的是，張子信由此升華出太陽視運動不均勻性的結論，給予“入氣差”以合理的解釋。
他還推算出了二十四節氣“入氣差”（即二十四節氣時，視太陽實際行度與平均行度之差）的具體數值，這是我國古代對太陽視運動不均勻性現象所作的最早的明确的定量描述。
二是關于五星運動不均勻性的發現。
張子信發現，依據傳統的方法推算得的五星晨見東方的時刻，往往與實際天象不相符，常有應見而不見，或不應見而見的情況發生。
由進一步的考察，他确認五星晨見東方時刻的這種超前或滞後及其時間的長短（稱為“入氣加減”［60］），也與二十四節氣有緊密的、穩定的關系。
張子信以為，這正是五星運動不均勻性的具體反映。
同樣，他也推算出了五星二十四節氣“入氣加減”的明确數值，從而實現了五星運動不均勻性的初始的定量描述。
張子信的這三大發現都具有劃時代的意義，它們為天文曆法體系的完善增添了全新的内容。
三、劉焯的皇極曆及其他 劉焯是隋代傑出的天文學家，他于604年撰成皇極曆，後世曆家鹹稱其妙。
［62］他最先把張子信的三大發現引入曆法，并成功地解決了這三大發現的具體計算和合理應用問題。
在皇極曆中，載有二十四節氣太陽視運動不均勻性改正數值表（日躔表），這是流傳至今的第一份完整的日躔表，其前身即張子信的“入氣差”。
在應用日躔表進行任一時刻的改正值的計算時，劉焯首創了等間距二次差内插法。
這一數學方法的物理意義，是把某一時段内太陽視運動的速率看成是勻加速或勻減速的。
這一方法較好地解決了太陽視運動不均勻性的計算問題。
在這一基礎上，劉焯成功地解決了同時考慮日、月運動不均勻性影響的定朔計算方法，使真正朔日時刻的計算精度得以提高。
在皇極曆中，還載有五星入氣加減的數值表，其源由亦當來自張子信。
重要的是，劉焯首創了推算五星晨見東方時刻的三段計算法：平見—常見—定見法。
即先把太陽和五星的運動視作是勻速的，由此可算得平見時刻（T0）；次由五星入氣加減表求得五星運動不均勻性改正值（&Deltat），則常見時刻=T0+&Deltat；再由日躔表算出太陽運動不均勻性改正值（&DeltaT），于是定見時刻=T0+&Deltat+&DeltaT。
關于日月交食的研究，在皇極曆中載有“推應食不食術”和“推不應食而食術”，這是對張子信第三大發現的具體補充和發展。
此外，劉焯還首次提出了食差對日食食分大小的影響的具體算法，以及交食起訖時刻的計算方法，并對于交食的虧起方位作了前所未有的詳細讨論。
劉焯還是黃道和白道宿度變換的首創者。
他曾測得75年差一度的新歲差值，這是一個相當準确的數值。
他對南北相距千裡，日影長度相差一寸的舊說，持反對的态度，并提出由實測加以驗證的具體建議。
可惜這一建議連同他的皇極曆均未被采納，但他的科學業績卻是不可泯滅的。
和劉焯同時的另一位天文學家張胄玄，也吸取了張子信的工作成果，約于610年編成大業曆。
雖然大業曆對于類似問題的處置不如皇極曆周全，卻也别樹一幟，尤其在五星運動的研究上最為突出。
張胄玄測得五星會合周期分别為：木星398.882日（誤差0.002日），火星779.926日（誤差0.011日），土星378.090日（誤差0.002日），金星583.922日（誤差小于0.001日），水星115.879日（誤差0.001日），［63］它們是我國古代所取得的最佳成果。
又，張胄玄對五星在一個會合周期内的動态進行描述時，以為在某些動态段中，五星的運行速率是依等差級數變化的，并解決了等級差數求和的問題，這在天文學上和數學上都是有重要意義的。
四、一行及其大衍曆 一行（683—727），魏州昌樂（今河南南樂縣）人，俗名張遂，唐代名僧，在天文學上有很高的造詣，他對我國古代天文曆法體系的貢獻主要有如下三個方面：［64］ 1．大衍曆的編制和創新 728年，張說奏上一行完成的大衍曆。
一行為編此曆，進行了大量的天文實測，并對中外曆法系統進行了深入的研究，在繼承傳統的基礎上，頗多創新。
從曆法的編次體例上看，共計分為七章：［65］“步中朔”（計算節氣、朔望等），“步發斂”（計算七十二候等），“步日躔”（關于太陽運動的計算），“步月離”（關于月亮運動的計算），“步軌漏”（計算日影及晝夜漏刻長度），“步交會”（日月交食的計算）和“步五星”（關于五星運動的計算）。
它們具有結構合理、邏輯嚴密、體系完整的特點，後世曆法大都因之，成為曆法體例的楷模。
從内容上考察，其創新之處主要有： 對太陽視運動不均勻性進行新的描述，糾正了張子信、劉焯以來日躔表的失誤，提出了我國古代第一份從總體規律上符合實際的日躔表。
在利用日躔表進行任一時刻太陽視運動改正值的計算時，一行發明了不等間距二次差内插法，這是對劉焯相應計算法的重要發展。
一行對于五星運動規律進行了新的探索和描述，确立了五星運動近日點的新概念，明确進行了五星近日點黃經的測算工作。
如他以為728年時，木、火和土三星的近日點黃經分别為345.1°，300.2°和68.3°，這與相應理論值的誤差分别為9.1°，12.5°和1.6°，此中土星近日點黃經的精度已經達到了很高的水平。
一行還首先闡明了五星近日點進動的概念，并定出了每年進動的具體數值。
在對五星運動不均勻性進行描述時，一行發明了五星盈縮運動的數值表，它是以五星近日點為起算點，每隔15°定出一個五星實際行度與平均行度之差的數值表格。
據此，再應用等間距二次差内插法，推求任一時刻五星運動不均勻的改正值，這一表格和方法均較張子信等人的“入氣加減”法前進了一大步。
大衍曆還首創了九服晷漏、九服食差等的計算法。
前代各曆法在計算晷漏、食差時，都僅局限于京都所在地，其結果并不适應全國廣大地區（即九服之地）的實際情況，所以新算法的提出，就把原先僅合用于京師的曆法，全面推廣為真正的全國性曆法，其意義可想而知。
而且，在新算法中，還包含有一行編成的世界上最早的類似正切函數的計算表，更具有重大的數學意義。
2．新儀器的制作 為編制大衍曆的需要，一行和梁令瓒等人共同制作了用于天體位置（赤道、黃道、白道和地平四種坐标）測量的新儀器——黃道遊儀。
該儀器是在唐初天文學家李淳風所制的渾天黃道儀的基礎上演變、發展而成的。
黃道遊儀有三重環組構成：外面一重是固定不動的，包括有地平、子午（南北方向）和卯酉（東西方向）三個環；中間一重是黃道環、赤道環和白道環三個環，它們均可繞極軸轉動；裡面一重是夾有窺管的四遊環，可以靈活地照準任一天體。
另外，李淳風曾在黃道環上打了249對孔，令白道環每經約27日移動一對孔，以适應黃白交點沿黃道不斷西移的天文現象。
對此，一行等人稍作改進，他們分别在黃道環和赤道環上每隔一度打一個孔，計365個小孔，前者與李淳風的用意相當，後者則是為适應歲差現象而設計的。
一行和梁令瓒還共同制作了用于演示天象和報時的水運渾天儀，這是對東漢張衡水運渾象的發展，既能自動地表演天球和日月的運動，還能令立于地平環上的兩個木人按刻自然擊鼓，依辰自然打鐘，是為自動報時器的始祖。
3．子午線長度的實測工作 724—725年間，一行分别派人到北起鐵勒（今俄羅斯貝加爾湖附近，約北緯51°），南至林邑（今越南中部，約北緯18°）的13個地點，測量它們的北極出地高度（即地理緯度）、冬夏至和春秋分日影長度，以及冬夏至晝夜漏刻長度等數據，為九服晷漏等曆法問題的計算準備必要的條件。
在這項工作中，一行精心選定了滑州白馬（今河南滑縣）、汴州浚儀（今河南開封市）、許州扶溝（今河南扶溝縣）和蔡州上蔡（今河南上蔡縣）四處，它們大體位于同一地理經度上，且均地處平原，便于距離的丈量。
在這四處，除進行上述數據的測定外，還丈量了它們彼此間的水平距離。
具體測量工作由另一位天文學家南宮說負責。
一行則由這四處的距離差與北極出地高度差的比例關系的分析中，得出南北相距“大率三百五十一裡八十步，而極差一度”［66］的重要結論，即以為子午線每1°長131.11公裡。
雖然這一數值比近代的結果偏大約20公裡，但它畢竟是世界上第一次子午線1°長度的實測工作。
五、曹士和邊岡等人的貢獻 曹士是唐代民間天文學家。
在780—783年間，他撰成符天曆，這僅是一種民間小曆，似不登大雅之堂，但實際上，卻在曆法史上占有相當重要的地位。
符天曆選取唐高宗顯慶五年（660）為曆元，以這種近距曆元取代傳統的上元法。
所謂上元是一種理想的曆元，它要求一系列天文現象同起始于一點，這實際上是不可能的，強求之，就不能不帶有牽強附會的因素，而且自上元到實際求算年之間往往相距極其龐大的年份，所以上元法存在既使計算繁雜，又使計算結果失真的弊端。
曹士的改革，正是針對這種弊病采取的有效措施。
又，傳統曆法的天文數據，一般均以分數表示。
對此，曹士選用了萬分法，即取分母為一萬，這既使各天文數據呈一目了然的形式，又使計算便捷。
這兩項改革，後為元代授時曆所采納。
此外，曹士開辟了曆法數值表格及其計算公式化的蹊徑。
符天曆對于日躔表及太陽視運動不均勻性改正的計算進行了極重要的改革，建立了太陽實際運行度（V）與平均運行度（M）之間的數學關系式：［67］ 式中M為所求日距冬至時刻的天數，亦即度數。
該式實質上是劉焯二次差内插法的一種特殊形式，它既具有計算上的簡便性，又具有數學上的嚴密性。
它的出現是我國古代曆法體系進一步公式化、數學化的重要标志。
這種
在虞喜之前，我國古代天文學家已經發現了冬至時太陽所在恒星間的位置發生變動的情況，但這未導緻對歲差規律的探讨和總結。
一直到虞喜才充分注意到實際上已為天文學界熟知的這一現象的重要天文學意義，并着手對歲差現象作數量化的論述。
他由“日短星昴，以正仲冬”［45］句推知，昴星于堯帝時在冬至日黃昏時中天。
再由實測，他得知，當時冬至日黃昏時昴星與子午方位的偏離度值。
又考知自堯帝到其時的年距。
最後虞喜算得每經50年冬至點沿赤道向西移動一度的數值，這就是我國古代經由特殊的途徑獨立地得到的第一個歲差值，雖然發現年代遠遲于古希臘，但該值的精度已略優于依巴谷值，為歲差值的進一步探索開拓了新路。
在此基礎上，虞喜“使天為天，歲為歲”［46］，即把恒星年（太陽兩次通過同一恒星的時間間隔）與回歸年（太陽兩次通過冬至點的時間間隔）兩者區别開來，并為曆法有關問題計算精度的提高準備了條件。
後秦天文學家姜岌約于380年發明了月食沖法，［47］其方法是在月食時測量月亮所在宿度，這時太陽正與月亮相差半周天度，于是能較準确地推知冬至時太陽所在宿度。
這為後世歲差佳值的頻頻出現提供了切實有效的基本方法。
19年7閏的閏周前後沿用達千年之久，到北涼趙的元始曆（412）才出現了轉機，趙給出了600年221閏的新閏周，［48］這是他對回歸年和朔望月長度認識深化的結果，即他對于回歸年長度應小于365.2468日，和朔望月長度應在29.5306日左右均深信不疑，而這兩個天文數值絕非19年7閏法所能協調，所以隻有改革舊閏周，方可符合他已經确認無疑的如上事實，别無出路。
當然要邁出這一步仍需極大的勇氣。
元始曆所取回歸年長度的精度較前代曆法有大幅度的提高，趙對閏周的改革正與此相輔相成，是一大膽的和明智的創舉。
自此以後，新閏周輩出，呈現了不斷求索、改進的可喜局面。
六、陳卓星圖及其他 由于漢以來觀測儀器的日漸改善，促進了恒星位置觀測工作的開展，又由于天文學自身和占星術等的需要，厘定一個相對完整的全天星官系統，繪制比較完善的星表和星圖，成為一種社會的需求。
三國時期吳國太史令陳卓出色地完成了這項任務。
他整理、彙總當時流行的甘氏、石氏和巫鹹氏三家星官，并同存異，總結出283星官、1465顆恒星的全天星官系統，［49］并繪成星圖，奠定了我國古代星官系統的傳統模式。
劉宋時，錢樂之在元嘉十三年（436）和十六年（440）兩次鑄造渾象，采用的就是陳卓的星官系統。
隋代丹元子著《步天歌》，［50］以詩歌的形式介紹陳卓星官系統，因易于記誦，遂廣為流傳。
《步天歌》還把全部天空分作31個大區，即所謂三垣（紫微垣、太微垣和天市垣）二十八宿分區法。
這一分區法和陳卓星官系統都一直沿用到近代，是我國古代天文學别具一格的又一表征。
在這裡，我們還要順便提一下這一時期在天象記錄方面的兩個特點：一是，各種天象的記錄趨于齊備，除前述已有的天象記錄外，還出現了明确的太陽黑子和超新星記錄。
如漢成帝河平元年（前28年）“三月乙（己）未，日出黃，有黑氣大如錢，居日中央”［51］，對太陽黑子出現的時間、形象、大小和位置等均作了明确的記錄。
又如漢靈帝“中平二年（185）十月癸亥，客星出南門中，大如半筵，五色喜怒，稍小，至後年六月消”［52］，這是世界上最早的超新星記錄。
二是，天象記錄日趨詳盡、精細。
如對日食的觀測，不但有日期的記載，而且開始注意了食分、方位、虧起方位及初虧和複圓時刻等的描述。
關于彗星記事，對于彗星運行路線、視行快慢以及相應的時間，都用生動而又簡潔的文字加以描繪。
這些表明古老的天象記錄的傳統不但相繼不辍，而且在這時已經具備了成熟的形态。
第四節 南北朝隋唐五代時期天文曆法體系的完善 這一時期天文學發展的主要特征是，一系列天文數據趨于精确，一批新的天文現象的發現，曆法中的數學計算方法，向着嚴密化和公式化方向演進，這些使我國古代天文曆法體系從内容和形式，都達到了較完善的境界。
一、祖沖之及其大明曆 祖沖之（429—500），字文遠，祖籍範陽（今河北涞水縣），是劉宋時期傑出的科學家。
他對圓周率的研究，使他聞名遐迩，其實他對科學技術的貢獻遠非止于此，在天文曆法上，亦堪稱一大家。
463年他撰成大明曆，内中多所創新，是為我國古代最著名的曆法之一。
把歲差現象首次引入曆法，是祖沖之的一大貢獻。
由于我國古代曆法在計算日月五星的位置時，是以冬至太陽所在恒星間的位置作為基準點的，所以歲差概念和數值的引進，就使得這一基準點的位置得到較好的校正，從而使日月五星位置推算的準确度得到根本的保證。
［53］ 大明曆取回歸年長度為365.2428日，誤差僅46秒，這是我國古代所用的最佳值之一。
［54］該值的取得，與祖沖之巧妙、正确地應用東漢劉洪等人在173年的日影測量結果有關，還與祖沖之發明的冬至時刻測算法密切相關。
該測算法是在測量冬至前後數日午中的日影長度的基礎上，并在假定這前後數日影長的變化是均勻的前提下，用線性比例的方法求取冬至的具體時刻，它嗣後成為我國古代冬至時刻的經典測算法。
［55］ 在回歸年和朔望月長度精确測算的基礎上，祖沖之還很好地選定了十分準确的新閏周：391年144閏，這是我國古代得到的最佳閏周。
在大明曆中，祖沖之還第一次明确地指出了交點月（月亮相繼兩次通過同一個黃白交點的時間間隔）的長度值：27.2122日，誤差僅1秒左右，已達到了相當高的精度水平。
［56］ 對于五星會合周期，祖沖之也進行了重新測量，得木星398.903日（誤差0.019日），火星780.031日（誤差0.094日），土星378.070日（誤差0.022日），金星583.931日（誤差0.009日），水星115.880日（誤差0.002日），［57］從總體上看，其精度達到了前所未有的高度。
為争取大明曆得以頒行，祖沖之曾與守舊派戴法興辯論，寫下了駁議之文，是科學思想史上的名篇。
他堅持改革，反對“信古而疑今”的思想，他“願聞顯據，以核理實”的實事求是态度，他“考影彌年，窮察毫微”［58］的實踐精神，至今仍閃爍着熠熠光芒，照耀着人們在崎岖的科學道路上攀登。
二、張子信的三大發現 張子信，清河（今河北清河縣）人，是北魏、北齊間著名的天文學家。
他花了三十多年的時間，隐居于一海島，專心緻志地用渾儀觀測日月五星的運動。
570年前後，他獲得了在我國天文學史上具有重大意義的三大發現： 一是關于太陽視運動不均勻性的發現。
張子信由觀測得知：太陽視運動從平春分到平秋分（時經半年）所曆的黃道度數，要比從平秋分到平春分（亦時經半年）所曆度數少若幹度，于是，前半年太陽視運動的速度自然要比後半年來得慢，這是他導出這一發現的途徑之一。
途徑之二，是循着與東漢劉洪當年相似的方法達到的。
張子信指出：欲使交食發生時刻的預推值與實際相吻合，除慮及月亮運動不均勻性的影響外，還須加上某一改正值（稱為“入氣差”）［59］，該值的正負、大小與二十四節氣有密切和穩定的關系。
這是劉洪“消息術”的再發現。
更重要的是，張子信由此升華出太陽視運動不均勻性的結論，給予“入氣差”以合理的解釋。
他還推算出了二十四節氣“入氣差”（即二十四節氣時，視太陽實際行度與平均行度之差）的具體數值，這是我國古代對太陽視運動不均勻性現象所作的最早的明确的定量描述。
二是關于五星運動不均勻性的發現。
張子信發現，依據傳統的方法推算得的五星晨見東方的時刻，往往與實際天象不相符，常有應見而不見，或不應見而見的情況發生。
由進一步的考察，他确認五星晨見東方時刻的這種超前或滞後及其時間的長短（稱為“入氣加減”［60］），也與二十四節氣有緊密的、穩定的關系。
張子信以為，這正是五星運動不均勻性的具體反映。
同樣，他也推算出了五星二十四節氣“入氣加減”的明确數值，從而實現了五星運動不均勻性的初始的定量描述。
張子信的這三大發現都具有劃時代的意義，它們為天文曆法體系的完善增添了全新的内容。
三、劉焯的皇極曆及其他 劉焯是隋代傑出的天文學家，他于604年撰成皇極曆，後世曆家鹹稱其妙。
［62］他最先把張子信的三大發現引入曆法，并成功地解決了這三大發現的具體計算和合理應用問題。
在皇極曆中，載有二十四節氣太陽視運動不均勻性改正數值表（日躔表），這是流傳至今的第一份完整的日躔表，其前身即張子信的“入氣差”。
在應用日躔表進行任一時刻的改正值的計算時，劉焯首創了等間距二次差内插法。
這一數學方法的物理意義，是把某一時段内太陽視運動的速率看成是勻加速或勻減速的。
這一方法較好地解決了太陽視運動不均勻性的計算問題。
在這一基礎上，劉焯成功地解決了同時考慮日、月運動不均勻性影響的定朔計算方法，使真正朔日時刻的計算精度得以提高。
在皇極曆中，還載有五星入氣加減的數值表，其源由亦當來自張子信。
重要的是，劉焯首創了推算五星晨見東方時刻的三段計算法：平見—常見—定見法。
即先把太陽和五星的運動視作是勻速的，由此可算得平見時刻（T0）；次由五星入氣加減表求得五星運動不均勻性改正值（&Deltat），則常見時刻=T0+&Deltat；再由日躔表算出太陽運動不均勻性改正值（&DeltaT），于是定見時刻=T0+&Deltat+&DeltaT。
關于日月交食的研究，在皇極曆中載有“推應食不食術”和“推不應食而食術”，這是對張子信第三大發現的具體補充和發展。
此外，劉焯還首次提出了食差對日食食分大小的影響的具體算法，以及交食起訖時刻的計算方法，并對于交食的虧起方位作了前所未有的詳細讨論。
劉焯還是黃道和白道宿度變換的首創者。
他曾測得75年差一度的新歲差值，這是一個相當準确的數值。
他對南北相距千裡，日影長度相差一寸的舊說，持反對的态度，并提出由實測加以驗證的具體建議。
可惜這一建議連同他的皇極曆均未被采納，但他的科學業績卻是不可泯滅的。
和劉焯同時的另一位天文學家張胄玄，也吸取了張子信的工作成果，約于610年編成大業曆。
雖然大業曆對于類似問題的處置不如皇極曆周全，卻也别樹一幟，尤其在五星運動的研究上最為突出。
張胄玄測得五星會合周期分别為：木星398.882日（誤差0.002日），火星779.926日（誤差0.011日），土星378.090日（誤差0.002日），金星583.922日（誤差小于0.001日），水星115.879日（誤差0.001日），［63］它們是我國古代所取得的最佳成果。
又，張胄玄對五星在一個會合周期内的動态進行描述時，以為在某些動态段中，五星的運行速率是依等差級數變化的，并解決了等級差數求和的問題，這在天文學上和數學上都是有重要意義的。
四、一行及其大衍曆 一行（683—727），魏州昌樂（今河南南樂縣）人，俗名張遂，唐代名僧，在天文學上有很高的造詣，他對我國古代天文曆法體系的貢獻主要有如下三個方面：［64］ 1．大衍曆的編制和創新 728年，張說奏上一行完成的大衍曆。
一行為編此曆，進行了大量的天文實測，并對中外曆法系統進行了深入的研究，在繼承傳統的基礎上，頗多創新。
從曆法的編次體例上看，共計分為七章：［65］“步中朔”（計算節氣、朔望等），“步發斂”（計算七十二候等），“步日躔”（關于太陽運動的計算），“步月離”（關于月亮運動的計算），“步軌漏”（計算日影及晝夜漏刻長度），“步交會”（日月交食的計算）和“步五星”（關于五星運動的計算）。
它們具有結構合理、邏輯嚴密、體系完整的特點，後世曆法大都因之，成為曆法體例的楷模。
從内容上考察，其創新之處主要有： 對太陽視運動不均勻性進行新的描述，糾正了張子信、劉焯以來日躔表的失誤，提出了我國古代第一份從總體規律上符合實際的日躔表。
在利用日躔表進行任一時刻太陽視運動改正值的計算時，一行發明了不等間距二次差内插法，這是對劉焯相應計算法的重要發展。
一行對于五星運動規律進行了新的探索和描述，确立了五星運動近日點的新概念，明确進行了五星近日點黃經的測算工作。
如他以為728年時，木、火和土三星的近日點黃經分别為345.1°，300.2°和68.3°，這與相應理論值的誤差分别為9.1°，12.5°和1.6°，此中土星近日點黃經的精度已經達到了很高的水平。
一行還首先闡明了五星近日點進動的概念，并定出了每年進動的具體數值。
在對五星運動不均勻性進行描述時，一行發明了五星盈縮運動的數值表，它是以五星近日點為起算點，每隔15°定出一個五星實際行度與平均行度之差的數值表格。
據此，再應用等間距二次差内插法，推求任一時刻五星運動不均勻的改正值，這一表格和方法均較張子信等人的“入氣加減”法前進了一大步。
大衍曆還首創了九服晷漏、九服食差等的計算法。
前代各曆法在計算晷漏、食差時，都僅局限于京都所在地，其結果并不适應全國廣大地區（即九服之地）的實際情況，所以新算法的提出，就把原先僅合用于京師的曆法，全面推廣為真正的全國性曆法，其意義可想而知。
而且，在新算法中，還包含有一行編成的世界上最早的類似正切函數的計算表，更具有重大的數學意義。
2．新儀器的制作 為編制大衍曆的需要，一行和梁令瓒等人共同制作了用于天體位置（赤道、黃道、白道和地平四種坐标）測量的新儀器——黃道遊儀。
該儀器是在唐初天文學家李淳風所制的渾天黃道儀的基礎上演變、發展而成的。
黃道遊儀有三重環組構成：外面一重是固定不動的，包括有地平、子午（南北方向）和卯酉（東西方向）三個環；中間一重是黃道環、赤道環和白道環三個環，它們均可繞極軸轉動；裡面一重是夾有窺管的四遊環，可以靈活地照準任一天體。
另外，李淳風曾在黃道環上打了249對孔，令白道環每經約27日移動一對孔，以适應黃白交點沿黃道不斷西移的天文現象。
對此，一行等人稍作改進，他們分别在黃道環和赤道環上每隔一度打一個孔，計365個小孔，前者與李淳風的用意相當，後者則是為适應歲差現象而設計的。
一行和梁令瓒還共同制作了用于演示天象和報時的水運渾天儀，這是對東漢張衡水運渾象的發展，既能自動地表演天球和日月的運動，還能令立于地平環上的兩個木人按刻自然擊鼓，依辰自然打鐘，是為自動報時器的始祖。
3．子午線長度的實測工作 724—725年間，一行分别派人到北起鐵勒（今俄羅斯貝加爾湖附近，約北緯51°），南至林邑（今越南中部，約北緯18°）的13個地點，測量它們的北極出地高度（即地理緯度）、冬夏至和春秋分日影長度，以及冬夏至晝夜漏刻長度等數據，為九服晷漏等曆法問題的計算準備必要的條件。
在這項工作中，一行精心選定了滑州白馬（今河南滑縣）、汴州浚儀（今河南開封市）、許州扶溝（今河南扶溝縣）和蔡州上蔡（今河南上蔡縣）四處，它們大體位于同一地理經度上，且均地處平原，便于距離的丈量。
在這四處，除進行上述數據的測定外，還丈量了它們彼此間的水平距離。
具體測量工作由另一位天文學家南宮說負責。
一行則由這四處的距離差與北極出地高度差的比例關系的分析中，得出南北相距“大率三百五十一裡八十步，而極差一度”［66］的重要結論，即以為子午線每1°長131.11公裡。
雖然這一數值比近代的結果偏大約20公裡，但它畢竟是世界上第一次子午線1°長度的實測工作。
五、曹士和邊岡等人的貢獻 曹士是唐代民間天文學家。
在780—783年間，他撰成符天曆，這僅是一種民間小曆，似不登大雅之堂，但實際上，卻在曆法史上占有相當重要的地位。
符天曆選取唐高宗顯慶五年（660）為曆元，以這種近距曆元取代傳統的上元法。
所謂上元是一種理想的曆元，它要求一系列天文現象同起始于一點，這實際上是不可能的，強求之，就不能不帶有牽強附會的因素，而且自上元到實際求算年之間往往相距極其龐大的年份，所以上元法存在既使計算繁雜，又使計算結果失真的弊端。
曹士的改革，正是針對這種弊病采取的有效措施。
又，傳統曆法的天文數據，一般均以分數表示。
對此，曹士選用了萬分法，即取分母為一萬，這既使各天文數據呈一目了然的形式，又使計算便捷。
這兩項改革，後為元代授時曆所采納。
此外，曹士開辟了曆法數值表格及其計算公式化的蹊徑。
符天曆對于日躔表及太陽視運動不均勻性改正的計算進行了極重要的改革，建立了太陽實際運行度（V）與平均運行度（M）之間的數學關系式：［67］ 式中M為所求日距冬至時刻的天數，亦即度數。
該式實質上是劉焯二次差内插法的一種特殊形式，它既具有計算上的簡便性，又具有數學上的嚴密性。
它的出現是我國古代曆法體系進一步公式化、數學化的重要标志。
這種
