第十四章 天文曆法的演進
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年長度和閏周推得：19年7閏，即19年有19×12+7=235個朔望月，有日，則一朔望月長度等于日。
在此之前，人們并未取得如此明确的回歸年和朔望月的長度值，在調整兩者之間的關系時，也未曾尋得如此規整的閏周，于是在曆日的安排中，往往出現多閏或失閏的現象。
所以，古四分曆的出現，标志着陰陽曆完成了從不穩定的、帶有某種随意性的形态向明确的、規整的形态的過渡。
在歐洲，古代希臘人默冬在公元前432年所發現的閏周，羅馬人于公元前43年采用的儒略曆所取的回歸年長度，分别與古四分曆相同，所以古四分曆的這三個基本數據在當時世界上是居于領先的地位的。
春秋戰國時期，各諸侯國分别使用黃帝、颛顼、夏、殷、周、魯六種曆法，合稱古六曆。
其實，它們都是四分曆，即都采用上述三個基本天文數據，隻是所規定的曆法起算年份（曆元）、每年開始的月份（歲首）和每日起始的時刻有所不同而已，曆元不同是由于各家觀測年代的先後與觀測精度的差異造成的，而後二者則純屬人為的不同規定。
到戰國時期，古四分曆的内容日趨豐富。
如它們都以為冬至時太陽位于牽牛初度，這說明對于太陽所處恒星間位置的推算，已是這時曆法的重要内容之一，那麼二十八宿的測定結果亦已引入曆法中，也當無疑問。
此外，二十四節氣以及五星位置的推算也已是曆法的組成部分。
三、關于宇宙理論的争鳴 1．宇宙本原和宇宙無限性問題 宇宙萬物的本原是什麼？這是春秋戰國時期人們廣泛關注的一個問題，除了自商周以來就已提出的陰陽、五行說仍在流行外，這時人們還提出了一些新的見解。
《管子·水地》認為：“水者何也？萬物之本原，諸生之宗室也”，即把水作為包括生物在内的萬物的最基本元素，也就是把世界萬物看成是水這一單一的物質，經過長期、複雜演化的結果。
這種觀點與以金、木、水、火、土五元素作為世界萬物的本原的五行說相比，反映了宇宙本原從多元論向一元化的演進。
戰國中期的宋钘和尹文則進一步提出了“氣”是宇宙本原的學說。
“氣”是一種以比較抽象的形态出現的物質，“其細無内，其大無外”［28］，即它可以小到無窮小，大到無限大，它是人們的感官未能察覺得到的細微物質，但不是虛無，卻是無所不在的，萬物無不由它組成。
這一學說較以水為宇宙本原又前進了一大步，而且它還表述了物質的無限可分性和宇宙空間無限性的思想，都是十分可貴的。
後世的元氣學說也是在此基礎上發展起來的。
關于宇宙，屍佼（約前4世紀）曾下過這樣的定義：“四方上下曰宇，往古來今曰宙”［29］，這指出了十分簡明的時空觀念。
如果說屍佼的定義并未回答時空是否存在界限、開端或終點的問題，那麼，墨翟（約前478—前392）的見解則相當明确，他認為“宇”包括所有不同的場所，“宙”包括所有不同的時間，［30］包含了無限時空的初步認識。
墨翟還曾把空間位置的變遷同時間的流逝緊密地聯系起來，以考察物體的運動，即把時空統一于物質的運動之中。
這些也都是很可寶貴的思想。
2．關于天地關系與結構 在春秋時期以前，人們從直覺出發，以為天為半球形，地為正方形，并以為天高臨于上，地卑踞在下，這種觀念到春秋時期開始發生了動搖。
鄧析（前545—前501）提出了“天地比”［31］的命題，認為天與地并不存在高卑之分。
其後，惠施（約前370—前310）則進一步提出“天與地卑”［32］的觀念，即以為星宿所附麗的天空，每天東升于地平線之前和西落于地平線之後都低于地，亦即天可以轉到地下面去，比地低。
這實際上就是後世得到充分發展的渾天說的重要論點之一。
與惠施差不多同時的慎到（前395—前315）更明确提出了“天體如彈丸，其勢斜倚”［33］的觀點，他以渾圓的天的概念否定了天是半圓形的傳統看法，并以為天有南、北二極，且繞極旋轉，這些也是渾天說的重要論點。
惠施和慎到都是在觀測事實并應用合理推理的基礎上建立各自的新觀念的，它們都對後世産生了很大的影響。
3．關于天地不墜不陷的原因 天地為什麼不墜不陷？是什麼機制維系着天地的相對平衡和穩定？這也是這時人們普遍注意的又一問題。
有人以為：“天地不可留，故動，化故從新，是故得天者，高而不崩”［34］，認為天地處于不停頓的運動中，這種運動本身就形成了維系天地不墜不陷的力量。
有人以為：地是一個“東西二萬八千裡，南北二萬六千裡”，厚一萬六千裡的有限實體。
由于“其出水者八千裡，受水者八千裡”［35］，載水而浮，于是得以平衡，不緻塌陷。
又有人認為：“地為人之下，太虛之中者”，并有“大氣舉之”［36］，即以為地乃懸浮于天空中的物體，依靠大氣的舉力而不緻墜陷，而天乃是太虛，所以也就不存在什麼墜陷的問題。
在今天看來這些解釋有的顯得幼稚，但也有包含合理和科學的因素者，它們又都是漢代渾天說和宣夜說的思想胚芽。
第三節 秦漢魏晉時期天文曆法體系的成熟 這是我國古代天文學發展的極重要時期。
在先秦已經奠基的天文曆法系統的基礎上，這時在曆法編制、儀器制造、宇宙理論及星圖編制等方面，都取得長足的進步，形成了一個獨特的和成熟的天文曆法體系。
一、太初曆（三統曆）的編制 秦代行用古六曆之一的颛顼曆，到西漢初年仍沿用不改。
由于颛顼曆行用已久，據該曆法推算的朔望日期與實際産生較大偏差，時有朔晦時見有新月的現象發生，所以要求改革曆法的呼聲漸高。
漢武帝元封七年（前104）遂诏令改訂新曆。
從制造儀器，進行實測、計算，到審核比較，最後從18家曆法中選出鄧平等人的八十一分律曆為新定曆法，即為太初曆。
太初曆經西漢末年天文學家劉歆改造，遂成三統曆（公元前7年），是為我國現存第一部完整的曆法，［37］對後世曆法影響深遠，其主要進展有：［38］ 其一，以實測曆元為曆算的起始點，定元封七年十一月甲子朔旦冬至夜半為曆元，其實測精度比較高，如冬至時刻與理論值之差僅0.24日，而春秋戰國時期冬至時刻測定的誤差在2—3日之間。
［39］ 其二，太初曆仍然以19年7閏為閏周，而對于19年中7個閏月的具體設置，首先發明了以不包含中氣的月份定為閏月的方法。
該法不但較好地調節了回歸年和朔望月之間的關系，而且可以把冬至、大寒、雨水等12個中氣與十一月、十二月、正月等月序一一對應起來，形成固定不變的關系，從而方便了生産季節的推算和應用。
其三，交食周期是指原先相繼出現的日月交食又一次相繼出現的時間間隔。
食年是指太陽相繼兩次通過同一個黃白交點（指太陽視運動軌道與月亮運行軌道交點）的時間間隔。
太初曆首次引進這兩個天文學概念，并定出明确的數據，它們是預報交食的最基本概念和數據，雖然其數值的誤差還較大。
其四，太初曆定出了新的五星會合周期，其精度都比戰國時期有巨大的進步。
此外，太初曆還正确地建立了五星會合周期和五星恒星周期之間的數量關系。
太初曆定出的五星在一個會合周期内的動态表，是我國古代保存最早、最完整的動态表，它遠比戰國時期的相應動态表完備和準确。
更重要的是，在五星會合周期的測定和五星動态表編制的基礎上，太初曆第一次明确規定了預推五星位置的方法：已知自曆元到所求時日的時距，減去五星會合周期的若幹整數倍，得一餘數。
以此餘數為引數，由動态表用一次差内插法求得這時五星與太陽的赤道度距，即可知五星所處的位置。
這一方法的出現，标志着人們對五星運動研究的重大飛躍。
這一方法繼續應用到隋代都沒有什麼大的變動。
太初曆所采用的回歸年和朔望月長度的精度反不如古四分曆，這是該曆的一個重大缺欠。
二、張衡的天文工作成就 張衡（78—139），字平子，河南南陽人，是東漢時期傑出的科學家。
他在天文學、數學、地震學、地圖學以及文學、繪畫等領域均成績卓著。
他曾先後兩次任太史令，時達14年之久，所以在天文學上的貢獻也最大。
［40］ 張衡曾對恒星進行了長期的觀測與統計工作，他把星空共劃分成444個星官，計得2500顆恒星，這一成果大大超過了石申夫、甘德的同類工作。
他還觀測出太陽和月亮的視直徑均為半度，相當于360°制的29.6&prime，這與現代所測的太陽、月亮視直徑已比較接近。
他也十分積極地參與當時關于曆法問題的論争與研究。
他極力主張用月行九道法（由月亮運動不均勻性的認識推導出來的月亮實際行度的計算法）來改進東漢四分曆，以更準确地推算朔日的時刻。
這一主張雖未被采納，但這是試圖用定朔法替代平朔法的一次早期努力。
此外，張衡還創立了黃道宿度和赤道宿度兩種不同坐标值之間相互換算的計算方法，初步解決了曆法計算中一個相當重要的課題。
這一方法後來被劉洪納入乾象曆中。
在天文學理論上，張衡多有建樹，《靈憲》［41］一文可以說是這方面的專門論著。
他認為，在陽光的照射下，地總是拖着一條長長的影子——暗虛，當日月相望并發生在黃白交點附近時，由于月體與暗虛相遇，自身不發光的月亮就要發生虧食現象，這是我國古代月食理論的經典性論述。
張衡把日、月、五星在恒星間運動速度的快慢，同它們與天距離的遠近聯系起來考慮，認為其間關系為：“近天則遲，遠天則速”，這反映了張衡關于日、月、五星與地球的距離有遠有近的思想。
他還對日、月出沒與中天時視大小變化的現象進行過讨論。
他以為，當日初出時，天空背景和觀測者所處的周圍環境都比較暗，所以看起來太陽的圓面就大些，而當日中時，則相反，這與“火當夜而揚光，在晝則不明”的道理是一樣的。
關于宇宙的理論，張衡認為宇宙是在演化着的，其過程可分為三個不同的階段：從隻存在一切虛無的空間（“溟涬”階段），到生成渾沌不分的元氣（“龐鴻”階段），到元氣分離為陰陽二氣，又由于剛柔、清濁、動靜等物理因素的作用，和“自然相生”的事物内部機制，逐步形成天地萬物（“天元”階段）。
在張衡看來，後一階段都是前一階段長期漸變的結果，前後兩個階段之間又是由突變的方式相銜接的。
張衡的這一學說，是在先秦以來，特别是《淮南子·精神訓》中所闡發的有關理論的基礎上，所作的新概括和發展。
另外，張衡還認為“宇之表無極，宙之端無窮”，這則是關于宇宙無限論的精辟論述。
張衡還是天文儀器制造大師。
他是新型的計時儀器——補償式漏壺的發明者。
在張衡以前的漏壺，均存在漏水流速先快後慢的弊病，為此張衡設計了二級漏壺（上為A壺，下為B壺），A壺（稱補償壺）的水不斷補充進入B壺，使得B壺的水位大緻保持不變，也就使得由B壺流入起量度時間作用的箭壺的漏水流速基本恒定，從而提高了時間計量的準确度。
張衡還創制了我國古代第一台自動的天文儀器——水運渾象，它以漏壺流出的較均勻的漏水為原動力，通過渾象内部裝置的齒輪系等的傳動和控制，自動地、每日大體均勻地驅動渾象繞天軸旋轉一周，從而近似正确地演示有關天象，同時又可以形象地說明渾天說的正确性。
關于張衡對渾天說的闡明，下面我們就要談到。
三、論天三家 蓋天說、渾天說和宣夜說，是我國古代關于宇宙結構學說的三個主要流派，合稱論天三家。
它們都在漢代形成了成熟的學說。
西漢中期成書的《周髀算經》是蓋天說的代表作，它把先秦時期主張“天圓如張蓋，地方如棋局”的早期蓋天說加以改造，提出了“天象蓋笠，地法覆盤”等新的學說。
其要點是：天和地均為拱形，天在上，地在下，天比地高出八萬裡。
日月星辰均附着在天上，繞北天極平轉，不會轉到地下面去。
太陽的出沒與離人的遠近相關，太陽離人遠時，人的目力不及，表現為日沒；近時，為人所見，表現為日出。
太陽位置的四季變化，則是由于太陽運行的軌道四季不同而造成的，等等。
《周髀算經》在論述這些問題時，應用了勾股定理和相當複雜的數學運算，賦予蓋天說以數學化的形式，成為當時有影響的一個學派。
但由于這一學說與一系列天文現象之間存在不可克服的矛盾，東漢以後日趨衰微。
渾天說經由西漢天文學家落下闳、鮮于妄人、耿壽昌和揚雄等人的努力，逐漸确立了自己的地位。
到張衡推出《渾天儀注》［42］一文，成為渾天說的經典著作。
該學說的要點為：天和地都是圓球形的，天在外，地在内，天比地大得多，天包裹着地，猶如雞蛋殼包裹着蛋黃一般。
日月星辰附麗于天球之上，天球以南北極為軸，每天自東向西繞軸旋轉一周，天可以繞到地下面去，北極出地平的高度為36度。
太陽沿黃道運行，黃道與天球赤道交成24度角，等等。
這些論述能較好地解釋許多天文現象，日漸得到廣泛的傳播。
但是，張衡為了解決天地不墜不陷和穩定性問題，引進了天球表裡有水，地載水而浮等觀念，遂使渾天說在解釋太陽繞地而行等問題時遇到理論上的困難，而且使關于地球的觀念黯然失色。
雖然如此，渾天說還是我國古代最重要和影響最大的一個學派。
對宣夜說進行系統總結和表述的是郗萌，他是與張衡同一時代的天文學家。
宣夜說以為，天是無形無體、無色無質、無邊無際的廣袤空間，人目所見的渾圓的藍天，僅是視覺上的錯覺造成的，這如同“旁望遠道之黃山而皆青，俯察千仞之谷而窈黑”是一個道理，實際上“青非真色，而黑非有體也”［43］。
宣夜說還認為，日月五星的運動“遲疾任性”，“日月衆星，自然浮生虛空之中，其行其止，皆須氣焉”，即以為天體在廣闊無垠的空間中的分布與運動是随其自然的，并不受想象中的天殼的約束，它們各具特性，并在氣的作用下懸浮不動或運動不息。
這樣，宣夜說既否定了天殼的存在，又描繪了一幅天體在物質的無限空間自然分布與運動的圖景，較蓋天說和渾天說都更接近事物的本來面目。
可是，該學說沒有提供對天體運動規律的進一步說明，隻是停留在思辨性論述的水平上，其影響遠不及渾天說。
四、劉洪及其乾象曆 劉洪（約135—約210），字元卓，泰山蒙陰（今山東蒙陰縣）人，是東漢後期著名的天文學家。
東漢伊始，天文學界一直十分活躍，關于天文曆法的論争接連不斷，在月亮運動、交食周期、冬至太陽所在宿度、曆元等一系列問題上展開了廣泛的探索，孕育着一場新的突破。
在這種曆史背景下，劉洪經過二十多年的潛心觀測研究，終于在206年最後完成了他的乾象曆，它的出現可視作這場長期論争的良好總結，是實現了新突破的标志。
歸納起來，劉洪及其乾象曆在如下九個方面取得了重大的進展：［44］ 第一，劉洪發現以往各曆法的回歸年長度值均偏大，在乾象曆中，他定出了365.2468日的新值，較為準确，從而結束了回歸年長度測定精度長期徘徊以緻倒退的局面，并開拓了後世該值研究的正确方向。
第二，他肯定了前人關于月亮運動不均勻性的認識，在重新測算的基礎上，最早明确定出了月亮兩次通過近地點的時距（近點月長度）為27.5534日的數值，并首創了對月亮運動不均勻進行改正計算的數值表（月離表），即月亮過近地點以後每隔一日月亮的實際行度與平均行度之差的數值表，為計算月亮的真實運行度數提供了切實可行的方法，亦為我國古代該論題的傳統計算法奠定了基石。
第三，他指出月亮是沿自己特有的軌道（白道）運動的，白道與黃道之間的夾角約為六度，這同現今得到的測量結果已比較接近。
他還定出了一個白道離黃道内外度的數值表，據此，可以計算任一時刻月亮距黃道南北的度數。
第四，他闡明了黃道與白道的交點在恒星背景中自東向西退行的新天文概念，并且定出了黃白交點每日退行的具體度值。
第五，他提出了新的交食周期值，據此可得一食年長度為346.6151日。
該值比他的前人和同時代人所得值都要準确，其精度在當時世界上也是首屈一指的。
第六，他提出了食限的概念，指出在合朔或望時，隻有當太陽與黃白交點的度距小于14°33&prime時，才可能發生日食或月食現象，這14°33&prime就稱為食限，就是判斷交食是否發生的明确而具體的數值界限。
第七，他創立了具體計算任一時刻月亮距黃白交點的度距和太陽所在位置的方法。
這實際上已經解決了交食食分大小及交食虧起方位等的計算問題，可是乾象曆對此并未加闡述。
這類計算問題的明确記載則首見于楊偉的景初曆（237）中。
第八，他發明有“消息術”，這是在計算交食發生時刻時，除考慮月亮運動不均勻性的影響外，還慮及交食發生在一年中的不同月份，必須加上不同的改正值的一種特殊方法，實際上已經考慮到太陽運動不均勻性對交食時刻影響的問題。
第九，劉洪還和蔡邕一起，共同完成了二十四節氣太陽所在位置、黃道去極度、日影長度、晝夜時間長度以及昏旦中星的天文數據表的測算編纂工作，該表載于東漢四分曆中，後來它成為我國古代曆法的傳統内容之一。
總之，劉洪提出了一系列天文新數據、新表格、新概念和新計算方法，把我國古代對太陽、月亮運動以及交食等的研究推向一個嶄新的階段。
他的乾象曆是我國古代曆法體系趨于成熟的一個裡程碑。
五、歲差的發現和閏周的改革 所謂歲差，是指春分點（或冬至點）在恒星間的位置逐年西移的天文現象。
在公元前2世紀，希臘天文學家依巴谷
在此之前，人們并未取得如此明确的回歸年和朔望月的長度值，在調整兩者之間的關系時，也未曾尋得如此規整的閏周，于是在曆日的安排中，往往出現多閏或失閏的現象。
所以，古四分曆的出現，标志着陰陽曆完成了從不穩定的、帶有某種随意性的形态向明确的、規整的形态的過渡。
在歐洲，古代希臘人默冬在公元前432年所發現的閏周，羅馬人于公元前43年采用的儒略曆所取的回歸年長度，分别與古四分曆相同，所以古四分曆的這三個基本數據在當時世界上是居于領先的地位的。
春秋戰國時期，各諸侯國分别使用黃帝、颛顼、夏、殷、周、魯六種曆法，合稱古六曆。
其實，它們都是四分曆，即都采用上述三個基本天文數據，隻是所規定的曆法起算年份（曆元）、每年開始的月份（歲首）和每日起始的時刻有所不同而已，曆元不同是由于各家觀測年代的先後與觀測精度的差異造成的，而後二者則純屬人為的不同規定。
到戰國時期，古四分曆的内容日趨豐富。
如它們都以為冬至時太陽位于牽牛初度，這說明對于太陽所處恒星間位置的推算，已是這時曆法的重要内容之一，那麼二十八宿的測定結果亦已引入曆法中，也當無疑問。
此外，二十四節氣以及五星位置的推算也已是曆法的組成部分。
三、關于宇宙理論的争鳴 1．宇宙本原和宇宙無限性問題 宇宙萬物的本原是什麼？這是春秋戰國時期人們廣泛關注的一個問題，除了自商周以來就已提出的陰陽、五行說仍在流行外，這時人們還提出了一些新的見解。
《管子·水地》認為：“水者何也？萬物之本原，諸生之宗室也”，即把水作為包括生物在内的萬物的最基本元素，也就是把世界萬物看成是水這一單一的物質，經過長期、複雜演化的結果。
這種觀點與以金、木、水、火、土五元素作為世界萬物的本原的五行說相比，反映了宇宙本原從多元論向一元化的演進。
戰國中期的宋钘和尹文則進一步提出了“氣”是宇宙本原的學說。
“氣”是一種以比較抽象的形态出現的物質，“其細無内，其大無外”［28］，即它可以小到無窮小，大到無限大，它是人們的感官未能察覺得到的細微物質，但不是虛無，卻是無所不在的，萬物無不由它組成。
這一學說較以水為宇宙本原又前進了一大步，而且它還表述了物質的無限可分性和宇宙空間無限性的思想，都是十分可貴的。
後世的元氣學說也是在此基礎上發展起來的。
關于宇宙，屍佼（約前4世紀）曾下過這樣的定義：“四方上下曰宇，往古來今曰宙”［29］，這指出了十分簡明的時空觀念。
如果說屍佼的定義并未回答時空是否存在界限、開端或終點的問題，那麼，墨翟（約前478—前392）的見解則相當明确，他認為“宇”包括所有不同的場所，“宙”包括所有不同的時間，［30］包含了無限時空的初步認識。
墨翟還曾把空間位置的變遷同時間的流逝緊密地聯系起來，以考察物體的運動，即把時空統一于物質的運動之中。
這些也都是很可寶貴的思想。
2．關于天地關系與結構 在春秋時期以前，人們從直覺出發，以為天為半球形，地為正方形，并以為天高臨于上，地卑踞在下，這種觀念到春秋時期開始發生了動搖。
鄧析（前545—前501）提出了“天地比”［31］的命題，認為天與地并不存在高卑之分。
其後，惠施（約前370—前310）則進一步提出“天與地卑”［32］的觀念，即以為星宿所附麗的天空，每天東升于地平線之前和西落于地平線之後都低于地，亦即天可以轉到地下面去，比地低。
這實際上就是後世得到充分發展的渾天說的重要論點之一。
與惠施差不多同時的慎到（前395—前315）更明确提出了“天體如彈丸，其勢斜倚”［33］的觀點，他以渾圓的天的概念否定了天是半圓形的傳統看法，并以為天有南、北二極，且繞極旋轉，這些也是渾天說的重要論點。
惠施和慎到都是在觀測事實并應用合理推理的基礎上建立各自的新觀念的，它們都對後世産生了很大的影響。
3．關于天地不墜不陷的原因 天地為什麼不墜不陷？是什麼機制維系着天地的相對平衡和穩定？這也是這時人們普遍注意的又一問題。
有人以為：“天地不可留，故動，化故從新，是故得天者，高而不崩”［34］，認為天地處于不停頓的運動中，這種運動本身就形成了維系天地不墜不陷的力量。
有人以為：地是一個“東西二萬八千裡，南北二萬六千裡”，厚一萬六千裡的有限實體。
由于“其出水者八千裡，受水者八千裡”［35］，載水而浮，于是得以平衡，不緻塌陷。
又有人認為：“地為人之下，太虛之中者”，并有“大氣舉之”［36］，即以為地乃懸浮于天空中的物體，依靠大氣的舉力而不緻墜陷，而天乃是太虛，所以也就不存在什麼墜陷的問題。
在今天看來這些解釋有的顯得幼稚，但也有包含合理和科學的因素者，它們又都是漢代渾天說和宣夜說的思想胚芽。
第三節 秦漢魏晉時期天文曆法體系的成熟 這是我國古代天文學發展的極重要時期。
在先秦已經奠基的天文曆法系統的基礎上，這時在曆法編制、儀器制造、宇宙理論及星圖編制等方面，都取得長足的進步，形成了一個獨特的和成熟的天文曆法體系。
一、太初曆（三統曆）的編制 秦代行用古六曆之一的颛顼曆，到西漢初年仍沿用不改。
由于颛顼曆行用已久，據該曆法推算的朔望日期與實際産生較大偏差，時有朔晦時見有新月的現象發生，所以要求改革曆法的呼聲漸高。
漢武帝元封七年（前104）遂诏令改訂新曆。
從制造儀器，進行實測、計算，到審核比較，最後從18家曆法中選出鄧平等人的八十一分律曆為新定曆法，即為太初曆。
太初曆經西漢末年天文學家劉歆改造，遂成三統曆（公元前7年），是為我國現存第一部完整的曆法，［37］對後世曆法影響深遠，其主要進展有：［38］ 其一，以實測曆元為曆算的起始點，定元封七年十一月甲子朔旦冬至夜半為曆元，其實測精度比較高，如冬至時刻與理論值之差僅0.24日，而春秋戰國時期冬至時刻測定的誤差在2—3日之間。
［39］ 其二，太初曆仍然以19年7閏為閏周，而對于19年中7個閏月的具體設置，首先發明了以不包含中氣的月份定為閏月的方法。
該法不但較好地調節了回歸年和朔望月之間的關系，而且可以把冬至、大寒、雨水等12個中氣與十一月、十二月、正月等月序一一對應起來，形成固定不變的關系，從而方便了生産季節的推算和應用。
其三，交食周期是指原先相繼出現的日月交食又一次相繼出現的時間間隔。
食年是指太陽相繼兩次通過同一個黃白交點（指太陽視運動軌道與月亮運行軌道交點）的時間間隔。
太初曆首次引進這兩個天文學概念，并定出明确的數據，它們是預報交食的最基本概念和數據，雖然其數值的誤差還較大。
其四，太初曆定出了新的五星會合周期，其精度都比戰國時期有巨大的進步。
此外，太初曆還正确地建立了五星會合周期和五星恒星周期之間的數量關系。
太初曆定出的五星在一個會合周期内的動态表，是我國古代保存最早、最完整的動态表，它遠比戰國時期的相應動态表完備和準确。
更重要的是，在五星會合周期的測定和五星動态表編制的基礎上，太初曆第一次明确規定了預推五星位置的方法：已知自曆元到所求時日的時距，減去五星會合周期的若幹整數倍，得一餘數。
以此餘數為引數，由動态表用一次差内插法求得這時五星與太陽的赤道度距，即可知五星所處的位置。
這一方法的出現，标志着人們對五星運動研究的重大飛躍。
這一方法繼續應用到隋代都沒有什麼大的變動。
太初曆所采用的回歸年和朔望月長度的精度反不如古四分曆，這是該曆的一個重大缺欠。
二、張衡的天文工作成就 張衡（78—139），字平子，河南南陽人，是東漢時期傑出的科學家。
他在天文學、數學、地震學、地圖學以及文學、繪畫等領域均成績卓著。
他曾先後兩次任太史令，時達14年之久，所以在天文學上的貢獻也最大。
［40］ 張衡曾對恒星進行了長期的觀測與統計工作，他把星空共劃分成444個星官，計得2500顆恒星，這一成果大大超過了石申夫、甘德的同類工作。
他還觀測出太陽和月亮的視直徑均為半度，相當于360°制的29.6&prime，這與現代所測的太陽、月亮視直徑已比較接近。
他也十分積極地參與當時關于曆法問題的論争與研究。
他極力主張用月行九道法（由月亮運動不均勻性的認識推導出來的月亮實際行度的計算法）來改進東漢四分曆，以更準确地推算朔日的時刻。
這一主張雖未被采納，但這是試圖用定朔法替代平朔法的一次早期努力。
此外，張衡還創立了黃道宿度和赤道宿度兩種不同坐标值之間相互換算的計算方法，初步解決了曆法計算中一個相當重要的課題。
這一方法後來被劉洪納入乾象曆中。
在天文學理論上，張衡多有建樹，《靈憲》［41］一文可以說是這方面的專門論著。
他認為，在陽光的照射下，地總是拖着一條長長的影子——暗虛，當日月相望并發生在黃白交點附近時，由于月體與暗虛相遇，自身不發光的月亮就要發生虧食現象，這是我國古代月食理論的經典性論述。
張衡把日、月、五星在恒星間運動速度的快慢，同它們與天距離的遠近聯系起來考慮，認為其間關系為：“近天則遲，遠天則速”，這反映了張衡關于日、月、五星與地球的距離有遠有近的思想。
他還對日、月出沒與中天時視大小變化的現象進行過讨論。
他以為，當日初出時，天空背景和觀測者所處的周圍環境都比較暗，所以看起來太陽的圓面就大些，而當日中時，則相反，這與“火當夜而揚光，在晝則不明”的道理是一樣的。
關于宇宙的理論，張衡認為宇宙是在演化着的，其過程可分為三個不同的階段：從隻存在一切虛無的空間（“溟涬”階段），到生成渾沌不分的元氣（“龐鴻”階段），到元氣分離為陰陽二氣，又由于剛柔、清濁、動靜等物理因素的作用，和“自然相生”的事物内部機制，逐步形成天地萬物（“天元”階段）。
在張衡看來，後一階段都是前一階段長期漸變的結果，前後兩個階段之間又是由突變的方式相銜接的。
張衡的這一學說，是在先秦以來，特别是《淮南子·精神訓》中所闡發的有關理論的基礎上，所作的新概括和發展。
另外，張衡還認為“宇之表無極，宙之端無窮”，這則是關于宇宙無限論的精辟論述。
張衡還是天文儀器制造大師。
他是新型的計時儀器——補償式漏壺的發明者。
在張衡以前的漏壺，均存在漏水流速先快後慢的弊病，為此張衡設計了二級漏壺（上為A壺，下為B壺），A壺（稱補償壺）的水不斷補充進入B壺，使得B壺的水位大緻保持不變，也就使得由B壺流入起量度時間作用的箭壺的漏水流速基本恒定，從而提高了時間計量的準确度。
張衡還創制了我國古代第一台自動的天文儀器——水運渾象，它以漏壺流出的較均勻的漏水為原動力，通過渾象内部裝置的齒輪系等的傳動和控制，自動地、每日大體均勻地驅動渾象繞天軸旋轉一周，從而近似正确地演示有關天象，同時又可以形象地說明渾天說的正确性。
關于張衡對渾天說的闡明，下面我們就要談到。
三、論天三家 蓋天說、渾天說和宣夜說，是我國古代關于宇宙結構學說的三個主要流派，合稱論天三家。
它們都在漢代形成了成熟的學說。
西漢中期成書的《周髀算經》是蓋天說的代表作，它把先秦時期主張“天圓如張蓋，地方如棋局”的早期蓋天說加以改造，提出了“天象蓋笠，地法覆盤”等新的學說。
其要點是：天和地均為拱形，天在上，地在下，天比地高出八萬裡。
日月星辰均附着在天上，繞北天極平轉，不會轉到地下面去。
太陽的出沒與離人的遠近相關，太陽離人遠時，人的目力不及，表現為日沒；近時，為人所見，表現為日出。
太陽位置的四季變化，則是由于太陽運行的軌道四季不同而造成的，等等。
《周髀算經》在論述這些問題時，應用了勾股定理和相當複雜的數學運算，賦予蓋天說以數學化的形式，成為當時有影響的一個學派。
但由于這一學說與一系列天文現象之間存在不可克服的矛盾，東漢以後日趨衰微。
渾天說經由西漢天文學家落下闳、鮮于妄人、耿壽昌和揚雄等人的努力，逐漸确立了自己的地位。
到張衡推出《渾天儀注》［42］一文，成為渾天說的經典著作。
該學說的要點為：天和地都是圓球形的，天在外，地在内，天比地大得多，天包裹着地，猶如雞蛋殼包裹着蛋黃一般。
日月星辰附麗于天球之上，天球以南北極為軸，每天自東向西繞軸旋轉一周，天可以繞到地下面去，北極出地平的高度為36度。
太陽沿黃道運行，黃道與天球赤道交成24度角，等等。
這些論述能較好地解釋許多天文現象，日漸得到廣泛的傳播。
但是，張衡為了解決天地不墜不陷和穩定性問題，引進了天球表裡有水，地載水而浮等觀念，遂使渾天說在解釋太陽繞地而行等問題時遇到理論上的困難，而且使關于地球的觀念黯然失色。
雖然如此，渾天說還是我國古代最重要和影響最大的一個學派。
對宣夜說進行系統總結和表述的是郗萌，他是與張衡同一時代的天文學家。
宣夜說以為，天是無形無體、無色無質、無邊無際的廣袤空間，人目所見的渾圓的藍天，僅是視覺上的錯覺造成的，這如同“旁望遠道之黃山而皆青，俯察千仞之谷而窈黑”是一個道理，實際上“青非真色，而黑非有體也”［43］。
宣夜說還認為，日月五星的運動“遲疾任性”，“日月衆星，自然浮生虛空之中，其行其止，皆須氣焉”，即以為天體在廣闊無垠的空間中的分布與運動是随其自然的，并不受想象中的天殼的約束，它們各具特性，并在氣的作用下懸浮不動或運動不息。
這樣，宣夜說既否定了天殼的存在，又描繪了一幅天體在物質的無限空間自然分布與運動的圖景，較蓋天說和渾天說都更接近事物的本來面目。
可是，該學說沒有提供對天體運動規律的進一步說明，隻是停留在思辨性論述的水平上，其影響遠不及渾天說。
四、劉洪及其乾象曆 劉洪（約135—約210），字元卓，泰山蒙陰（今山東蒙陰縣）人，是東漢後期著名的天文學家。
東漢伊始，天文學界一直十分活躍，關于天文曆法的論争接連不斷，在月亮運動、交食周期、冬至太陽所在宿度、曆元等一系列問題上展開了廣泛的探索，孕育着一場新的突破。
在這種曆史背景下，劉洪經過二十多年的潛心觀測研究，終于在206年最後完成了他的乾象曆，它的出現可視作這場長期論争的良好總結，是實現了新突破的标志。
歸納起來，劉洪及其乾象曆在如下九個方面取得了重大的進展：［44］ 第一，劉洪發現以往各曆法的回歸年長度值均偏大，在乾象曆中，他定出了365.2468日的新值，較為準确，從而結束了回歸年長度測定精度長期徘徊以緻倒退的局面，并開拓了後世該值研究的正确方向。
第二，他肯定了前人關于月亮運動不均勻性的認識，在重新測算的基礎上，最早明确定出了月亮兩次通過近地點的時距（近點月長度）為27.5534日的數值，并首創了對月亮運動不均勻進行改正計算的數值表（月離表），即月亮過近地點以後每隔一日月亮的實際行度與平均行度之差的數值表，為計算月亮的真實運行度數提供了切實可行的方法，亦為我國古代該論題的傳統計算法奠定了基石。
第三，他指出月亮是沿自己特有的軌道（白道）運動的，白道與黃道之間的夾角約為六度，這同現今得到的測量結果已比較接近。
他還定出了一個白道離黃道内外度的數值表，據此，可以計算任一時刻月亮距黃道南北的度數。
第四，他闡明了黃道與白道的交點在恒星背景中自東向西退行的新天文概念，并且定出了黃白交點每日退行的具體度值。
第五，他提出了新的交食周期值，據此可得一食年長度為346.6151日。
該值比他的前人和同時代人所得值都要準确，其精度在當時世界上也是首屈一指的。
第六，他提出了食限的概念，指出在合朔或望時，隻有當太陽與黃白交點的度距小于14°33&prime時，才可能發生日食或月食現象，這14°33&prime就稱為食限，就是判斷交食是否發生的明确而具體的數值界限。
第七，他創立了具體計算任一時刻月亮距黃白交點的度距和太陽所在位置的方法。
這實際上已經解決了交食食分大小及交食虧起方位等的計算問題，可是乾象曆對此并未加闡述。
這類計算問題的明确記載則首見于楊偉的景初曆（237）中。
第八，他發明有“消息術”，這是在計算交食發生時刻時，除考慮月亮運動不均勻性的影響外，還慮及交食發生在一年中的不同月份，必須加上不同的改正值的一種特殊方法，實際上已經考慮到太陽運動不均勻性對交食時刻影響的問題。
第九，劉洪還和蔡邕一起，共同完成了二十四節氣太陽所在位置、黃道去極度、日影長度、晝夜時間長度以及昏旦中星的天文數據表的測算編纂工作，該表載于東漢四分曆中，後來它成為我國古代曆法的傳統内容之一。
總之，劉洪提出了一系列天文新數據、新表格、新概念和新計算方法，把我國古代對太陽、月亮運動以及交食等的研究推向一個嶄新的階段。
他的乾象曆是我國古代曆法體系趨于成熟的一個裡程碑。
五、歲差的發現和閏周的改革 所謂歲差，是指春分點（或冬至點）在恒星間的位置逐年西移的天文現象。
在公元前2世紀，希臘天文學家依巴谷
